Séries Numéricas. S Chama-se série numérica a uma expressão do tipo. S Designam-se por somas parciais da série. S Chama-se a soma parcial de ordem n a

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1 Séries Numéricas Definições básicas S Chama-se série numérica a uma expressão do tipo representada em geral por u 1 u 2 C u n C u n, nu1 onde Ÿu n é uma sucessão de reais u 1, u 2, C v termos da série u n v termo geral da série u n ou u n, S Designam-se por somas parciais da série S 1 u 1, S 2 u 1 u 2, S 3 u 1 u 2 u 3, S Chama-se a soma parcial de ordem n a B S n u 1 u 2 C u n S À sucessão ŸS n chama-se a sucessão das somas parciais da série Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 1

2 S Uma série un diz-se convergente se a sucessão das somas parciais, ŸS n, converge para um número real S (que se designa por soma da série) Escreve-se u n S S Uma série que não é convergente diz-se divergente S Duas séries dizem-se da mesma natureza se forem ambas convergentes ou ambas divergentes Atenção: À série un temos associadas duas sucessões: S Ÿu n, a partir da qual definimos a série; S ŸS n, a sucessão das suas somas parciais A natureza da série é determinada pela convergência ou não da sucessão das suas somas parciais O facto de Ÿu n ser convergente não garante que un seja convergente Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 2

3 Exemplos: 1 Para a série n S n 1 2 C n n 1 n 2 Como lims n, a série é divergente 2 Para a série Ÿ"1 n S n "1 se n é ímpar 0 se n é par Como ŸS n não tem limite, a série é divergente 3 Para a série 1 2 n"1 S n 1 " " 1 2 n 2 1 " 1 2 n pelo que a série é convergente e a sua soma é 2 Nota: Podemos também considerar séries indexadas em N 0 ou N p, com p N As definições e propriedades são análogas às das séries indexadas em N Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 3

4 Séries Geométricas Séries Importantes Chama-se série geométrica de razão r à série em que r é um número real r n"1 1 r r 2 r 3 C r n"1 C, S n 1"r n 1"r, se r p 1 n, se r 1, pelo que S se r 1, a série geométrica é convergente e a sua soma é S 1 1"r ; S se r u 1, a série geométrica é divergente Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 4

5 Séries Redutíveis ou de Mengoli As séries que se podem escrever na forma Ÿu n " u nk, em que k é um número natural fixo, chamam-se séries redutíveis, séries de Mengoli ou ainda séries telescópicas Quando k 1, a série é da forma e Assim, para k 1 : Ÿu n " u S n u 1 " u S se u n é convergente, a série a sua soma é S u 1 " limu n ; S se u n é divergente, a série Exemplos: São séries de Mengoli Ÿun " u é convergente e Ÿun " u é divergente 1 nÿn 1 e n " n 1 Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 5

6 Séries de Dirichlet Chama-se série de Dirichlet qualquer série da forma com)um número real fixo 1 n ) S À série de Dirichlet para) 1 1n chama-se série harmónica A série harmónica é divergente pois: S se) 1, S se) t 1, 1 n) é convergente; 1 n) é divergente (Será justificado mais adiante) Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 6

7 Propriedades gerais das Séries Proposição: Se, a partir de certa ordem, u n v n, então u n e v n têm a mesma natureza Ou seja, a natureza de uma série não se altera modificando um número finito dos seus termos No entanto a soma da série é, em geral, alterada Proposição: Se existe p N tal que, a partir de certa ordem, u n v np, então as séries têm a mesma natureza Ou seja, duas séries cujos termos gerais estejam apenas desfasados um certo número de termos, têm a mesma natureza Definição: Seja u n uma série convergente com soma S Chamamos resto de ordem p, com p N, à soma da série que resulta de suprimir os p primeiros termos: u p1 C u n C u n Então R p S " S p np Observação: Pelo resultado anterior, a nova série também é convergente A sua soma é precisamente o erro que se comete quando se toma para soma da série u n o valor da soma parcial S p Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 7

