Probabilidade III. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período

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1 Probabilidade III Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

2 Sumário 1 Apresentação do Curso 2 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Probabilidade Conjunta Função Densidade de probabilidade Conjunta 3 Distribuição Condicional 4 Independência entre variáveis aleatórias 5 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial Distribuição Uniforme multivariada Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

3 Apresentação do Curso 1. Vetores aleatórios n-dimensionais. 2. Função de distribuição conjunta. Vetor aleatório discreto: função de probabilidade conjunta. Vetor aleatório contínuo: densidade conjunta. Distribuições marginais. Densidades condicionais a n variáveis. Critérios de independência para vetores aleatórios independentes 3. Funções de variáveis aleatórias: método da integral de convolução, Distribuição da soma de variáveis aleatórias, caso discreto e contínuo 4. Funções de variáveis aleatórias: método do jacobiano, Distribuição do produto e do quociente de variáveis aleatórias. 5. Estatísticas de ordem. Definições. Distribuição das estatísticas de ordem, Distribuição conjunta das estatísticas de ordem. Algumas funções das estatísticas de ordem (amplitude amostral e mediana). Função de distribuição empírica. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42 Conteúdo Programático

4 Apresentação do Curso Conteúdo Programático 6. Esperança de funções de vetores aleatórios. Propriedades. Momentos mistos e covariância. Propriedades básicas da covariância. Coeficiente de correlação: Propriedades. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Função geradora de momentos conjunta. 7. Esperança condicional. Variância condicional. Propriedades mais importantes da esperança e variância condicionais. 8. Função de regressão. 9. Esperanças de vetores aleatórios e matrizes de covariância. Propriedades mais importantes. 10. Distribuição normal multivariada. Distribuição condicional normal multivariada. Distribuição marginal. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

5 Vetores Aleatórios Vetores Aleatórios Definição 2.1 (Vetor Aleatório) Seja (Ω, F, P) um espaço de probabilidade. Então uma função X : Ω R m é denominado um vetor um vetor aleatório se a imagem inversa de todo Boreliano, B = (B 1,..., B m ), do R m for um elemento de F, isto é, { } X 1 (B) = ω Ω : X(ω) B F A Definição 2.1 significa que a função ( ) X(ω) = X 1 (ω),..., X m (ω) é tal que, para todo i = 1,..., m e todo B i R, tem-se X 1 i (B i ) F. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

6 Vetores Aleatórios Vetor Aleatório Observação 2.1 Da Definição de 2.1 segue que, } m {ω Ω : X 1 (ω) x 1,..., X m (ω) x m = também é um evento. De fato, pois i=1 {ω Ω : X i (ω x i ) } {ω Ω : X i (ω x i ) } é um evento para todo i = 1,..., m, pois X 1 i (B i ) F, e a interseção de eventos é também um evento, visto que qualquer σ álgebra é fechada para uniões e interesecções. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

7 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Distribuição Conjunta Definição 2.2 A função distribuição conjunta de um vetor aleatório X, representada por F X ou simplesmente F, é definida por ) F (x) = F (x 1,..., x m ) = P (X 1 x 1,..., X m x m para qualquer x R m. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

8 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Distribuição Conjunta: Propriedades Seja X um vetor aleatório em (Ω, F, P) então, para qualquer x R m, F (x) satisfaz as seguintes propriedades: (P1) F (x) é não decrescente em cada uma de suas coordenadas; De fato, considere um j qualquer fixo, e a j b j então } } {ω Ω : X i (ω) x i {ω Ω : X j (ω) a j i j está contido em, } } {ω Ω : X i (ω) x i {ω Ω : X j (ω) b j i j Logo, F (x 1,..., a j,..., x m ) F (x 1,..., b j,..., x m ). Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

9 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Demonstração (P2) F (x) é contínua à direita em cada uma de suas coordenadas; Isto significa que, lim F (x 1,..., y j,..., x m ) = F (x 1,..., x j,..., x m ) y j x j (P3) Se para algum j, x j, então lim F (x 1,..., x j,..., x m ) = 0 x j e se para todo i, x i, então lim F (x 1,..., x m ) = 1 x i (P4) F (x) é tal que, para todo a i, b i R, tal que a i b i, temos que, ( ) P a 1 < X 1 b 1,..., a m < X m b m, 0 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

