ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA (UFCG- CUITÉ)

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1 P L A N O S PARALELOS AOS EIXOS E AOS PLANOS COORDENADOS Casos Particulares A equação ax + by + cz = d na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano π, sendo v = ( a, b, c) um vetor normal a π. Quando uma ou duas das componentes de v são nulas, ou quando d = 0 teremos os casos particulares. Plano que Passa pela Origem Se o plano ax + by + cz = d passa pela origem: a. 0 + b.0 + c.0 = d, isto é d = 0 Assim a equação: ax + by + cz = 0 representa a equação de um plano que passa pela origem. Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Se apenas uma das componentes do vetor v = ( a, b, c) é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano π é paralelo ao mesmo eixo: I. Se a = 0, v = (0, b, c) π // 0x e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: by + cz = d. A figura mostra o plano de equação: 2 y + 3z 6 = 0. Observemos que suas intersecções com os eixos 0y e 0z são A 1 (0,3,0) e A 2 (0,0,2), respectivamente, e que nenhum ponto da forma P(x,0,0) satisfaz a equação. Um vetor normal ao plano é v =(0,2,3), pois a equação deπ pode ser escrita na forma: 0 x + 2y + 3z 6 = 0.

2 Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II. Os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: ax + cz = d; III. Os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: ax + by = d. Da análise feita sobre este caso particular, conclui se que a variável ausente na equação indica que o plano é paralelo ao eixo desta variável. As figuras seguintes mostram os planos π x + z = 3 e π : x + 2y 4, 1 : 2 = Observações: a) A equação x + 2 y 4 = 0 3, como vimos, representa no espaço R um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano 2 R, representa uma reta. b) Se na equação ax + by = d fizemos d = 0, a equação ax + by = 0 representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z. Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal v = ( a, b, c) são nulas, v é colinear a um dos vetores i = ( 1,0,0) ou j = (0,1,0) ou k = (0,0,1 ),e, portanto, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores: I) Se a = b = 0, v = (0,0, c) = c(0,0,1) = c k π // x0y e a equação geral dos planos d paralelos ao plano x0y é: cz = d, como c 0, vem : z =. c Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4.

3 A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma 0 x + 0y + z 4 = 0 na qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e k = (0,0,1) é um vetor normal ao plano. Assim sendo, o plano paralelo ao plano x0y e que passa pelo ponto A(x 1,y 1,z 1 ) tem por equação: z = z 1. Por exemplo, o plano que passa pelo ponto A( 1,2, 3) e é paralelo ao plano x0y tem por equação: z = 3. Com raciocínio análogo, vamos concluir que: II) Os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; III) Os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os planos π y = 3 ; π : x 2 respectivamente 1 : 2 =

4 Exemplos: 1º) Determinar uma equação cartesiana do plano α paralelo ao eixo y e que contém os pontos A(2,1,0) e B(0,2,1). 2º) Determinar a equação do plano paralelo ao plano yz e que contem o ponto A(3,4, 1). EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Seja r a reta que contém o ponto A(x 0,y 0,z 0 ) e é paralela ao vetor v = (a, b, c). Um ponto P(x,y,z) pertence a reta r se, e somente se, Daí, E assim, Equações Paramétricas da Reta Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contem o ponto A(3, 1,2) e é paralela ao vetor v=( 3, 2, 1). Reta Definida por Dois Pontos A reta definida pelos pontos A(x 1,y 1,z 1 ) e B(x 2,y 2,z 2 ) é a reta que passa por A(ou B) e tem a direção do vetor. Exemplo: Obtenha a equação da reta definida pelos pontos A(1, 2, 3) e B(3,1, 4). Interseção de Planos A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta. Sejam π 1 e π 2 planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de π 1 e π 2 resolveremos o sistema composto por suas equações. Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos π : 5x 2y + z e π : 3x 3y + z = 1 =

5 Solução: 5x 2y + z + 7 = 0 3x 3y + z + 4 = 0 Montamos o seguinte sistema: O sistema acima é indeterminado, ou seja, possuem infinitos valores para x, y e z que atendem simultaneamente as duas equações. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos. Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre. Como fazer: 5x 3x 2y + 3y + z + z + 7 = 4 = 0 0 eliminaremos a variável z multiplicando uma das equações por ( 1) e em seguida efetuamos a soma de ambos. 5x + 2y z 7 = 0 + 3x 3y + z + 4 = 0 2x y 3 = 0 isolamos uma das variáveis (no caso y) y = 2 x 3 Agora substituímos y = 2 x 3 na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema. Substituindo y = 2 x 3 na equação 5 x 2y + z + 7 = 0, teremos: 5x 2 ( 2x 3) + z + 7 = 0 5x + 4x z + 7 = 0 Agora isolando z, teremos: z = 9x 13 Logo os pontos de interseção são da forma As equações paramétricas são

6 Interseção de Reta com Plano A intersecção entre uma reta r e um plano π é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações da reta r e pela equação do plano π. Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta com o plano π : 3x + 5y 2z 9 = 0. Solução: Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e π, então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de π : Resolve se este sistema substituindo x, y e z na equação 3 x + 5y 2z 9 = 0 e assim encontramos t, t= 2. Logo x = 2, y = 1 e z = 10. Portanto I ( 2, 1, 10) Interseção de Retas Duas retas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas. Se seus vetores diretores são paralelos, então as retas são paralelas, caso contrário são concorrentes ou reversas. Exemplo: Verifique se são paralelas, concorrentes ou reversas:

7 Distância de um Ponto a um Plano Sejam um ponto P(x 0, y 0, z 0 ) e um plano π : ax + by + cz + d = 0, definimos a distância entre P e π por Exemplo: Calcule a distância do ponto P( 4,2,5) ao plano. Distância de um Ponto a uma Reta Seja r uma reta definida por um ponto e pelo vetor diretor e seja um ponto qualquer do espaço. Os vetores determinam um paralelogramo cuja altura corresponde a distância que pretendemos calcular. Sabemos que a área do paralelogramo é Mas pela interpretação geométrica do produto vetorial, temos Logo E Portanto, Exemplo: Encontre a distância do ponto a reta Distância entre Retas Reversas

8 Consideremos duas retas r e s reversas: a reta r definida por um ponto pelo vetor diretor e pelo vetor diretor e a reta s definida por e. A distância entre elas é dada por Exemplo: Calcular a distância entre as retas

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