Unidade 5.2. Teste de hipóteses. Hipótese estatística. (uma população) Formulando as hipóteses. Teste de Hipóteses X Intervalo de Confiança

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1 Hipótese estatística Unidade 5. Teste de Hipóteses (uma população) Hipótese estatística-qualquer afirmação feita sobre um parâmetro populacional desconhecido. Hipótese: Duração média da bateria (µ) > 300 min Teste de hipóteses-procedimento estatístico usado para validar ou não as hipóteses Testar se: µ> 300 min ou não (µ 300 min) 1 Teste de Hipóteses X Intervalo de Confiança Intervalo de confiança Usando os dados de uma amostra, o objetivo do IC é estimar a média da duração da bateria do celular por meio de um intervalo. Por exemplo, IC(µ) = (90 ; 330) minutos Teste de hipóteses Com os dados da amostra, o objetivo do TH é testar a hipótese de que a média da duração da bateria do celular é maior que 300 minutos. Ou seja, testar se µ> 300 ou µ Formulando as hipóteses O primeiro passo é formular as hipóteses, denominadas de hipótese nula e alternativa e denotadas por H 0 e H 1 Hipótese nula (H 0 ) hipótese tomada como referência e aceita até que os dados provem o contrário. É formulada usando o sinal da igualdade (=). Hipótese alternativa (H 1 ) hipótese de pesquisa e sempre contrária à H 0. É a hipótese aceita, caso H 0 seja rejeitada. Utiliza os sinais de desigualdade (<, > ou ). 4

2 Exemplo -Formulando H 0 e H 1 (a) Há evidências das peças produzidas terem um diâmetro médio acima do valor nominal de 70 mm? H 0 : H 1 : Tipos de erros Dependendo dos dados que temos, podemos rejeitar ou não H 0. Decisão do teste H 0 verdadeira Situação real Quando temos os dados de toda a população H 0 falsa (b) No último censo, 0% das famílias viviam abaixo da linha da pobreza. Rejeita H 0 Não rejeita H 0 ERRO TIPO I correto correto ERRO TIPO II Testar se esta proporção aumentou atualmente H 0 : H 1 : Testar se esta proporção diminuiu atualmente H 0 : H 1 : Testar se esta proporção é diferente atualmente H 0 : H 1 : α= P(erro tipo I) = P(rejeitar H 0 H 0 é verdadeira) = nível de significância β= P(erro tipoii) = P(não rejeitar H 0 H 0 é falsa) 5 6 Nível de significância do teste Situação IDEAL: α= β= 0 (não houvesse erro) Para tamanho da amostra (n) já fixado, pode-se demonstrar que se diminuir o α, o β aumenta (e viceversa). O que é feito na PRÁTICA? Controlar o ERRO TIPO Ifixando-o em valores pequenos (α= 5% ou 1%). A escolha do αé arbitrária e dependerá da experiência de cada um. 7 Exemplo 1 Os funcionários em uma empresa de calçados tem uma produção média de 10 peças por mês com um desviopadrão de 30 peças. Os funcionários passaram por um treinamento com o objetivo de aumentar esta produção. (a) Formule as hipóteses a serem testadas. (b) Teste as hipóteses acima, sabendo que uma amostra de 36 funcionários apresentou uma média de 16 peças/mês, após o período de treinamento. Considere um nível de significância de 5%. (c) O treinamento foi eficiente? (d) Repetir b, supondo que a média fosse de 13 peças/mês. Qual a sua conclusão? 8

3 Pelo Teorema Central do Limite Teste de hipótese usando valor crítico X ~ Normal : ~ N(0 ; 1) Teste unilateral direito H 1 : µ> µ 0 Rejeitar H 0 se z calc +z tab α 0 +z TAB X Teste unilateral esquerdo H 1 : µ<µ 0 Rejeitar H 0 se z calc -z tab α -z TAB 0 Teste bilateral H 1 : µ µ 0 Rejeitar H 0 se z calc +z tab α/ α/ -z TAB 0 +z TAB 9 10 Solução do exemplo 1 : 10 ã çã : 10 çã Dados do problema desvio-padrão populacional conhecido: σ= 30 peças/mês amostra: n = 36 e = 16 peças/mês Estatística de teste Nível de significância do teste α = 5% Critério de decisão x α= 0.05 Não rejeita H 0 Rejeita H 0 Rejeita H 0 se z calc z tab = 1.65 Conclusão Como o z calc (1,0) não foi maior que 1.65, há evidências para NÃO rejeitar H 0. Portanto, o treinamento NÃO foi eficiente em aumentar a produção média. 11 continuando com o exemplo 1 (d) Supondo que a média da amostra fosse de 13 peças/mês, qual seria a conclusão do teste? : =10 ã çã : >10 çã Estatística de teste Critério de decisão Rejeita H 0 se z calc z tab = 1.65 =.40 Conclusão Como o z calc (.40) foi maior que 1.65, há evidências para rejeitar H 0. Portanto, o treinamento foi eficiente em aumentar a produção média. 1