10 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Exemplo Exemplo 2.3 Considere uma central de reservas de uma companhia aérea e, para uma chamada ao acaso estamos interessados em duas quantidades aleatórias: X 1 é o tempo de espera e X 2 é o tempo de atendimento, ambas em minutos. Suponha que o comportamento conjunto dessas variáveis seja representada pela função de distribuição abaixo: { 0 se x1 < 0 ou x 2 < 0; F (x 1, x 2 ) = ( ) ( ) ( ) 1 exp x 1 exp 2x 2 + exp (x 1 + 2x 2 ) se x 1 0, x 2 0. (1) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

11 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Função de Distribuição Marginal Definição 2.4 Seja F (x) a função de distribuição de (X 1,..., X m ). Para cada k, k = 1,..., m, definimos a Função de Distribuição Marginal de X k por; Exemplo 2.5 F (x k ) = lim F (x) x i, i k Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3: F (x 1, x 2 ) = { 0 ( ) ( ) ( ) se x1 < 0 ou x 2 < 0; 1 exp x 1 exp 2x 2 + exp (x 1 + 2x 2 ) se x 1 0, x 2 0. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

12 Vetores Aleatórios Função de Distribuição conjunta Continuação Exemplo 2.5 Assim, e F (x 1 ) = F (x 2 ) = ( ) lim F (x 1, x 2 ) = 1 exp x 1 x 2 ( ) lim F (x 1, x 2 ) = 1 exp 2x 2 x 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

13 Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Função de Probabilidade Conjunta Definição 2.6 Seja X for um vetor aleatório discreto, então a Função de Probabilidade Conjunta é definida por, P X (x) = P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) e deve satisfazer as seguintes propriedades: (i) P(X 1 = x 1,..., x m ) 0, x R m ; (ii) x R m P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) = 1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

14 Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Exemplo Exemplo 2.7 Duas moedas honestas são lançadas de forma independente e considere as seguintes variáveis aleatórias: X : número de caras; Y : função indicadora de faces iguais Assim a função de probabilidade conjunta é dada por: 0 se x = 0, y = 0 1 se x = 0, y = se x = 1, y = 0 P(X = x, Y = y) = 2 0 se x = 1, y = 1 0 se x = 2, y = 0 1 se x = 2, y = 1 4 (2) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

15 Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Continuação Exemplo 2.7 Considere as seguintes regiões para a Função de distribição Conjunta de X e Y Quadro 2.1 X < 0 0 X < 1 1 X < 2 X 2 y < Y < Y Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

16 Vetores Aleatórios Função de Probabilidade Conjunta Continuação Exemplo 2.7 Assim, analisando o a função de distribuição conjunta é dada por: 0 se x < 0 ou y < 0 0 se 0 x < 1, 0 y < 1 4 se 0 x < 1, 0y 1 F (x, y) = P(X x, Y y) = 1 2 se 1 x < 2, 0 y < se 1 x < 2, y se x 2, 0 y < 1 1 se x 2, y 1 1 (3) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

17 Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Função Densidade de probabilidade Conjunta Definição 2.8 Seja X um vetor aleatório contínuo, então dada a função de distribuição conjunta F (x) associada a X, existe um função f : R m R + denominada função densidade de probabilidade conjunta (fdpc), tal que, F (x) = Da Definição 2.8 segue que x1 f (x) = xm f (x)dy 1 dy m. m x 1 x m F (x) (4) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

18 Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Função Densidade de probabilidade Conjunta Proposição 2.1 (Propriedades da Função Densidade de probabilidade Conjunta) Seja f uma função que satisfaz as condições da Definição 2.8, então (P1) f (x) 0, x R m ; (P2) f (x)dx 1 dx m A função densidade de probabilidade marginal é dada por f (x k ) = f (x)dx i1 dx im 1, i j k (5) ou da Definição de Função de distribuição Marginal, segue que f (x k ) = x k F (x k ) (6) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

