O cilindro deitado. Eduardo Colli

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "O cilindro deitado. Eduardo Colli"

Transcrição

1 O cilindro deitado Eduardo Colli São poucas as chamadas funções elementares : potências e raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e suas inversas, funções trigonométricas hiperbólicas e mais algumas que merecem um nome especial. A partir delas podemos evidentemente construir muitas outras, fazendo uso das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, além da composição de funções. Por exemplo, e x é x elevado ao quadrado, com sinal trocado e depois exponenciado. No entanto mesmo a enorme gama de funções que podem ser definidas dessa forma não é suficiente para resolver certos problemas. Por exemplo, dada uma função f definida como uma combinação de funções elementares, pode-se escrever sua inversa f 1 como combinação de funções elementares? A resposta é não, nem sempre! O experimento do cilindro deitado ilustra como isso pode surgir num problema prático. Suponha 1

2 que queiramos determinar uma escala de volume na borda do cilindro. Na prática, podemos determinar uma escala de ângulos, variando de 0 (recipiente vazio) a π (recipiente cheio) - vide figura abaixo. É fácil ver que o volume V depende do ângulo θ segundo a relação V (θ) = l πr 1 π (θ 1 sen θ). Mas como, dado V, podemos achar θ? Não há uma fórmula para isso, porém é possível resolver o problema, para cada V, usando métodos numéricos... θ r Inversão de funções e zeros de funções Neste problema, convém adotar o volume relativo como variável. Em outras palavras, como lπr é o volume total do cilindro, usaremos v(θ) = V (θ) lπr = 1 π (θ 1 sen θ), cujo gráfico se vê na figura abaixo. 1 v v( θ) 0 π θ

3 Assim, v(θ) = 1 quando θ = π (e igual a 1 quando θ = π ). Isso também permite que as contas adotadas sejam universais, isto é, independentes do comprimento e do diâmetro do cilindro. Se quisermos por exemplo fazer uma marca no ângulo θ que corresponde ao preenchimento de 80% do volume do cilindro, teremos que resolver a equação v(θ) = 0.8. Isto é o mesmo que achar o zero (ou a raiz) da função f(θ) = v(θ) 0.8. De forma geral, isso nos dá uma receita para achar, dado v entre 0 e 1, o ângulo θ = θ(v) tal que v(θ) = v. A função θ(v) é a inversa da função v(θ)! Há vários métodos para se achar zeros de funções, porém destacase o Método de Newton, por causa de sua simplicidade e eficiência. O Método de Newton Procuramos a solução θ tal que f(θ ) = 0, mas precisamos ter pelo menos um palpite inicial para começar. Esse palpite inicial será chamado de θ 0. Em seguida, refinaremos o palpite, obtendo θ 1 que, esperamos, esteja mais próximo de θ. Sucessivamente, obteremos θ k+1 como melhoramento de θ k, com a esperança de que a seqüência de valores θ k se aproxime assintoticamente de θ. O refinamento de θ k para θ k+1 é feito da seguinte forma. Primeiro aproxima-se a função f em primeira ordem em torno de θ k : f(θ) f(θ k ) + f (θ k )(θ θ k ). Se a expressão do lado direito fosse exata, seria fácil calcular onde f se anula. No entanto, como não é, o valor de θ que anula o lado 3

4 direito é apenas mais uma aproximação de θ, que chamaremos de θ k+1. Então θ k+1 se define pela expressão isto é, f(θ k ) + f (θ k )(θ k+1 θ k ) = 0, θ k+1 = θ k f(θ k) f (θ k ). O ponto mais delicado do Método de Newton é a escolha do palpite inicial. Dependendo do valor tomado, pode ocorrer que a seqüência dos θ k não convirja, ou convirja para outro zero da função que não corresponde ao valor buscado. Aplicação do método Apliquemos o Método de Newton no exemplo do cilindro. Por exemplo, queremos achar θ tal que v(θ) = 0.6, ou seja, achar o zero da função f(θ) = v(θ) 0.6. Então montamos a fórmula de iteração do Método de Newton: θ k+1 = θ k f(θ k) f (θ k+1 ) = θ k v(θ k) 0.6 v (θ k ) Substituindo a expressão de v(θ) e manipulando a expressão obtemos 1 θ k+1 = sen (θ k) θ k cos(θ k ) + 0.6π. 1 cos(θ k ) Escolhemos θ 0 = π como chute inicial, o que numa calculadora com 10 casas decimais dá θ 0 = Usando a fórmula de iteração obtemos θ 1 = , depois θ = , θ 3 = e θ 4 = O fato de θ 4 ter dado igual a θ 3 não quer dizer que este seja o valor exato da solução. A convergência assintótica da teoria dá lugar, na prática, a esse 4.