4 Abordagem do Uma forma de medir o afastamento da estatística de teste do valor hipotético é calcular a probabilidade de se ter valores tão ou mais extremo que o valor observado. Se esta probabilidade for suficientemente pequena, temos evidênciacontraah 0. Chamamosestaprobabilidadede. É a probabilidade de se obter um resultado igual ou mais extremo do aquele obtido pela estatística de teste (supondoh 0 verdadeira) Um grande fornece evidência a favor de H 0, enquanto que um pequeno indica que existe evidêncianosdadoscontraah 0 Critério de decisão usando o valor-p Se α RejeitarH 0 Se > α NãorejeitarH Teste de hipóteses usando o Teste unilateral direito H 1 : µ> µ 0 Teste bilateral H 1 : µ µ 0 = área à direita de z calc Teste unilateral esquerdo = área à esquerda de z calc H 1 : µ<µ 0 = x (área extrema à z calc ) 0 +z calc -z calc 0 -z calc 0 +z calc 15 continuando com o exemplo 1 (e)calculeopara = 16 ç / ê = Conclusão Como o (11.51%) é maior que o α(5%), há evidências para NÃO rejeitar H 0. Portanto, o treinamento NÃO foi eficiente em aumentar a produção média. O (11.51%) significa que a chance de errar ao rejeitar H 0 é de 11,51%. 16

5 continuando com o exemplo 1 (f)calculeopara = 13 ç / ê Qual é a sua conclusão (rejeitar ou não H 0 )? = H 0 : p = 0% H 0 : p = 0% H 0 : p = 0% H 1 : p 0% H 1 : p 0% H 1 : p 0% 0.40 Conclusão Como o (0.8%) é menor que o α(5%), há evidências para rejeitar H 0. Portanto, o treinamento foi eficiente em aumentar a produção média. = 0,436 = 0,0006 = 0,03 O (0.8%) significa que a chance de errar ao rejeitar H 0 é de apenas 0.8% Etapas em um TH 1) Formular as hipótesesh 0 e H 1 ; ) Fixar o nível de significância do teste (α); 3) Obter uma amostra e calcular a estatística de teste; 4) Utilizar um critério de critério de decisão; Teste de hipótese para a média populacional (µ) Abordagem clássica usando os valores críticos; Abordagem do 5) Conclusão final dentro do contexto do problema 19 0

6 Estatística de teste H 1 : µ µ 0 (> ou <) = σ conhecido Usar tabela Z = σ desconhecido Usar tabela T de Student Condições: população normal ou grandes amostras (n 30) Exemplo No Brasil, suspeita-se de que os municípios pequenos (com menos de 0 mil habitantes) têm uma receita média per capita maior que a receita média do estado, que é de reais. (a) Formule as hipóteses a serem formuladas (b)se 36 municípios pequenos foi selecionada e obtida uma média amostral for reais, teste as hipóteses ao nível de significância de 5%. Assuma que o desviopadrão populacional das receitas é de σ= 600 reais (dados históricos). Qual a sua conclusão? 1 Exemplo 3 Abaixo temos o tempo em minutos que cinco funcionários gastaram para executar uma tarefa a) Os dados acima seguem a distribuição normal? Use o gráfico e probabilidade normal. b) Há evidências de que os funcionários desta empresa gastam, em média, mais de uma hora para executar a tarefa? Use o teste de hipóteses ao nível de significância de 5%. Qual a sua conclusão? 3 Exemplo 4 Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos seus cigarros é menor que 5 mg por cigarro. (a) Formule as hipóteses para testar a afirmação do fabricante. (b) Suponha que um laboratório obteve os seguintes níveis de nicotina em seis cigarros: 7, 4, 1, 5, 6 e. Ao nível de significância de 5%, podemos acreditar na afirmação do fabricante? Assuma que o índice de nicotina segue a distribuição normal. 4

