Teste de hipóteses para médias e proporções amostrais

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1 Teste de hipóteses para médias e proporções amostrais Prof. Marcos Pó Métodos Quantitativos para Ciências Sociais

2 Intervalo de confiança: outro entendimento É o intervalo que contém o parâmetro que queremos estimar, com um grau de confiança indicado pelo coeficiente γ (gama). Ele permite estabelecer um julgamento do erro que podemos estar cometendo e a probabilidade de que nossa amostra tenha, por acidente, ficado além desse erro. α/2 γ α/2 IC x ; x Z n p(1 p) IC p pˆ ˆ; Z n Erro que podemos estar cometendo γ (gama) é a confiança que temos de estar, no máximo, cometendo esse erro com nossa amostra. 2

3 Hipótese estatística Hipótese é uma explicação provisória proposta para um fenômeno, que visa a ser posteriormente demonstrada ou testada cientificamente. Hipótese estatística é uma afirmação sobre um parâmetro populacional com base em estatísticas amostrais. H 0 - Hipótese nula: normalmente é uma afirmação de igualdade de que os valores encontrados são explicados por erros amostrais. H A - Hipótese alternativa: é o complemento da hipótese nula e significa normalmente que os valores encontrados devem-se ao fato de tratarmos de duas populações diferentes. 3

4 Exemplos de tipos de teste de hipótese Tipo de teste Ex.: investigando um assassinato Passar pelo aro (hoop test): pode eliminar hipóteses, mas não dá suporte às hipóteses restantes. Condição necessária, mas não suficiente. Indício (straw in the wind tests): fornece informação útil que pode favorecer uma hipótese. Não traz nem condição necessária ou suficiente para aceitar ou rejeitar uma hipótese. Arma fumegante (smoking gun test): apoia fortemente uma hipótese, mas falhar no teste não elimina a mesma. Critério suficiente, mas não necessário para confirmação. O suspeito está na cidade no dia do crime. O suspeito disse a colegas que tinha vontade de dar um tiro na vítima quando ela era grosseira com ele. O suspeito aparece com uma arma fumegante na mão logo após o assassinato. Duplamente decisivo (doubly decisive tests): confirma uma hipótese e elimina outras. Imagens mostram o suspeito entrando sozinho no apartamento da vítima e saindo com uma arma na mão. Baseado em BENNETT, Andrew. Process tracing and causal inference,

5 Teste estatístico de hipótese Processo que usa estatísticas amostrais para testar uma afirmação sobre um parâmetro de uma população. O teste estatístico de hipótese oferece uma metodologia que permite julgar se os dados amostrais trazem evidências que apoiem ou não uma hipótese quantitativa, assim como permite estimar a probabilidade de cometer determinados tipos de erro nesse julgamento. Ou seja, nos permite responder com algum grau de confiança: essa evidência nos convence que nossa hipótese está errada? 5

6 Tipos de teste estatístico de hipótese Médias Proporções Dados categóricos (aderência, homogeneidade e independência) Variância Várias populações (ANOVA) Regressão 6

7 Julgamento Tipos de erro Realidade Inocente Culpado Inocente ok Erro Tipo II Culpado Erro Tipo I ok Hipótese: afirmação que queremos testar usando técnicas estatísticas. Pode haver dois tipos de erro: Erro Tipo I: rejeitar uma hipótese que é verdadeira; Erro Tipo II: aceitar uma hipótese que é falsa. 7

8 Erro Tipo I: rejeitar uma hipótese verdadeira A probabilidade de incorrermos nesse erro é denominada α e é chamada de nível de significância do teste, ou seja, o resultado da amostra é tanto mais significante para rejeitar H 0 quanto menor for o valor de α Normalmente α é fixado em: 10% 5% * Evento raro 1% ** Evento raríssimo 0,1% *** Evento raríssimo A probabilidade α é um valor definido arbitrariamente pelo pesquisador. 8

9 Erro Tipo II: aceitar uma hipótese falsa A probabilidade de se incorrer no Erro Tipo II é denominada β (beta). Nem sempre conseguimos determinar ou definir β em um teste de hipótese, pois normalmente a Hipótese Alternativa de um problema não contém muitos elementos. 9