5 tipo de fenômeno, pois com um número limitado de algarismos significativos não é possível distinguir θ k de θ k+1, a partir de um certo iterado. Exercícios 1. Suponha que a seção do recipiente que contém a água seja um triângulo, ao invés de um círculo. Calcule o volume de água em função de sua altura no reservatório. Obtenha a função inversa, isto é, a altura da água em função de seu volume.. Faça o mesmo que no item anterior com uma seção pentagonal, em vez de triangular. 3. Calcule a raiz quinta de 19, resolvendo a equação x 5 = 19 com o auxílio do Método de Newton e uma calculadora. 4. Monte a fórmula de iteração do Método de Newton para f(x) = x a (usada para extrair a raiz quadrada de a) e interprete-a em termos de médias aritméticas e geométricas. 5. Uma loja vende uma geladeira à vista por R$1000,00, mas a prazo por R$1800,00, em 5 vezes. Calcule a taxa de juros utilizada pela loja, utilizando o Método de Newton. Observações taxa de juros (por exem- para se ter em mente: seja x = plo, se a taxa é 50% então x = 1.5). Seja v o valor à vista e n o número de prestações. A loja calcula o valor total a prazo p da seguinte maneira: p = v n + v n x + v n x v n xn 1 = v n xn 1 x 1. 5

6 Pesquisar Como saber que uma função escrita como composição (finita) de funções elementares não tem uma inversa escrita como composição (finita) de funções elementares? Ou ao menos como provar que existe uma tal função? Existem funções polinomiais com essa propriedade? 6

Aula 6 Propagação de erros

Aula 6 Propagação de erros Aula 6 Propagação de erros Conteúdo da aula: Como estimar incertezas de uma medida indireta Como realizar propagação de erros? Exemplo: medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza de C, se

Leia mais

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3

a, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3 Matemática 0. Considere a expressão x x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x. B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) x x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A

Leia mais

FUNÇÕES MATEMÁTICAS NÚMERO : PI() SENO E COSSENO: SEN() E COS()

FUNÇÕES MATEMÁTICAS NÚMERO : PI() SENO E COSSENO: SEN() E COS() FUNÇÕES MATEMÁTICAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS O Excel possui uma série de funções matemáticas em sua biblioteca. Para utilizar uma função, sempre devem ser utilizados os parêntesis, mesmo que estes fiquem vazios.

Leia mais

AULA DO CPOG. Progressão Aritmética

AULA DO CPOG. Progressão Aritmética AULA DO CPOG Progressão Aritmética Observe as seqüências numéricas: 2 4 6 8... 12 9 6 3... 5 5 5 5... Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 205-2 a Fase Proposta de resolução GRUPO I. O valor médio da variável aleatória X é: µ a + 2 2a + 0, Como, numa distribuição de probabilidades de uma variável aleatória,

Leia mais

Matemática. A probabilidade pedida é p =

Matemática. A probabilidade pedida é p = a) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de a 5. Uma bolinha é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade

Leia mais

f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +... + a 0 = 0 (a n > 0)

f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +... + a 0 = 0 (a n > 0) Lista de Exercícios Resolução de Equações Não Lineares 1) Para a delimitação das raízes reais de uma equação polinomial, além do teorema de Lagrange, existem vários outros como, por exemplo, o apresentado

Leia mais

Universidade dos Açores Curso de Especialização Tecnológica Gestão da Qualidade Matemática

Universidade dos Açores Curso de Especialização Tecnológica Gestão da Qualidade Matemática Universidade dos Açores Curso de Especialização Tecnológica Gestão da Qualidade Matemática Sinopse: Nesta disciplina são abordados conceitos básicos da teoria dos erros, funções e gráficos, derivadas,

Leia mais

SUMÁRIO. 1. REVISÃO DE GINÁSIO Critérios de divisibilidade. 2. CONJUNTOS Introdução. Operações de conjuntos. Conjuntos numéricos

SUMÁRIO. 1. REVISÃO DE GINÁSIO Critérios de divisibilidade. 2. CONJUNTOS Introdução. Operações de conjuntos. Conjuntos numéricos SUMÁRIO 1. REVISÃO DE GINÁSIO Critérios de divisibilidade Reconhecimento de número primo Decomposição em fatores primos Aplicação Potência Expressão numérica 2. CONJUNTOS Introdução Representação de um

Leia mais

As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio.