7 Exemplo 5 Sempre que o aumento médio da temperatura da água em uma câmara compressora superar 5 o C, o processo de resfriamento deve ser recalibrado. Esse processo é, entretanto, caro e por isso deve ser realizado apenas se necessário. Em oito experimentos independentes com a câmara, obtiveram-se os seguintes aumentos médios: Teste de hipótese para a proporção populacional (p) a) Esses dados sugerem a necessidade de recalibração? Use um teste de hipótese com α= b) Determine um intervalo de 95% de confiança para estimar o aumento médio de temperatura da água. 5 6 Estatística de teste H 0 : p= p 0 H 1 : p p 0 (> ou <) Exemplo 6 Uma pesquisa de opinião foi realizada com uma amostra aleatória de 300 pessoas em uma cidade sobre a satisfação deles com o trabalho do prefeito. As respostas estão na tabela abaixo: = Condições: # sucessos = np 0 5 sob H 0 # fracassos = nq 0 5 sob H 0 Satisfeito? Nº de pessoas Sim 40 Não 40 Indeciso 0 Há evidências de que mais de ¾ das pessoas da cidade estão satisfeitas com o prefeito? Use o teste de hipótese com α= 0,

8 Exemplo 7 No último Censo, 0% das famílias de um bairro viviam abaixo da linha da pobreza. Um pesquisador tem interesse em verificar se esta proporção diminuiu. Exemplo 8 Um fabricante quer verificar se sua linha de produção produz 10% de itens com defeito. a) Formule as hipóteses a serem testadas. b) Teste as hipóteses acima, supondo que um estudo com uma amostra de 00 famílias, verificou-se que 35 famílias viviam abaixo da linha da pobreza. Use um nível de significância de 5%. Qual a sua conclusão? a) Formule as hipóteses a serem testadas? b) Suponha que de uma amostra de 00 itens, 30 deles estavam com defeito, teste as hipóteses acima ao nível significância de 3%. Qual a sua conclusão? c) Construa um intervalo de confiança de 95% para estimar a proporção de itens com defeito nesta indústria Inferência para o desvio-padrão Teste de hipótese e Intervalo de confiança para a variância populacional (σ ) Consideremos uma amostra aleatória de n elementos de uma população com distribuição normal com média µ e variância σ. Se o interesse recai sobre a variância σ, um bom estimador pontual seria a variância amostral s. 31 3

9 Intervalo de confiança Teste de hipótese Intervalo de confiança para a variância σ ( n 1) s χ D σ ( n 1) s χ E Suposição: Os dados devem ter distribuição normal e os valores críticos χ D e χ E são obtidos da distribuição quiquadrado. H 0 : σ= σ 0 H 1 : σ σ 0 (> ou <) = 1 Intervalo de confiança para o desvio-padrão σ ( n 1) s χ D σ ( n 1) s χ E 33 Condições: Dados devem ter distribuição normal 34 Teste de hipóteses desvio-padrão Distribuição Qui-Quadrado (1) Só assume valores positivos; () É uma distribuição χ E e assimétrica à direita, mas χ D para grandes amostras ela tende ser mais simétrica; Suposição: Os dados devem ter distribuição normal e os valores críticos χ D e χ E são obtidos da distribuição qui-quadrado. 35 (3) É uma distribuição que depende do grau de liberdade (gl = n 1), tal como vimos na distribuição t-student. 36

10 Distribuição Qui-Quadrado EXEMPLO Encontre os valores críticos usando a distribuição qui-quadrado. (a) n = 10 teste de hipótese direito (b) n = 0 IC de 95% de confiança 0,95??? α = 0,05 37 Exemplo 9 Em uma rede de transmissão de energia elétrica, é de se esperar que ocorram pequenas flutuações na tensão (voltagem) da rede. O desvio-padrão das voltagens apresentadas nas residências atualmente está em torno de 1 volts, porém os usuários estão reclamando dessa alta variação da tensão da rede. Para tentar resolver o problema, a empresa instalou novos transformadores com o objetivo de reduzir o valor do desvio-padrão da tensão e obter, com isto, uma voltagem mais estável. Após a instalação dos novos transformadores, foram obtidas 30 medições da tensão obtendo um desvio-padrão amostral de 8 volts. Pela experiência, podemos assumir que a tensão segue a distribuição normal. 38 a) Há evidências de que o real desvio-padrão populacionalreduziu após a instalação dos novos transformadores? Use um nível de significância de 0,05. b) Construa um intervalo de 95% de confiança para o real desvio-padrão populacional, após a instalação dos novos transformadores. Distribuição Qui-Quadrado Áreas estão na cauda direita da curva. n , , , , n = 0 e α = 5% χ 1-α = χ 0.95 = 10,117 χ α = χ 0.05 = 30,

11 Distribuição de probabilidade sob H 0 H 0 : p = 50% (moeda é honesta) f(x) 0,16 0,14 0,1 0,10 0,08 0,06 0,051 0,081 0,11 0,135 0,144 0,135 0,11 0,081 0, f = ( 0) = 0, 5 0, 5 0, 08 teste de Hipótese usando IC Curva poder cálculo do n para alpae beta fixos 0,04 0,08 0,08 0,0 0, ,013 0,005 0,00 0, x 0 0,013 0,005 0,00 0,