19 Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Exemplo Exemplo 2.9 Considere a função de distribuição do Exemplo 2.3 F (x 1, x 2 ) = { 0 ( ) ( ) ( ) se x1 < 0 ou x 2 < 0; 1 exp x 1 exp 2x 2 + exp (x 1 + 2x 2 ) se x 1 0, x 2 0. A função densidade de probabilidade conjunta é dada por ( ) ( ) F (x 1, x 2 ) = exp x 1 exp (x 1 + 2x 2 ) x 1 logo f (x 1, x 2 ) = 2 ( ) F (x 1, x 2 ) = 2 exp (x 1 + 2x 2 ) x 1 x 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

20 Vetores Aleatórios Função Densidade de probabilidade Conjunta Continuação Exemplo 2.9 As funções de distribuição marginais de X 1 e X 2 foram calculadas no Exemplo 2.5, logo as densidades marginais são dadas por e f (x 1 ) = f (x 2 ) = ( ( )) ( ) 1 exp x1 = exp x1 x 1 ( ( )) 1 exp 2x 2 = 2 exp ( ) 2x 2 x 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

21 Distribuição Condicional Distribuição Condicional Definição 3.1 Sejam X e Y duas variáveis em (Ω, F, P) e B 1 e B 2 R com P(Y B 2 ) > 0. Então, a probabilidade condicional de X dado Y B 2 é dado por P ( X B 1 Y B 2 ) = P ({X B 1 } {Y B 2 }) P ( Y B 2 ) (7) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

22 Distribuição Condicional Distribuição Condicional: Y v.a. discreta Se Y for uma variável discreta e y R tal que P(Y = y) > 0, então para X uma variável aleatória qualquer, tem-se que P(X B 1 Y = y) = P ({X B 1} {Y = y}) P ( Y = y ) (8) Logo, pelo teorema da Probabilidade total segue que a distribuição marginal de X é dada por P(X B 1 ) = y R P(X B 1 Y = y)p(y = y) (9) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

23 Distribuição Condicional Distribuição Condicional: Y v.a. discreta Tomando B 1 = ( inf, x] na Relação (8), obtemos a função de distribuição condicional de X dado = y ) P ({X x} {Y = y}) F X Y (x Y = y = P ( Y = y ) (10) Consequentemente, a Relação (9) nos fornecerá a função de distribuição marginal de X F X (x) = ( ) F x Y = y P(Y = y) (11) y R Da Relação (10) segue que a função de distribuição conjunta é dada por, F X,Y (x, y) = P ( Y = y ) ( ) F x Y = k (12) k:k y Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

24 Distribuição Condicional Distribuição Condicional Se ambas as variáveis forem discretas então a função de probabilidade condicional é dada por P(X = x Y = y) = P(X = x, Y = y) P(Y = y) (13) Se ambas as variáveis forem contínuas então a função densidade de probabilidade condicional é dada por f X Y (x y) = f X,Y (x, y) f Y (y) (14) Da Relação (14) segue que F X Y (x y) = x f X Y (z y)dz (15) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

25 Distribuição Condicional Distribuição Condicional Da Relação (15) segue que e F X,Y (x, y) = F X (x) = y f Y (t)f X Y (x t)dt (16) f Y (y)f X Y (x y)dy. (17) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

26 Distribuição Condicional Exemplo Exemplo 3.2 Considere duas variáveis aleatórias: X discreta e Y contínua, com função mista de probabilidade conjunta dada por f (x, y) = { xy x 1 3 se x {1, 2, 3}, 0 y 1 0 caso contrário. (18) 1 Verifique que é de fato uma função de probabilidade; 2 Determine suas marginais; 3 Determine suas condicionais; 4 Determine sua função distribuição conjunta. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

27 Independência entre variáveis aleatórias Independência entre variáveis aleatórias Definição 4.1 Seja X = (X 1,..., X m ) um vetor aleatório m-dimensional definido em (Ω, F, P). Então as variáveis X 1,..., X m serão independentes se a sua distribuição conjunta é dada por P X (X 1 B 1,..., X m B m ) = para qualquer B = (B 1,..., B m ) R m. m P(X i B i ). Segue da Definição 4.1 que para qualquer sub-família de X as variáveis também serão independentes, pois se tomarmos algums B i = R, a Definição 4.1 continuará sendo válida. i=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