As operações de adição, subtração e multiplicação são feitas de maneira natural, considerando-se o número complexo como um binômio. NÚMEROS COMPLEXOS Prof Eduardo Nagel. DEFINIÇÃO No conjunto dos números reais R, temos que a = a. a é sempre um número não negativo para todo a. Ou seja, não é possível extrair a rai quadrada de um número

Leia mais

A. Equações não lineares

A. Equações não lineares A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm pelo menos uma solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)

Leia mais

VESTIBULAR UFPR 2009 (2ª FASE) PROVA DE MATEMÁTICA

VESTIBULAR UFPR 2009 (2ª FASE) PROVA DE MATEMÁTICA GERAL DOS PROFESSORES DO CURSO POSITIVO VESTIBULAR UFPR 009 (ª FASE) PROVA DE MATEMÁTICA Estamos diante de um exemplo de prova! A afirmação acima, feita pelo prof. Adilson, sintetiza a nossa impressão

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 8.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL 1. Representação, comparação e ordenação. Representar números racionais

Leia mais

A Derivada. 1.0 Conceitos. 2.0 Técnicas de Diferenciação. 2.1 Técnicas Básicas. Derivada de f em relação a x:

A Derivada. 1.0 Conceitos. 2.0 Técnicas de Diferenciação. 2.1 Técnicas Básicas. Derivada de f em relação a x: 1.0 Conceitos A Derivada Derivada de f em relação a x: Uma função é diferenciável / derivável em x 0 se existe o limite Se f é diferenciável no ponto x 0, então f é contínua em x 0. f é diferenciável em

Leia mais

Apostila de Matemática 16 Polinômios

Apostila de Matemática 16 Polinômios Apostila de Matemática 16 Polinômios 1.0 Definições Expressão polinomial ou polinômio Expressão que obedece a esta forma: a n, a n-1, a n-2, a 2, a 1, a 0 Números complexos chamados de coeficientes. n

Leia mais

PLANO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 1º BIMESTRE DIRETORIA DE ENSINO REGIÃO CAIEIRAS

PLANO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 1º BIMESTRE DIRETORIA DE ENSINO REGIÃO CAIEIRAS PLANO DE ENSINO DE MATEMÁTICA 1ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO 1º BIMESTRE 1-Conjuntos numéricos, regularidades numéricas e/ou geométricas ( conjuntos numéricos; seqüências numéricas e/ou geométricas; termo geral

Leia mais

FUNÇÃO QUADRÁTICA. Resumo

FUNÇÃO QUADRÁTICA. Resumo 01 / 08 / 12 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Definição Resumo Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: R R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0. Em que a é o coeficiente de x²; b

Leia mais

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0006308A - Fundamentos de Matemática Elementar Docente(s) Maria Edneia Martins Salandim Unidade Faculdade de Ciências Departamento

Leia mais

GABARITO PROVA AMARELA

GABARITO PROVA AMARELA GABARITO PROVA AMARELA 1 MATEMÁTICA 01 A 11 A 0 E 1 C 03 Anulada 13 Anulada 04 A 14 B 05 B 15 C 06 D 16 A 07 D 17 E 08 A 18 C 09 E 19 C 10 C 0 C GABARITO COMENTADO PROVA AMARELA 01. Utilizando que (-1)

Leia mais

Regressão, Interpolação e Extrapolação Numéricas

Regressão, Interpolação e Extrapolação Numéricas , e Extrapolação Numéricas Departamento de Física Universidade Federal da Paraíba 29 de Maio de 2009, e Extrapolação Numéricas O problema Introdução Quem é quem Um problema muito comum na física é o de

Leia mais

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:

Os eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo: Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema

Leia mais

para x = 111 e y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) 1 e) 214 Resolução Assim, para x = 111 e y = 112 teremos x + y = 223.

para x = 111 e y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) 1 e) 214 Resolução Assim, para x = 111 e y = 112 teremos x + y = 223. MATEMÁTICA d Um mapa está numa escala :0 000 000, o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de 0 000 000 de unidades. Se no mapa a distância entre duas

Leia mais

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase

Plano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0006308A - Fundamentos de Matemática Elementar Docente(s) Ivete Maria Baraldi Unidade Faculdade de Ciências Departamento Departamento

Leia mais

Raiz quadrada. Índice. Propriedades

Raiz quadrada. Índice. Propriedades Raiz quadrada Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre http://pt.wikipedia.org/wiki/raiz_quadrada dia 10/08/2010. Matematicamente, a raiz quadrada de um número real não negativo x é o número real não negativo

Leia mais

CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado

CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação FUNÇÕES POLINOMIAIS Função polinomial de 1º grau Professora: Walnice Brandão Machado O gráfico de

Leia mais

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO SUBSECRETARIA DE ENSINO COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO SUBSECRETARIA DE ENSINO COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO SUBSECRETARIA DE ENSINO COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO Provas 2º Bimestre 2012 MATEMÁTICA DESCRITORES DESCRITORES DO 2º BIMESTRE DE 2012

Leia mais

Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) 2ª fase. 19 de Julho de 2010

Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) 2ª fase. 19 de Julho de 2010 Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 65) ª fase 9 de Julho de 00 Grupo I. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é, existem tantas bolas roxas

Leia mais

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.

= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos. VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre

Leia mais

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2013 Conteúdos Habilidades Avaliação

PLANEJAMENTO ANUAL / TRIMESTRAL 2013 Conteúdos Habilidades Avaliação CENTRO EDUCACIONAL LA SALLE Associação Brasileira de Educadores Lassalistas ABEL SGAS Q. 906 Conj. E C.P. 320 Fone: (061) 3443-7878 CEP: 70390-060 - BRASÍLIA - DISTRITO FEDERAL Disciplina: Matemática Trimestre:

Leia mais

Potenciação e radiciação

Potenciação e radiciação Sequência didática para a sala de aula 6 MATEMÁTICA Unidade 1 Capítulo 6: (páginas 55 a 58 do livro) 1 Objetivos Associar a potenciação às situações que representam multiplicações de fatores iguais. Perceber

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 08 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 08 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Função Eponencial Dado um número rela a > 0, e a 1, então chamamos de função eponencial de base a, a função f: R R tal que: f = a Por eemplo: f = 5 g = 1 2 = 3 Gráfico de uma função eponencial Para

Leia mais

ÁLGEBRA. Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora

ÁLGEBRA. Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega. Maria Auxiliadora 1 ÁLGEBRA Aula 1 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega Maria Auxiliadora FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 2 Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma relação

Leia mais

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

UNICAMP - 2005. 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR UNICAMP - 2005 2ª Fase MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite,

Leia mais

Prática. Exercícios didáticos ( I)

Prática. Exercícios didáticos ( I) 1 Prática Exercício para início de conversa Localize na reta numérica abaixo os pontos P correspondentes aos segmentos de reta OP cujas medidas são os números reais representados por: Exercícios didáticos

Leia mais

Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho

Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Para cada função abaixo, calcule os valores pedidos, quando for possível: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1, calcule f(0), f( 1)

Leia mais

Equações Trigonométricas

Equações Trigonométricas Equações Trigonométricas. (Insper 04) A figura mostra o gráfico da função f, dada pela lei 4 4 f(x) (sen x cos x) (sen x cos x) O valor de a, indicado no eixo das abscissas, é igual a a) 5. b) 4. c). d)

Leia mais

Funções reais de variável real

Funções reais de variável real Funções reais de variável real Função exponencial e função logarítmica 1. Determine a base de cada logaritmo. log a 36 = 2 (b) log a (25a) = 5 (c) log a 4 = 0.4 2. Considere x = log 10 2 e y = log 10 3.

Leia mais

Aula 4 Função do 2º Grau

Aula 4 Função do 2º Grau 1 Tecnólogo em Construção de Edifícios Aula 4 Função do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega GABARITO 46) f(x) = x 2 + x + 1 www.professorlucianonobrega.wordpress.com 2 FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Uma função

Leia mais

CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver: Equações algébricas (polinómios) não lineares; Equações transcendentais equações que envolvem funções

Leia mais

1º ano. Unidade 1: Conjuntos Numéricos. Unidade 2: Expressões Algébricas. Capítulo 9 - Itens: 2, 3 (2º ano) Unidade 3: Equações

1º ano. Unidade 1: Conjuntos Numéricos. Unidade 2: Expressões Algébricas. Capítulo 9 - Itens: 2, 3 (2º ano) Unidade 3: Equações 1º ano Unidade 1: Conjuntos Numéricos Expressão Numérica Unidade 2: Expressões Algébricas Classificação Valor numérico Monômios e polinômios Produtos notáveis Fatoração Equação do 1º grau (inteiras e fracionadas)

Leia mais

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes

Exercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes . (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto

Leia mais

Usando potências de 10

Usando potências de 10 Usando potências de 10 A UUL AL A Nesta aula, vamos ver que todo número positivo pode ser escrito como uma potência de base 10. Por exemplo, vamos aprender que o número 15 pode ser escrito como 10 1,176.

Leia mais

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real

2 - Generalidades sobre funções reais de variável real Análise Matemática I - 006/007 - Generalidades sobre unções reais de variável real.-deinição e Propriedades De.. Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar

Leia mais

Prof. MSc. David Roza José 1/26

Prof. MSc. David Roza José 1/26 1/26 Sistemas Lineares Objetivos: Entender a notação matricial; Identificar matrizes: identidade, diagonal, simétrica, triangular e tridiagonal; Como multiplicar matrizes e verificar quando esta multiplicação

Leia mais

Lista de Exercícios 2a

Lista de Exercícios 2a Lista de Exercícios 2a MAT 069 - Cálculo Numérico Prof. Dagoberto Adriano Rizzotto Justo 6 de Agosto de 203 Álgebra Linear. Encontre x e x 2 para os seguintes vetores: (a) x = [3 (b) x = [2 4 0 3/2] T

Leia mais

Seja a função: y = x 2 2x 3. O vértice V e o conjunto imagem da função são dados, respectivamente, por: d) V = (1, 4), Im = {y y 4}.

