Probabilidade e Estatística - EST0003 Intervalos Estatísticos para uma única Amostra

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1 Probabilidade e Estatística - EST0003 Intervalos Estatísticos para uma única Amostra Fernando Deeke Sasse 14 de maio de 2010

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3 Introdução Quão boa é uma dada estimação de um parâmetro? Suponha que estimamos a viscosidade média de um produto químico como sendo ˆµ = x = Por causa da variabilidade amostral praticamente nunca ocorre que µ = x. A estimação pontual não diz nada sobre quão próximo ˆµ está de µ. A média está entre 900 e 1100 ou entre 990 e 1010? Respostas a estas questões afetam nossas decisões sobre o processo.

4 Intervalo de Confiança Intervalo de confiança: intervalo estimado para um parâmetro de uma população. Não podemos estar certos de que o intervalo contém o valor verdadeiro (desconhecido) do parâmetro populacional, pois somente usamos uma amostra da população total para computar a estimação pontual e o intervalo. O intervalo de confiança é contruído de modo a termos alta confiança de que o intervalo contém o verdadeiro valor desconhecido do parâmetro da população.

5 Intervalo de Tolerância I Suponhamos que que temos dados sobre uma quantidade física associada a um sistema, sendo estes valores normalmente distribuídos. Queremos determinar os números que limitam 95% dos valores desse parâmetro. Para uma população normal sabemos que 95% da distribuição está no intervalo (µ 1.96σ, µ σ) No entanto, este não é um intervalo totalmente satisfatório, pois os parâmetros µ e σ são desconhecidos.

6 Intervalo de Tolerância II Estimadores pontuais x e s podem ser usados, mas devemos ainda levar em conta possíveis erros nestas estimações. Formamos então o intervalo de tolerância para a distribuição: (x ks, x + ks), onde k é uma constante apropriada (maior que 1.96) Não há certeza absoluta de que de que o intervalo acima limite realmente 95% da distribuição, mas o intervalo é construído de modo que temos alta confiança de que isso aconteça.

7 Intervalos: Resumo Um intervalo de confiança limita os parâmetros de uma população ou distribuição. Um intervalo de tolerância limita uma proporção selecionada de uma uma distribuição.

8 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida I Suponhamos uma amostra aleatória X 1, X 2,..., X n de uma distribuição normal com média desconhecida µ e variância conhecida σ 2. A variável aleatória associada à média amostral X é normalmente distribuída, com média mu e variância σ 2 /n. Padronizando X temos Z = X µ σ/ n

9 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida II Uma estimação do intervalo de confiança (IC) para µ é um intervalo da forma l µ u, onde os pontos extremos l e u são computados a partir dos dados amostrais. Como diferentes amostras resultam em diferentes valores para l e u, estes valores extremos são valores de variáveis aleatórias L e U, respectivamente.

10 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida III Normalmente determinamos os valores de L e U a partir da seguinte expressão probabiĺıstica: onde 1 α 1 é dado. P(L µ U) = 1 α, Temos uma probabilidade 1 α (coeficiente de confiança) de selecionar uma amostra para a qual o IC conterá o valor verdadeiro de µ.

11 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida IV Selecionamos a amostra, de modo que X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X n = x n, e computamos l e u (limites de confiança superior e inferior), para o dado α. O intervalo de confiança resultante para µ é l µ u.

12 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida IV Como Z = X µ σ/ n é uma variável aleatória normal padrão temos (usando a simetria da distribuição): ( P = z α/2 X µ ) σ/ n z α/2 = 1 α ou ) σ σ P = (X z α/2 n µ X + z α/2 n = 1 α

13 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida V Definição: Se x é a média amostral de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com variância conhecida σ 2, um intervalo de confiança de 100(1 α)% sobre µ é dado por x z α/2 σ n µ x + z α/2 σ n onde z α/2 é o ponto correspondente a 100α% na distribuição normal padrão.