28 Independência entre variáveis aleatórias Independência entre variáveis aleatórias Observação 4.1 Se X = (X 1,..., X m ) um vetor aleatório discreto então m P X (X 1 = x 1,..., X m = x m ) = P(X i = x i ) i=1 Se X = (X 1,..., X m ) um vetor aleatório contínuo então, m f X (x 1,..., x m ) = f (x i ) i=1 Em ambos os casos a função de distribuição será dada por m F X (x 1,..., x m ) = F (x i ) i=1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

29 Independência entre variáveis aleatórias Exemplo Exemplo 4.2 Sejam X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. suponha que a função densidade conjunta seja dada por f X,Y (x, y) = e (x+y) I [0, ) (x)i [0, ) (y) Verifique se X e Y são independentes. As marginais são dadas por f X (x) = 0 e (x+y) I [0, ) (x)dy = e x e y do mesmo modo, f Y (y) = e y I [0, ) (y), portanto, 0 = e x (0 1) = e x f X (x)f Y (y) = e x I [0, ) (x)e y I [0, ) (y) = e (x+y) I [0, ) (x)i [0, ) (y) = f (x, y) Logo, X e Y são independentes. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

30 Independência entre variáveis aleatórias Exemplo Exemplo 4.3 Suponha que a densidade conjunta de X e Y é dada por f X,Y (x, y) = 8xyI [0,1] (x)i [x,1] (y) Verifique se X e Y são independentes. As marginais são dadas por f X (x) = 1 x 8xyI [0,1] (x)dy = 8xI [0,1] (x) 1 x ydy = 4x(1 x 2 )I [0,1] (x) Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

31 Independência entre variáveis aleatórias Exemplo Para determinar a marginal para Y, primeiro note que, I [0,1] (x)i [x,1] (y) = I [0,1] [x,1] (x, y) = I [0,y] [0,1] (x, y) = I [0,y] (x)i [0,1] (y) Assim, Portanto, f (Y ) = y 0 y 8xyI [0,1] (y)dx = 8yI [0,1] (y) xdx = 4y 3 I [0,1] (y) 0 f (x)f (y) = 4x(1 x 2 )I [0,1] (x)4y 3 I [0,1] (y) = 16(x x 3 )y 3 I [0,1] (x)i [0,1] (y) que é diferente de f X,Y (x, y) = 8xyI [0,1] (x)i [0,1] (y), logo X e Y não são independentes. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

32 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial caso Ulissescontrário. Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42 Distribuição Multinomial Definição 5.1 Considere um experimento que é repetido n vezes de modo independente, com m possíveis resultados ou eventos de interesse A i, cada um com probabilidade p i = P(A i ) 0, i = 1,..., m e m i=1 p i = 1. Seja X 1,..., X m variáveis aleatórias que correspondem ao número de ocorrências de cada um dos m possíveis resultados nas n repetições do experimento. Desta forma, o vetor aleatório X = (X 1,..., X m ) segue o modelo multinomial com função de probabilidade conjunta dada por, P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) = se 0 x i m, m i=1 x i = n. e n! x 1! x m! px pxm m (19) P(X 1 = x 1,..., X m = x m ) = o (20)

33 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial Distribuição Multinomial: marginais Se X = (X 1,..., X m ) segue o modelo multinomial, com parâmetros n, p 1,..., p m, então X i Bin(n, p i ), logo E(X i ) = np i e Var(X i ) = np i (1 p i ). Demonstração. De fato, como o experimento é repetido n vezes de modo independente e cada evento de interesse A i pode ocorrer com probabilidade p i, segue da definição da distribuição de binomial que cada X i possui distribuição binomial com parâmetros n e p. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

34 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Multinomial Exemplo Exemplo 5.2 Uma barra de comprimento especificado é fabricada. Admita-se que o comprimento real X (polegadas) seja uma variável aleatória uniformemente distribueid sobre [10, 12]. Suponha-se que somente interesse saber se um dos três eventos seguintes terá ocorrido: A 1 = {X < 10, 5} A 2 = {10, 5 X 11, 8} A 3 = {X > 11, 8} Dado que 10 barras foram fabricadas, qual a probabilidade de cinco serem menor que 10,5 e duas serem maior que 11,8? Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

35 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição Uniforme multivariada Definição 5.3 Dizemos que um vetor é uniformemente distribuído sobre uma região A, A R m, se f (x 1,..., x m ) = c I A (x 1,..., x m ) em que, c = 1. dx 1 dx m A Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