Seja a função: y = x 2 2x 3. O vértice V e o conjunto imagem da função são dados, respectivamente, por: d) V = (1, 4), Im = {y y 4}. MATEMÁTICA b Seja a função: y = x 2 2x. O vértice V e o conjunto imagem da função são dados, respectivamente, por: a) V = (, 4), Im = {y y 4}. b) V = (, 4), Im = {y y 4}. c) V = (, 4), Im = {y y 4}. d)

Leia mais

MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática

MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática MATRIZ DE REFERÊNCIA-Ensino Médio Componente Curricular: Matemática Conteúdos I - Conjuntos:. Representação e relação de pertinência;. Tipos de conjuntos;. Subconjuntos;. Inclusão;. Operações com conjuntos;.

Leia mais

21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU

21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU 1 21- EXERCÍCIOS FUNÇÕES DO SEGUNDO GRAU 1. O gráfico do trinômio y = ax 2 + bx + c. Qual a afirmativa errada? a) se a > 0 a parábola possui concavidade para cima b) se b 2 4ac > 0 o trinômio possui duas

Leia mais

Fração é uma forma de representar uma divisão, onde o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor. Exemplo:

Fração é uma forma de representar uma divisão, onde o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor. Exemplo: FRAÇÕES Fração é uma forma de representar uma divisão, onde o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor. Exemplo: Adição e subtração de frações Para adicionar ou subtrair frações, é preciso que

Leia mais

Disciplina: MATEMÁTICA Trimestre: 1º Professora: Ana Eudóxia Alux Bessa Série: 8º Turma: 81,82,83 e 84

Disciplina: MATEMÁTICA Trimestre: 1º Professora: Ana Eudóxia Alux Bessa Série: 8º Turma: 81,82,83 e 84 COLÉGIO LA SALLE BRASÍLIA SGAS Q. 906 Conj. E C.P. 320 Fone: (061) 3443-7878 CEP: 70390-060 - BRASÍLIA - DISTRITO FEDERAL Disciplina: MATEMÁTICA Trimestre: 1º Professora: Ana Eudóxia Alux Bessa Série:

Leia mais

Planificação Anual de Matemática 5º Ano

Planificação Anual de Matemática 5º Ano Planificação Anual de Matemática 5º Ano DOMÍNI OS CONTEÚDOS METAS AULA S Números naturais Compreender as propriedades e regras das operações e usá-las no cálculo. Propriedades das operações e regras operatórias:

Leia mais

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B

NOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C

Leia mais

Calculando seno(x)/x com o interpretador Hall.

Calculando seno(x)/x com o interpretador Hall. Calculando seno(x)/x com o interpretador Hall. Problema Seja, por exemplo, calcular o valor do limite fundamental f(x)=sen(x)/x quando x tende a zero. Considerações Fazendo-se a substituição do valor 0

Leia mais

1 - RECORDANDO 2 - CENTRO NA ORIGEM 3 - EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 2: Exercício Resolvido 1: Frente I

1 - RECORDANDO 2 - CENTRO NA ORIGEM 3 - EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA. Exercício Resolvido 2: Exercício Resolvido 1: Frente I Matemática Frente I CAPÍTULO 22 EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA 1 - RECORDANDO Até agora, o nosso foco principal foi as retas: calculamos as equações geral e reduzida de uma reta, a interseção entre duas retas,

Leia mais

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE

CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Fatoração Equação do 1º Grau Equação do 2º Grau Aula 02: Fatoração Fatorar é transformar uma soma em um produto. Fator comum: Agrupamentos: Fatoração Quadrado Perfeito Fatoração

Leia mais

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2011-2 a Fase

Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2011-2 a Fase Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 011 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como no lote existem em total de 30 caixas, ao selecionar 4, podemos obter um conjunto de 30 C 4 amostras diferentes,

Leia mais

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas.

