Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança. Parte 2

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1 Teste de Hipótese e Intervalo de Confiança Parte 2

2 Questões para discutirmos em sala: O que é uma hipótese estatística? O que é um teste de hipótese? Quem são as hipóteses nula e alternativa? Quando devemos rejeitar a hipótese nula?

3 Estamos prontos, agora, para aprendermos o primeiro teste de hipótese. Vamos testar a média de uma população, supondo que conhecemos a variância. Considere o problema de determinar a média do tamanho da ruptura muscular no ombro... suponha temos uma amostra com 25 pacientes e que a variância seja dada e igual a 1.

4 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 1) Identifique o parâmetro de interesse 2) Estabeleça H 0 e H a média H 0 : = 3,5; H a : 3,5 3) Estabeleça o nível de significância que determinará a região de rejeição = 0,05

5 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 4) Estabeleça uma estatística apropriada de teste É o que determina o teste!

6 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 4) Estabeleça uma estatística apropriada de teste Média amostral Z Raiz da variância ou Desvio Padrão 0 X 0 n Valor de H 0 Tamanho da amostra

7 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 5) Calcule o valor da estatística Vamos supor que a média amostral tenha sido 3,1. 3,1 3,5 1 Z 0 X 0 n 25

8 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 5) Calcule o valor da estatística Z 3,1 3, ,

9 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 6) Decida de H 0 deve ou não ser rejeitada. Precisamos estabelecer o valor crítico. Rejection Region rejeição Região de 1/2 1 - Nonrejection Region Rejection Region Região de rejeição 1/2 Valor Critical crítico Value -z /2 Ho Value Critical Valor Value crítico z /2 Sample Statistic

10 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 6) Decida de H 0 deve ou não ser rejeitada. Para = 0,05, em um teste z bicaudal, os valores críticos são -z /2 = -1,96 e z /2 = 1,96. Valor crítico: Rejeitar Reject HH 0 0 Reject Rejeitar H Z

11 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 6) Decida de H 0 deve ou não ser rejeitada. A hipótese nula será rejeitada se: Z 0 > z /2 ou Z 0 < -z /2 E falharemos em rejeitar se: -z /2 < Z 0 < z /2

12 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 6) Decida de H 0 deve ou não ser rejeitada. Temos que Z 0 = -2 e -z /2 = Como -2 < -1,96 H 0 é rejeitada.

13 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo Isto significa que: Com uma amostra de 25 pacientes e com variância igual a 1... e uma média amostral de 3,1... A hipótese nula de que a média dos dados é 3,5 é rejeitada.

14 Teste Z Inferência sobre a Média da População com Variância Conhecida Este teste que acabamos de estudar é conhecido como teste Z... porque usa a estatística de teste baseada em uma normal padrão (média zero e variância 1). Chamamos uma normal padrão de Z. Vamos verificar formalmente como é definido o teste Z...

15 Teste Z Inferência sobre a Média da População com Variância Conhecida Suponha que desejamos testar a hipótese: H 0 : = 0 Sendo 0 uma constante especificada. Considere uma amostra aleatória X 1, X 2,..., X n da população e a variância 2 da população dada.

16 Teste Z Inferência sobre a Média da População com Variância Conhecida Calcule a estatística de teste: Z 0 X 0 n H 0 : H 0 : = 0 H a : H a : 0 Critérios de rejeição: Z 0 > z /2 ou Z 0 < -z /2 H 0 : 0 H a : > 0 Z 0 > z H 0 : 0 H a : < 0 Z 0 < -z

17 p-valor O p-valor é o valor de significância observado Se p-valor, NÃO rejeita H 0 Se p-valor <, REJEITA H 0

18 Levamos ao laboratório uma amostra aleatória de 25 caixas e constatamos uma média do princípio ativo de mg. O fabricante especifica que a média de principio ativo é 368 mg e que o desvio é de 15 mg. Queremos achar o p valor. Genérico 368 mg

19 Z X n Z Valor amostral da estatística Z (observado)

20 O p-valor é P(Z ou Z 1.50) Z Valor amostral da estatística Z (observado)

21 O p-valor é P(Z ou Z 1.50) 1/2 p-value ½ p-valor 1/2 ½ p-value p-valor Z Valor amostral da estatística Z (observado)

22 O p-valor é P(Z ou Z 1.50) 1/2 p-value ½ p-valor 1/2 ½ p-value p-valor Z Calculado através de tabela ou no computador Valor amostral da estatística Z (observado)

23 O p-valor é P(Z ou Z 1.50) 1/2 p-value ½ p-valor 1/2 ½ p-value p-valor = Z Calculado através de tabela ou no computador Valor amostral da estatística Z (observado)

24 O p-valor é P(Z ou Z 1.50) = /2 p-value ½ p-valor 1/2 ½ p-value p-valor = Z Calculado através de tabela ou no computador Valor amostral da estatística Z (observado)

25 (p-valor = 0.134) ( = 0.05). Então: NÃO rejeita a hipotese H 0 1/2 p-valor = Reject Rejeita 1/2 = /2 p-valor = Reject Rejeita 1/2 = Z

26 Observe que no teste z, a variância da população é dada... entretanto, em problemas reais, isto não é algo comum. e se precisarmos de um teste de hipótese para médias e não conhecermos a variância da população?