8 Proposição: 1 Se u n e v n são duas séries convergentes, então a série Ÿu n v n é convergente e Ÿu n v n u n v n 2 Se u n é uma série convergente e c R, então a série cu n é convergente e cu n cu n Observação: Da alínea 2 resulta que não se altera a natureza de uma série multiplicando o termo geral por uma constante diferente de zero Proposição: Se u n é uma série convergente então u n v 0 Ou seja, se Ÿu n não tende para zero, então u n é divergente A afirmação recíproca é falsa: u n v 0 não implica que u n é convergente Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 8

9 Séries de Termos Não Negativos Definição: Uma série u n diz-se de termos não negativos se u n 0, para qualquer n N Nota: Neste caso, a sucessão ŸS n é crescente Proposição: (Cond Necessária e Suficiente de Convergência) Uma série de termos não negativos é convergente se e só se a sucessão das suas somas parciais é majorada Proposição: (1º Critério da Comparação) Sejam u n e v n séries de termos não negativos tais que u n t v n,n N Então: S se v n é convergente, u n é convergente e u n t v n ; S se u n é divergente, v n é divergente Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 9

10 Proposição: (2º Critério de comparação) Sejam u n uma série de termos não negativos e v n uma série de termos positivos tais que u n v n v L Então: S se L p 0,, as séries são da mesma natureza; S se L 0 e v n é convergente, u n também é convergente; S se L e v n é divergente, u n também é divergente Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 10

11 Proposição: (Critério de Cauchy) Seja u n é uma série de termos não negativos tal que lim n u nv n Então: L (finito ou infinito) S se L 1, u n é convergente; S se L 1, u n é divergente; S se L 1, nada se pode concluir Recorde-se o Corolário do Teorema da Média Geométrica: se u u n v a (com a finito ou infinito) então n u n v a Proposição: (Critério de D Alembert) Seja u n é uma série de termos positivos tal que (finito ou infinito) lim nv u u n L Então: S se L 1, u n é convergente; S se L 1, u n é divergente; S se L 1, nada se pode concluir Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 11

12 Proposição: (Critério do Integral) Seja f : 1, v R uma função contínua, positiva e decrescente Para a sucessão de termo geral u n fÿn, tem-se que: a série u n é convergente sse o integral impróprio ; 1 fÿx dx é convergente 1 Corolário: A série de Dirichlet n), com) R, é convergente se) 1 e divergente se) t 1 Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 12

13 Séries de Termos sem Sinal Fixo Definição: Uma série diz-se de termos sem sinal fixo se possui infinitos termos positivos e infinitos termos negativos Sendo u n 0, n N, a série (de termos sem sinal fixo) Ÿ"1 u n u 1 " u 2 u 3 " Ÿ"1 u n diz-se uma série alternada Exemplo: Ÿ"1 v série harmónica alternada Proposição: (Critério de Dirichlet) Se a sucessão das somas parciais da série v n é limitada e se Ÿu n é uma sucessão decrescente com limite nulo, então a série u n v n é convergente Proposição: (Critério de Leibniz) Se Ÿu n é uma sucessão decrescente e com limite nulo, então a série Ÿ"1 u n é convergente Ÿ"1 1 n, é Exemplo: A série harmónica alternada, convergente Nota: No caso de uma série alternada nas condições do critério de Leibniz, temos uma majoração para o valor absoluto resto de uma certa ordem De facto, se Ÿ"1 u n é uma série alternada nas condições do critério de Leibniz, então R p t u p1 Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 13

14 Séries Absolutamente Convergentes Definição: Uma série u n diz-se absolutamente convergente se a série dos módulos é convergente u n Uma série diz-se simplesmente convergente se é convergente e não é absolutamente convergente Exemplo: A série Ÿ"1 1 n é simplesmente convergente Proposição: Toda a série absolutamente convergente é convergente Nota: Este resultado é consequência de, para qualquer x R, 0 t x x t 2 x Ana Matos - AMII 0607 (versão de 12 de Abril) S Num 14