Matrizes. matriz de 2 linhas e 2 colunas. matriz de 3 linhas e 3 colunas. matriz de 3 linhas e 1 coluna. matriz de 1 linha e 4 colunas. Definição Uma matriz do tipo m n (lê-se m por n), com m e n, sendo m e n números inteiros, é uma tabela formada por m n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Estes elementos podem estar entre parênteses

Leia mais

Revisão de conceitos. Grandezas Algarismos significativos Unidades de medida

Revisão de conceitos. Grandezas Algarismos significativos Unidades de medida Revisão de conceitos Grandezas Algarismos significativos Unidades de medida Grandezas Físicas Define-se grandeza como tudo aquilo que pode ser comparado com um padrão por meio de uma medição. Exemplo:

Leia mais

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA

TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime

Leia mais

Unidade 5. A letra como incógnita equações do segundo grau

Unidade 5. A letra como incógnita equações do segundo grau Unidade 5 A letra como incógnita equações do segundo grau Para início de conversa... Vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Desta vez, vamos nos focar nas equações do segundo grau. Esses

Leia mais

Agrupamento de Escolas Júlio Dantas Escola Básica Tecnopolis

Agrupamento de Escolas Júlio Dantas Escola Básica Tecnopolis Teorema de Pitágoras- Unidade 2 1.ºP Tema Calendarização Domínio N.º de aulas de 45 minutos Agrupamento de Escolas Júlio Dantas Escola Básica Tecnopolis Planificação Curricular a Longo Prazo Matemática

Leia mais

Trigonometria. MA092 Geometria plana e analítica. Resumo do problema. Um problema prático de distância

Trigonometria. MA092 Geometria plana e analítica. Resumo do problema. Um problema prático de distância Trigonometria MA092 Geometria plana e analítica do triângulo retângulo. Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 205 O que é trigonometria A trigonometria é um ramo da matemática no qual se estuda

Leia mais

Um pouco da História dos Logaritmos

Um pouco da História dos Logaritmos Um pouco da História dos Logaritmos Os logaritmos, como instrumento de cálculo, surgiram para realizar simplificações, uma vez que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma

Leia mais

MATEMÁTICA. cos x : cosseno de x log x : logaritmo decimal de x

MATEMÁTICA. cos x : cosseno de x log x : logaritmo decimal de x MATEMÁTICA NESTA PROVA SERÃO UTILIZADOS OS SEGUINTES SÍMBOLOS E CONCEITOS COM OS RESPECTIVOS SIGNIFICADOS: x : módulo do número x i : unidade imaginária sen x : seno de x cos x : cosseno de x log x : logaritmo

Leia mais

Francisco Magalhães Gomes IMECC UNICAMP. Matemática básica. Volume 1 Operações, equações, funções e sequências

Francisco Magalhães Gomes IMECC UNICAMP. Matemática básica. Volume 1 Operações, equações, funções e sequências Francisco Magalhães Gomes IMECC UNICAMP Matemática básica Volume 1 Operações, equações, funções e sequências 2016 Sumário Prefácio vii Capítulo 1 Números reais 1 1.1 Conjuntos de números..............................

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.2015. Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.2015. Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I (015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.015 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio

Leia mais

Expressões de sequencias

Expressões de sequencias Expressões de sequencias Semana Olímpica/01 Prof. Armando 01 de fevereiro de 01 1 Introdução Um assunto que cai com frequência em olimpíada são as sequências. Sequências são listas ordenadas de números

Leia mais

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega

TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL. Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega 1 TECNÓLOGO EM CONSTRUÇÃO CIVIL Aula 6 _ Função Polinomial do 2º Grau Professor Luciano Nóbrega FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 2 Uma função polinomial do 2º grau (ou simplesmente, função do 2º grau) é uma

Leia mais

( 2) 4 ( 2) 3 5( 2) 2 ( 2) 6 = 16 ( 8) 5 4 + 2 6 = 16 + 8 20 + 2 6 = 0.

( 2) 4 ( 2) 3 5( 2) 2 ( 2) 6 = 16 ( 8) 5 4 + 2 6 = 16 + 8 20 + 2 6 = 0. Matemática 0. Considere a expressão x 4 x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x =. B) oter todas as raízes complexas do polinômio p(x) = x 4 x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários:

Leia mais

Somando os termos de uma progressão aritmética

Somando os termos de uma progressão aritmética A UA UL LA Somando os termos de uma progressão aritmética Introdução Um pouco de História Na aula passada, mostramos como calcular qualquer termo de uma progressão aritmética se conhecemos um de seus termos

Leia mais

Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada

Resumo: Estudo do Comportamento das Funções. 1º - Explicitar o domínio da função estudada Resumo: Estudo do Comportamento das Funções O que fazer? 1º - Explicitar o domínio da função estudada 2º - Calcular a primeira derivada e estudar os sinais da primeira derivada 3º - Calcular a segunda