36 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Figura : Uniforme Multivariada Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42 Exemplo Exemplo 5.4 Suponhamos que o vetor aleatório X = (X 1, X 2 ) seja uniformemente distribuido sobre a região delimitada pelas curvas x 2 = x 1 e x 2 = x 2 1 para 0 x 1 1 e 0 x 2 1, conforme figura abaixo: x x 2 = x 1 x 2 = x x 2

37 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Exemplo 1 Para x 1 < 0 ou x 2 < 0 tem-se F (x 1, x 2 ) = 0; 2 Para 0 x 1 1 e x1 2 x 2 x 1 tem-se ( F (x 1, x 2 ) = 6 x 1 x 2 x x 1 3 ) = 6x 1 x 2 3x2 2 2x1 3 = p(x 1, x 2 ) 3 3 Para 0 x 1 1 e x 2 < x1 2 ou x 1 > 1 e 0 x 2 1, portanto para x 1 > 0 e 0 x 2 min(x1 2, 1) tem-se F (x 1, x 2 ) = p( x 2, x 2 ) = 6 x 2 x 2 3x x 2 3 = 4x x Para 0 x 1 1 e x 2 > x 1 tem-se F (x 1, x 2 ) = p(x 1, x 1 ) = 6x 1 x 1 3x 2 1 2x 3 1 = 3x 2 1 2x Para x 1 > 1 e x 2 > 1 tem-se F (x 1, x 2 ) = 1. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

38 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição Normal multivariada Dizemos que um vetor aleatório X segue o modelo normal multivariado se sua densidade de probabilidade conjunta é dada por f (x) = ( 2π ) p 2 Σ [ 1 2 exp 1 ( ) tσ x µ 1 ( x µ )] 2 para < x i <, i = 1,..., p. Notação: X N p ( µ, Σ ). Em que µ 1 σ 11 σ σ 1p µ 2 µ =. e Σ = σ 21 σ σ 2p µ p σ p1 σ p2... σ pp é o vetor de médias e a matriz de covariâncias, respectivamente. Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

39 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição normal multivariada Utilizando o teorema da decomposição espectral, a função densidade da normal multivariada pode ser expressa como, f (x) = ( 2π ) [ ( p 2 Σ 1 2 exp 1 ( ) p ) t 1 (x x µ e i e t ) ] i µ 2 λ i i=1 = ( 2π ) [ p 2 Σ 1 2 exp 1 p 1 ( ) tei x µ e t ( ) ] i x µ 2 λ i = ( 2π ) p 2 Σ [ 1 2 exp 1 2 i=1 p i=1 1 λ i [ (x µ ) tei ] 2 Se com exceção da diagonal principal, todos os elementos de Σ forem zero, isto é, todas as covariâncias forem zero, as p componentes de X serão independentes, pois nesse caso teremos(verificar!), f (x) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f p (x p ). ] Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

40 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição normal multivariada O contorno de uma densidade de probabilidade constante é a superfície de um elipsóide centrado em µ e é igual ao conjunto de pontos, { x R p : ( x µ ) t Σ 1 ( x µ ) = c 2}. Esses elipsóides têm eixos ±c λ i e i, onde (λ i, e i ) é um par de autovalor-autovetor da matriz Σ. De fato, para x µ = c λ i e i tem-se que, para i = 1, ( ) tσ x µ 1 ( x µ ) p 1 [ (x ) ] tei 2 p 1 [ = µ = c ] 2 λ i e t λ i λ 1e i i i=1 = 1 c 2 λ 1 e t λ 1e 1 1 }{{} =1 = c 2 2 i=1 + 1 c 2 λ 2 e t λ 1e 2 2 }{{} =0 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42

41 Modelos Probabilísticos Multivariados Distribuição Uniforme multivariada Distribuição normal multivariada Para i = 2, ( x µ ) tσ 1 ( x µ ) = p i=1 1 [ c ] 2 λ i e t λ 2e i i = 1 c 2 λ 1 e t λ 2e 1 1 }{{} =0 = c c 2 λ 2 e t λ 2e 2 2 }{{} =1 2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período / 42