14 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida VI Exemplo 1. Medidas de energia de impacto (J): 64.1, 64.7, 64.5, 64.6, 64.5, 64.3, 64.6, 64.8, 64.2, Suponhamos que a energia de impacto é normalmente distribuída com σ = 1J. Queremos encontrar um IC de 95% para a média µ.

15 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida VII > restart; > with(statistics); > L := [64.1, 64.7, 64.5, 64.6, 64.5, 64.3, 64.6, 64.8, 64.2, 64.3]; > alpha := 0.5e-1; > Z := RandomVariable(Normal(0, 1)); > za := -Quantile(Z, (1/2)*alpha) > xc := Mean(L) za := xc :=

16 Intervalo de Confiança na Média de uma Distribuição Normal, Variância Conhecida VIII > sigma:=1: > n:=nops(l) n := 10 > l := evalf(xc-za*sigma/sqrt(n)); u := evalf(xc+za*sigma/sqrt(n); l := u := Portanto, µ

17 Interpretação do Intervalo de Confiança I No problema anterior obtivemos a resposta: O intervalo de confiança de 95% é µ Interpretação incorreta: µ está neste intervalo com probabilidade 95%. O intervalo de confiança é um intervalo aleatório, pois L e U são variáveis aleatórias. De fato, P(L µ U) = 1 α,

18 Interpretação do Intervalo de Confiança II Interpretação correta: Se um número infinito de amostras aleatórias forem coletadas e um intervalo de confiança de 100(1 α)% for computado para cada amostra, então 100(1 α)% destes intervalos conterão o verdadeiro valor de µ. µ Interval number MONTGOMERY: Applied Statistics, 3e

19 Interpretação do Intervalo de Confiança III Na prática obtemos somente uma amostra e calculamos um intervalo de confiança. Como este intervalo conterá ou não o valor verdadeiro de mu, é razoável atribuir uma probabilidade a este evento específico. O intervalo observado [l, u] contém o verdadeiro de µ com confiança 100(1 α)%. Interpretação em termos de frequência: não sabemos o se esta afirmação é verdadeira para esta amostra específica, mas o método utilizado para obter o intervalo [l, u] resulta em afirmações corretas 100(1 α)% das vezes.

20 Nível de Confiança e Precisão de Estimação O que aconteceria se escolhessemos, no problema anterior, um nível de confiança de 99% em vez de 95%? Em geral, dados o tamanho da amostra n e o desvio padrão σ, quanto maior o nível de confiança, maior o intervalo de confiança. O comprimento de um intervalo de confiança é uma medida da precisão da estimação. A precisão é inversamente relacionada com o nível de confiança. Devemos obter um IC que é pequeno o suficiente para que decisões possam ser tomadas, que possui também uma confiança adequada.

21 Escolha do Tamanho da Amostra I O modo de obter um IC com um nível de confiança adequado é escolher n adequadamente. Precisão (ou comprimento) do intervalo de confiança: 2z α/2 σ n Ao usarmos x para estimar µ, temos que o erro E = x µ deve satisfazer a x µ 2z α/2 σ n com uma confiança de 100(1 α)%.

22 Escolha do Tamanho da Amostra II E = error = x µ l = x z α/2 σ / n x µ u = x + z α /2 σ / n MONTGOMERY: Applied Statistics, 3e Fig. 8.2 W-138

23 Escolha do Tamanho da Amostra III Se x é usado para estimar µ, podemos estar 100(1 α)% confiantes de que o erro x µ não excederá um erro E quando o tamanho da amostra for ( zα/2 σ) 2 n = E Notemos que 2E será o tamanho do intervalo de confiança resultante.