Leia mais

MATRIZ DA PROVA DE EXAME A NÍVEL DE ESCOLA AO ABRIGO DO DECRETO-LEI Nº 357/2007, DE 29 DE OUTUBRO

MATRIZ DA PROVA DE EXAME A NÍVEL DE ESCOLA AO ABRIGO DO DECRETO-LEI Nº 357/2007, DE 29 DE OUTUBRO MATRIZ DA PROVA DE EXAME A NÍVEL DE ESCOLA AO ABRIGO DO DECRETO-LEI Nº 357/2007, DE 29 DE OUTUBRO (Duração: 90 minutos + 30 minutos de tolerância) MATEMÁTICA A 11º+12º ANO (Cursos Científico-Humanísticos

Leia mais

Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos. Números e Operações

Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos. Números e Operações Eixo Temático ITema 1: Conjuntos Numéricos Números e Operações 1. Conjunto dos números naturais 2. Conjunto dos números inteiros 1.0. Conceitos 3 1.1. Operar com os números naturais: adicionar, multiplicar,

Leia mais

Aulas Previstas. Objectivos Conteúdos Estratégias/Actividades Recursos Avaliação. Avaliação diagnóstica. Observação e registo das atitudes dos alunos

Aulas Previstas. Objectivos Conteúdos Estratégias/Actividades Recursos Avaliação. Avaliação diagnóstica. Observação e registo das atitudes dos alunos Escola E.B. 2.3 Pedro Santarém Objectivos Conteúdos Estratégias/Actividas Recursos Avaliação Preparar e organizar o trabalho a realizar com os alunos Distinguir número inteiro número fraccionário. Reconhecer

Leia mais

Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados

Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 9.1 INTRODUÇÃO* (Capítulo 11 do Ogata) Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira

Leia mais

Matemática Básica Intervalos

Matemática Básica Intervalos Matemática Básica Intervalos 03 1. Intervalos Intervalos são conjuntos infinitos de números reais. Geometricamente correspondem a segmentos de reta sobre um eixo coordenado. Por exemplo, dados dois números

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ENSINO MÉDIO: APRIMORANDO O DESENPENHO DE ALUNOS E PROFESSORES

MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ENSINO MÉDIO: APRIMORANDO O DESENPENHO DE ALUNOS E PROFESSORES MATEMÁTICA FINANCEIRA NO ENSINO MÉDIO: APRIMORANDO O DESENPENHO DE ALUNOS E PROFESSORES Lílian Nasser (CETIQT/SENAI) - lnasser@im.ufrj.br Rosa Cordelia Novellino de Novaes (CEAN) - rsnovellino@yahoo.com.br

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA II

GEOMETRIA ANALÍTICA II Conteúdo 1 O PLANO 3 1.1 Equação Geral do Plano............................ 3 1.2 Determinação de um Plano........................... 7 1.3 Equação Paramétrica do Plano........................ 11 1.4 Ângulo

Leia mais

Aula 2 - Revisão. Claudemir Claudino 2014 1 Semestre

Aula 2 - Revisão. Claudemir Claudino 2014 1 Semestre Aula 2 - Revisão I Parte Revisão de Conceitos Básicos da Matemática aplicada à Resistência dos Materiais I: Relações Trigonométricas, Áreas, Volumes, Limite, Derivada, Integral, Vetores. II Parte Revisão

Leia mais

Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas

Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas A UU L AL A Vamos supor que você seja dono de uma pequena empresa mecânica e alguém lhe encomende 10.000 peças de fixação, que deverão ser fabricadas

Leia mais

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo

números decimais Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos 2 de um bolo se dividirmos esse bolo A UA UL LA Frações e números decimais Introdução Inicialmente, as frações são apresentadas como partes de um todo. Por exemplo, teremos de um bolo se dividirmos esse bolo em cinco partes iguais e tomarmos

Leia mais

Triângulos e suas medidas Trigonometria

Triângulos e suas medidas Trigonometria Resumos Matematik Triângulos e suas medidas Trigonometria Não é um manual escolar. Não dispensa a consulta de um manual escolar. Recomendamos a presença nas aulas e o aconselhamento com um professor. Setembro

Leia mais

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Recordando operações básicas 01. Calcule as expressões abaixo: a) 2254 + 1258 = b) 300+590 = c) 210+460= d) 104+23 = e) 239 54 = f) 655-340 = g) 216-56= h) 35 x 15 = i) 50 x 210 = j) 366 x 23 = k) 355

Leia mais

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE PELOTAS DIRETORIA DE RECURSOS HUMANOS ANEXO

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE PELOTAS DIRETORIA DE RECURSOS HUMANOS ANEXO SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE PELOTAS DIRETORIA DE RECURSOS HUMANOS ANEXO Este Anexo integra o Edital Nº 40/2007, que disciplina o Concurso Público destinado ao provimento