27 Teste T Inferência sobre a Média da População com Variância Desconhecida E se a variância não for conhecida? Muitas vezes não conhecemos a variância populacional dos nossos dados. Usaremos, então, o teste T. A única diferença para o teste z é que aqui a variância não é conhecida.

28 Vamos testar a média de uma população, sem conhecemos a variância. Considere o problema de determinar a média do tamanho da ruptura muscular no ombro... suponha temos uma amostra com 25 pacientes.

29 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 1) Identifique o parâmetro de interesse 2) Estabeleça H 0 e H a média H 0 : = 3,5; H a : 3,5 3) Estabeleça o nível de significância que determinará a região de rejeição = 0,05

30 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 4) Estabeleça uma estatística apropriada de teste Média amostral Desvio padrão amostral X S n 0 T0 Valor de H 0 Tamanho da amostra

31 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 5) Calcule o valor da estatística Vamos supor que a média amostral tenha sido 3,1 e que o desvio amostral tenha sido 0,7. 3,1 0,7 X S n 0 T0 25 3,5

32 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 5) Calcule o valor da estatística T 3,1 3,5 0,7 25 0,4 0, ,86

33 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 6) Decida de H 0 deve ou não ser rejeitada. Para = 0,05, em um teste t bicaudal com 24 graus de liberdade, os valores críticos são -t /2 = - 2,39 e t /2 = 2,39.

34 Relembrando: Teste de Hipótese Passo a Passo 6) Decida de H 0 deve ou não ser rejeitada. Temos que t 0 = -2,86 e -t /2 = -2,39 Como -2,86 < -2,39 H 0 é rejeitada.

35 Na prática: Teremos nossos dados e vamos querer testar hipóteses. Precisamos saber: Unicaudal ou bicaudal Uma ou duas populações identificar o parâmetro a ser testado; formular os testes, identificando corretamente as hipóteses nula e alternativa; identificar o teste e executá-lo no computador.

36 Intervalos de Confiança

37 Suponha que temos uma população NORMAL de média e desvio e que vamos adquirir algumas amostras desta população. Podemos para cada uma destas amostras calcular a média amostral X a Qual o erro que vamos incorrer ao usar esta media amostral para estimar a média da populacao? Será que podemos estabelecer um intervalo de confiança em torno de X a dentro do qual acreditamos encontrar a média da populacao?

38 Se adquirimos muitas amostras de tamanho n, as médias amostrais X a terão uma distribuição, como é esta distribuição? É UMA NORMAL COM MÉDIA e DESVIO X a n

39 Suponha que uma média amostral X a cai dentro da área amarela, O número 2 é uma aproximação. Na verdade teremos 1,96: X a 1,96 X a Note que Xa é o desvio da distribuição das médias amostrais

40 Como X a tem uma probabilidade de 0,95 de cair neste intervalo temos que a probabilidade do intervalo conter é 0,95. X a 1,96 X a Construímos então um intervalo de confiança de 0,95 de probabilidade. Isso quer dizer que se sortearmos um grande número de observações, cerca 95% destas observações terão a média verdadeira incluída dentro do intervalo de confiança.

41 Um hospital decide fazer uma pesquisa para estimar o tempo médio de internação. Portanto, o que deve ser estimado é o tempo médio de uma população a qual não se pode ter acesso. Para isso colhe-se uma amostra de tamanho 100, isso é sorteia-se 100 pacientes entre os que já passaram pelo hospital, e verifica-se o tempo de internação

42 O resultado (em dias) é: A média amostral é X a = 4,53 dias, com um desvio amostral s = 3,68 dias.

43 Então nosso intervalo de confiança de 95% é: X a 2 X a 4,531, Como não temos o desvio da população, vamos usar o desvio amostral s, que se aproxima de a medida que se tem um n grande. s 4,531,96 4,531,96 4,531, , ,53 0,72

44 ou seja, nossos dados nos levam a concluir que 95% de segurança a média de internação nesse hospital está entre 3,81 e 5,25 dias. Note, diretamente da formula do intervalo que a medida que o n cresce o intervalo diminui, ou seja com o mesmo nível de segurança (95%) pode-se afirmar um intervalo menor. Portanto a afirmação é feita com mais precisão.

45 Este intervalo de confiança é feito para média com variância conhecida. Se quisermos um intervalo associado com outro valor crítico, em um teste bicaudal: X a z / 2 X a

46 Se o teste for unicaudal: X a z X a Se o desvio não for dado, teremos um teste T. Para obter o intervalo associado, basta trocar o valor crítico e calcular o desvio amostral: X t a / 2, n 1 s X a