24 Escolha do Tamanho da Amostra: Exemplo Exemplo 2. Consideremos novamente os dados do Exemplo 1: medidas de energia de impacto (J): 64.1, 64.7, 64.5, 64.6, 64.5, 64.3, 64.6, 64.8, 64.2, Queremos agora determinar quantos elementos devem haver na amostra para assegurar um intervalo de confiança de 95% sobre a média de no máximo 0.8J. Temos então E = 0.8, σ = 1, α = 0.05, z α/2 = z = ( zα/2 σ) 2 ( ) 2 (1.96) 1 n = = = E 0.4 Ou seja, necessitamos de uma amostra de tamanho ao menos n = 25 elementos.

25 Limites de Confiança Unilaterais Intervalo de confiança superiormente limitado para µ: µ u = x + z ασ n Intervalo de confiança superiormente limitado para µ: x z ασ = l µ n

26 Exemplo A vida em horas de uma lâmpada tem distribuição normal com σ = 25h. A partir de uma amostra de 20 lâmpadas é obtida uma vida média de 1054h. (a) Construa um intervalo de confiança bilateral de 95% sobre a vida média. (b) Construa um intervalo de confiança limitado inferiormente de 95% sobre a vida média. (c) Qual o tamanho da amostra a ser usada se quisermos um intervalo de confiança de 95% sobre a média, com largura de 5.5h? (d) Suponha que queremos estar 95% confiantes de que o erro na estimação da vida média é menos de 4.5h. Qual deve ser o tamanho da amostra?

27 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras I Se o tamanho da amostra é grande, o teorema do limite central garante que X tem aproximadamente uma distribuição normal com média mu e variância σ 2 /n. Portanto, Z = X µ σ/ n tem distribuição aproximadamente normal padrão. Quando σ é desconhecido ele pode ser aproximado pelo desvio-padrão amostral s (sempre que n for grande).

28 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras II Consequentemente, Z = X µ S/ n tem aproximadamente uma distribuição normal padrão e, para um nível de confiança de 1 α, s s x z α/2 µ x + z α/2 n n

29 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras III - Exemplo Exemplo 3. Uma amostra de peixes selecionados a partir de 53 lagos do estado da Flórida. A concentração de mercúrio medida nas amostras em ppm é :

30 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras: Solução com Maple I > with(statistics); > L:=[1.230, 1.330, 0.040, 0.044, 1.200, 0.270, 0.490, 0.190, 0.830, 0.810, 0.710,.500, 0.490, 1.160, 0.050, 0.150, 0.190, 0.770, 1.080, 0.980, 0.630, 0.560, 0.410, 0.730, 0.590, 0.340, 0.340, 0.840, 0.500, 0.340, 0.280, 0.340, 0.750, 0.870, 0.560, 0.170, 0.180, 0.190, 0.040, 0.490, 1.100, 0.160, 0.100, 0.210, 0.860, 0.520, 0.650, 0.270, 0.940, 0.400, 0.430, 0.250, 0.270]: > mu:=mean(l); > s:=standarddeviation(l); µ := s := Notamos que a dispersão é grande.

31 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras: Solução com Maple II Notemos que a distribuição não é normal: > NormalPlot(L);

32 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras: Solução com Maple III > Histogram(L, frequencyscale = absolute, bincount = 14)

33 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras: Solução com Maple III Apesar da distribuição não ser normal, como n > 40, o teorema do limite central implica que a média X tem distribuição aproximadamente normal com média µ e variância σ 2. Portanto, o intervalo de confiança de 95% sobre mu é dado por s s l = x z µ x + z = u n n

34 Intervalo de Confiança na Média para Grandes Amostras: Solução com Maple IV Calculemos estas quantidades no Maple: > alpha := 0.5e-1; > Z := RandomVariable(Normal(0, 1)); > za := -Quantile(Z, (1/2)*alpha); α := 0.05 za := > l:=xc-za*s/sqrt(n); u := evalf(xc+za*s/sqrt(n)) l := u := Portanto, µ

35 IC sobre a Média de uma Distribuição Normal: Variância Desconhecida Quando n 40, independente de σ 2 ser conhecido ou não, o teorema do limite central garante que X tem distribuição normal. Suponhamos que n é pequeno e a população tem distribuição aproximadamente normal. Suponhamos que X é a média amostral e S 2 é a variância amostral. A variável aleatória padrão T = X µ S/ N, quando n é pequeno, tem distribuição - t.