Leia mais

Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor

Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor Pedro Lopes Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico o. Semestre 005/006 Estas notas constituem um material

Leia mais

1 Exercícios de Aplicações da Integral

1 Exercícios de Aplicações da Integral Cálculo I (5/) IM UFRJ Lista 6: Aplicações de Integral Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 9.5.5 Eercícios de Aplicações da Integral. Eercícios de Fiação Fi.: Esboce o gráco e calcule a área

Leia mais

Equação e Inequação do 2 Grau Teoria

Equação e Inequação do 2 Grau Teoria Equação e Inequação do Grau Teoria Candidato segue um resumo sobre resolução e discussão de equações e inequações do grau. Bons Estudos! Equação do Grau Onde Uma Equação do Grau é sentença aberta do tipo

Leia mais

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ)

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ) P L A N O S PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação ax + by + cz = d na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano π, sendo v = ( a, b, c) um vetor normal a

Leia mais

1º BIMESTRE Encaminhamentos Metodológicos (como?)

1º BIMESTRE Encaminhamentos Metodológicos (como?) NRE - TOLEDO PLANO DE TRABALHO DOCENTE MATEMÁTICA COLÉGIO SENADOR ATILIO FONTANA Ensino Fundamental e Médio SÉRIE: 8º ano B ANO LETIVO: 2014 PROF: TEREZA HENRIQUETTA BENETTI Conjuntos numéricos Números

Leia mais

Sinais e Sistemas Unidade 2 Conceitos de Matemática de Variável Complexa

Sinais e Sistemas Unidade 2 Conceitos de Matemática de Variável Complexa Sinais e Sistemas Unidade 2 Conceitos de Matemática de Variável Complexa Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com Conteúdo da

Leia mais

Em linguagem matemática, essa proprieade pode ser escrita da seguinte maneira: x. 1 = x Onde x representa um número natural qualquer.

Em linguagem matemática, essa proprieade pode ser escrita da seguinte maneira: x. 1 = x Onde x representa um número natural qualquer. MATEMÁTICA BÁSICA 5 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS - EQUAÇÕES A expressão numérica é aquela que apresenta uma sequência de operações e de números. Também já sabemos que as letras são usadas em Matemática para representar

Leia mais

PROFMAT AV3 MA 11 2011. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional.

PROFMAT AV3 MA 11 2011. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional. Questão 1. (1,0) (a) Prove isto: Se um número natural não é o quadrado de um outro número natural, sua raiz quadrada é irracional. (1,0) (b) Mostre que 2 + 5 é irracional. (a) Seja n N. Se p q Q é tal

Leia mais

Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José

Determinantes. Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Matemática Prof. Mauricio José Determinantes Definição e Conceito Matriz de ordem 1 Dizemos que um determinante é um resultado (numérico) de operações que são realizadas em uma matriz quadrada.

Leia mais

Algoritmo da raiz quadrada

Algoritmo da raiz quadrada Algoritmo da raiz quadrada Existem várias formas de nos aproximarmos do valor da raiz quadrada de um número. Uma delas, a equação de Pell, permite encontrar a parte inteira para de uma raiz quadrada de

Leia mais

Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela

Gabarito - Colégio Naval 2016/2017 Matemática Prova Amarela Gabarito - Colégio Naval 016/017 PROFESSORES: Carlos Eduardo (Cadu) André Felipe Bruno Pedra Jean Pierre QUESTÃO 1 Considere uma circunferência de centro O e raio r. Prolonga-se o diâmetro AB de um comprimento

Leia mais

ENCAMINHAMENTOS METODOLÓGICOS

ENCAMINHAMENTOS METODOLÓGICOS COLÉGIO ESTADUAL SANTO ANTONIO ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO PLANO DE TRABALHO DOCENTE MATEMÁTICA 1º SEMESTRE /2012 SÉRIE:9 ANO A PROFESSORA: MARIA ANGELA DE LIMA CONTEÚDOS Conteúdos Estruturantes: Números

Leia mais

COLÉGIO ESTADUAL ANASTÁCIA KRUK - ENS. FUNDAMENTAL E MÉDIO

COLÉGIO ESTADUAL ANASTÁCIA KRUK - ENS. FUNDAMENTAL E MÉDIO COLÉGIO ESTADUAL ANASTÁCIA KRUK - ENS. FUNDAMENTAL E MÉDIO PLANO DE TRABALHO DOCENTE PTD E PLANEJAMENTO 2011 DISCIPLINA: MATEMÁTICA PROFESSOR EVANDRO ORTIZ DA SILVA PLANO DE TRABALHO DOCENTE PTD 2011 PROFESSOR:

Leia mais

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase

XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Parte A PARTE A Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa

Leia mais

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.

Matrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina. e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto

Leia mais