10 Exemplo Baseado em Bussab; Moretin, 2002: 323 Uma cooperativa pode usar dois tipos de vergalhão para a construção de casas, produzidos pelas empresas A ou B de acordo com as especificações e com preços abaixo. Alguns lotes estão sendo vendido por R$1.100 e, antes de se decidir, a cooperativa terá acesso ao teste de uma amostra de 25 peças. Empresa Resistência à tração Desvio-padrão Preço lote A 1450 kg 120 kg R$ B 1550 kg 200 kg R$ (a). Se a regra de decisão fosse: caso o resultado do teste seja inferior à 1500kg, considero que os vergalhões são de A, caso contrário, são de B, calcule a probabilidade de cometer os seguintes erros: Tipo I: dizer que os vergalhões são de A quando na realidade são de B; Tipo II: dizer que os vergalhões são de B quando na realidade são de A (b). Qual deveria ser a regra de decisão se o comprador quiser que o risco de comprar A ao invés de B (Erro Tipo I), seja menor que 5%? 10

11 Como escolher o erro que aceitamos cometer? Ao se diminuir a probabilidade de Erro I, aumenta-se a chance de Erro II. Para escolher que risco queremos correr é necessário analisar qual seria mais prejudicial para a pesquisa e para os seus possíveis impactos. Ex.: Por causa de um erro amostral excessivo seria mais grave considerar que há ou não diferenças no desempenho acadêmico de estudantes de acordo com o gênero?... há ou não diferenças no desempenho de motoristas que tomam bebidas alcoólicas? 11

12 Roteiro para o teste de hipótese 1. Definir as hipóteses. Nula (H 0 ) Alternativa (H A ) 2. Especificar as evidências estatísticas que serão usadas. Estimadores Obter propriedades da estatística (distribuição, média, desviopadrão...) 3. Fixar a probabilidade de cometer o Erro Tipo I (α) e especificar a regra de decisão. Valor de referência para aceitar ou rejeitar a hipótese (região crítica) 4. Apreciar a evidência. 5. Decidir e interpretar o resultado. 12

13 Usar t ou z para teste de hipótese? Se conhecermos o desvio-padrão da população (σ), pode-se usar a distribuição z. Caso não se conheça σ, temos que usar o s da amostra para determinar o intervalo de confiança. Assim, segue-se a mesma regra que para intervalos de confiança: Amostras grandes: nesse caso pode-se considerar que a amostra aproxima-se da normal Amostras pequenas: usar a distribuição t de Student 13

14 Teste de hipóteses para duas populações Objetivo: testar hipóteses que comparam médias de duas amostras, possivelmente de populações distintas. Tipos de amostras: Independentes: não há relação entre as amostras selecionadas em cada população Dependentes: cada membro de uma amostra corresponde a um membro da outra amostra. Também chamadas de emparelhadas ou relacionadas. População 1 (μ 1 ; σ 1 ) População 2 (μ 2 ; σ 2 ) Amostra (n, X, s) Amostra (m, Y, s) 14

15 Testes possíveis Diferença entre médias Diferença entre desvios-padrão (será tratado juntamente com ANOVA) 15

16 Considerações: teste de médias Populações: Normais (= distribuição amostral da média) Homocedásticas (σ X = σ Y = σ) Lembrar que: E( X Y) E( X ) E( Y) E( X Y) E( X ) E( Y) Var ( X Y) Var ( X ) Var ( Y) 2 Var ( k X ) k Var ( X ) 16

17 Amostras independentes Podemos definir um intervalo de confiança da diferença da média das amostras X e Y, com n e m elementos respectivamente. E( X Y) ~ N0; 2 2 X Y n m Como as populações são homocedásticas podemos simplificar: z s X Y 1. n Caso seja usada a distribuição t, os graus de liberdade serão ν = n+m-2 1 m Z X Y 2 2 X Y n m 17