36 Distribuição t Seja X 1, X 2,..., X N uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média desconhecida µ e variância desconhecida σ 2. Então a variável aletória T = X µ S/ N, tem uma distribuição t com n 1 graus de liberdade: f (x) = Γ ( ) k+1 2 πkγ ( 1 ) k [( ) ] 2 x 2 (k+1)/2, k + 1 onde k é o número de graus de liberdade,

37 Gráficos no Maple > restart; > with(statistics); > with(plots); > T := RandomVariable(StudentT(10)); > Z := RandomVariable(Normal(0, 1)); > p1:=densityplot(t, range = , thickness = 3, color=red): > p2:=densityplot(z, range = , thickness = 3): > display([p1, p2]);

38 Distribuição t

39 Intervalo de Confiança sobre a Média com Distribuição t Seja t α/2,n 1 o ponto correspondente à porcentagem 100α/2 da distribuição t com n 1 graus de liberdade. Podemos então escrever P(t α/2,n 1 T t α/2,n 1 ) = 1 α ou P Isolando µ obtemos ( P X t α/2,n 1S n ( t α/2,n 1 X µ ) S/ N t α/2,n 1 = 1 α. µ X + t α/2,n 1S n ) = 1 α.

40 Intervalo de Confiança sobre a Média com Distribuição t Se x e s são a média e o desvio padrão de uma amostra aleatória de uma distribuição normal com variância desconhecida, então um intervalo de confiança de 100(1 α)% sobre µ é dado por P ( x t α/2,n 1s n µ x + t α/2,n 1s n ) = 1 α, onde t α/2,n 1 o ponto correspondente à porcentagem 100α/2 da distribuição t com n 1 graus de liberdade.

41 Distribuição t: Exemplo Um artigo no Journal of Composite Materials, (December 1989, Vol 23, p. 1200) descreve o efeito de delaminação na frequência natural de barras feitas a partir de laminados compostos. 5 barras delaminadas são sujeitas a cargas, e as frequências resultantes são as seguintes (Hz): , , , , Determine um intervalo de confiança de 90% sobre a média. Há evidências que suportem a suposição de normalidade da população?

42 Distribuição t: Exemplo Verifiquemos a hipótese de normalidade da distribuição fazendo um plot normal: > restart; > with(statistics); > L := [230.66, , , , ]; > NormalPlot(L);

43 Distribuição t: Exemplo Como o número de amostras é pequeno, devemos calcular o IC utilizando a distribuição t: > n := 5; > mu := Mean(L); > s := StandardDeviation(L); > k := n-1; > alpha := 0.10 > T := RandomVariable(StudentT(k)); > tc := Quantile(T, 1-alpha/2); xc := evalf(tc*s/sqrt(n)) tc := Os extremos inferior e superior do IC de 90% na média são então dados por l := mu-xc; u := mu+xc

44 Intervalo de Confiança na Variância e no Desvio Padrão de uma População Normal Seja X 1, X 2,..., X n uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média µ e variância σ 2. Seja S 2 a variância amostral. Então a variável aleatória X 2 2 (n 1)S = σ 2 tem uma distribuição χ 2 com n 1 graus de liberdade.

45 Distribuição χ 2 A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória χ 2 é dada por f (x) = 1 2 k/2 Γ(k/2) x k/2 1 e x/2, x > 0 onde k é o número de graus de liberdade. Além disso, E(χ 2 ) = k, V (χ 2 ) = 2k.

46 Distribuição χ 2 : Índice de Confiança P ( ) X 2 > χ 2 α,k = f (u) du = α χ 2 α,k f (x) α 0 2 α, k x

47 Distribuição χ 2 : Exemplo P ( X 2 > χ ,10) = P ( X 2 > ) = 0.05 P ( X 2 > χ ,10) = P ( X 2 > 3.94 ) = 0.95 f (x) , 10 = , 10 = 18.31

48 Distribuição χ 2 : Construção do IC para σ 2 Como X 2 2 (n 1)S = σ 2 é uma variável aleatória com distribuição χ 2 com n 1 graus de liberdade, podemos escrever ( ) P χ 2 1 α/2,n 1 X 2 χ 2 α/2,n 1 = 1 α ou P 2 21 α/2,n 1 (n 1)S (χ σ 2 ) χ 2 α/2,n 1 = 1 α.

49 Distribuição χ 2 : Construção do IC para σ 2 Portanto, ( (n 1)s 2 P σ 2 χ 2 α/2,n 1 ) (n 1)s2 χ 2 = 1 α. 1 α/2,n 1

50 Distribuição χ 2 : Construção do IC para σ 2 Se s 2 é a variância amostral de uma amostra aleatória de n observações de uma distribuição com variância desconhecida σ 2, então um intervalo de confiança de 100(1 α)% sobre σ 2 é dado por (n 1)s 2 χ 2 α/2,n 1 σ 2 (n 1)s2 χ 2, 1 α/2,n 1 onde χ 2 α/2,n 1 e χ2 1 α/2,n 1 são os pontos de porcentagem 100α/2 superior e inferior da distribuição χ 2 de n 1 graus de liberdade, respectivamente.

51 Distribuição χ 2 : Construção do IC para σ O IC de 100(1 α)% sobre o desvio padrão σ é dado por (n 1)s 2 (n 1)s 2 σ, χ 2 α/2,n 1 χ 2 1 α/2,n 1

52 Distribuição χ 2 : Limites de Confiança Inferior e Superior Os limites de confiança de 100(1 α)% inferior e superior sobre σ 2 são dados por e respectivamente. (n 1)s 2 χ 2 α,n 1 σ 2 σ 2 (n 1)s2 χ 2 1 α,n 1,

53 Distribuição χ 2 no Maple > with(statistics); > with(plots); > X := k->randomvariable(chisquare(k)); > p1 := DensityPlot(X(10), range = , thickness = 3, color = blue); > p2 := DensityPlot(X(5), range = , thickness = 3, color = red); > p3 := DensityPlot(X(2), range = , thickness = 3, color = black); > display([p1, p2, p3]);

54 O p1 d DensityPlot X 10, range = , thickness = 3, color = blue : O p2 d DensityPlot X 5, range = , thickness = 3, color = red : O p3 d DensityPlot X 2, range = , thickness = 3, color = black : O display p1, p2, p3 Distribuição χ 2 no Maple O

55 Distribuição χ 2 : Exemplo Uma máquina enche recipientes plásticos com detergente. Uma amostra aleatória de 20 garrafas resulta numa variância amostral de s 2 = ml de volume preenchido. Se a variância é muito grande, uma proporção inaceitável de garrafas ficará cheia demais ou de menos. Suponhamos que o volume de preenchimento tem distribuição aproximadamente normal. Determine um intervalo de confiança superior de 95% sobre σ 2.

56 Distribuição χ 2 : Exemplo Devemos calcular, com n 1 = 19, α = 0.95, s 2 = , σ 2 (n 1)s2 χ 2, 1 α,n 1

57 Distribuição χ 2 : Exemplo > restart; > with(statistics); > with(plots); > X := RandomVariable(ChiSquare(k)); > n := 20; > k := n-1; > s := (0.459)^(1/2): > chi2 := Quantile(X, 0.05) > u := (n-1)*s^2/chi2; χ2 := u := Portanto, σ ml 2, σ 0.93ml.