18 IC do teste da diferença de duas médias N(0,1) z z E( X Y ) 0 Var( X Y ) Var( X ) Var( Y ) z s X Y 1. n 1 m

19 Amostras dependentes Nesse caso, a quantidade de elementos de X e Y são iguais (n). As amostras podem ser entendidas como pares (X 1 -Y 1,..., X n - Y n ) e, assim, podemos definir a variável D = X Y, resultando na amostra D 1,...,D n. Dessa forma, reduzimos o problema a uma única população e amostra, com as seguintes características: D 1 n n X Y i i X Y S 2 1 D Di D n i 1 n 1 i1 2 19

20 Teste de hipótese para proporção Idêntico ao teste de médias, considerando que a estatística p tem distribuição aproximadamente normal. pˆ ~ N p, p(1 n p) 20

21 Probabilidade de significância (p-valor) Invés de se definir arbitrariamente um valor para α, um procedimento alternativo consiste em determinar a probabilidade de significância, ou p-valor do teste. Nesse caso, em vez de se calcular a região crítica para aceitar ou rejeitar a hipótese, calcula-se qual a probabilidade de ocorrerem valores para X ou p mais desfavoráveis à H 0. A seguir julga-se se tal valor consiste em um evento raro. Em muitos casos, em vez de se determinar simplesmente se H 0 é rejeitada, diz-se que H 0 é rejeitada a um determinado nível de p-valor. 21

22 Exercício 1. As estruturas de 20 recém-nascidos, medidas em cm, foram tomadas no Departamento de Pediatria de um hospital Média: 49,35 Desvpad: 2,720 (a) Suponha que a distribuição populacional das estruturas seja normal, com variância de 2 cm 2. Teste a hipótese de que a média seja 50 cm admitindo o risco de 5% de cometer o erro tipo I. (b) Faça o mesmo supondo variância populacional desconhecida. 22

23 Roteiro para o teste de hipótese 1. Definir as hipóteses. Nula (H 0 ) Alternativa (H A ) 2. Especificar as evidências estatísticas que serão usadas. Estimadores Obter propriedades da estatística (distribuição, média, desviopadrão...) 3. Fixar a probabilidade de cometer o Erro Tipo I (α) e especificar a regra de decisão. Valor de referência para aceitar ou rejeitar a hipótese (região crítica) 4. Apreciar a evidência. 5. Decidir e interpretar o resultado. 23

24 Exercício 2. Desconfiada com os resultados do sorteio de grupos realizado por seu professor de Métodos Quantitativos, a aluna R. resolveu testar o dado utilizado fazendo 600 lançamentos, onde o lado três foi sorteado 123 vezes. (a) Podemos afirmar, ao nível de 5%, que o dado é viciado em relação ao lado 3? (b) Qual o p-valor do teste? (c) Com base nesse p-valor podemos afirmar que o dado é viciado ao nível de 1%? 24

25 Exercício (tirado de Bussab; Morettin, 2002:386) 3. Numa discussão sobre reajuste salarial os empresários afirmam que o salário médio da categoria é de 7,6 salários mínimos, enquanto os sindicatos dizem que é de 6,5. Para tirar suas dúvidas, cada parte fez uma amostra de trabalhadores e obteve os seguintes resultados: n Média Desvio-padrão Empresários 90 7,0 2,9 Sindicato 60 7,1 2,4 a. As amostras servem para justificar as afirmações dos dois grupos? b. De posse dos resultados, qual o seu parecer? 25

26 Exercício 4. Uma rede de supermercados testou duas estratégias diferentes de venda em supermercados de mesmo porte e perfil do público. Para compará-las utilizaram-se amostras de 50 clientes, obtendo-se as médias de gasto respectivamente em R$62 e R$71. Sabendo-se que o desvio-padrão em ambos os casos é de R$20, é possível afirmar que o gasto médio das duas filiais é o mesmo? Caso contrário, dê um intervalo de confiança para a diferença. 26

27 Exercício 5. Uma universidade deseja estudar o efeito de uma pausa entre as aulas sobre a produtividade dos estudantes. Para isso sorteou 6 alunos e contou o número de artigos produzidos em uma semana sem o intervalo e em uma semana com o intervalo. a. Os resultados sugerem que há melhora na produtividade? b. Calcule o p-valor do teste média desvpad Sem intervalo ,5 6,626 Com intervalo ,712 27