Unidade 3 Função Afim

Transcrição

1 Unidade 3 Função Afim Definição Gráfico da Função Afim Tipos Especiais de Função Afim Valor e zero da Função Afim Gráfico definidos por uma ou mais sentenças

2 Definição

3 C ( x) = 10. x + Custo fixo 200 Custo varíavel Esse é um exemplo de função definida por um polinômio do 1º grau que denominada de função afim.

4 Existem diversas situações do cotidiano que podem ser modeladas por uma função afim. Todas aquelas em que acréscimos iguais na variável independente (x) correspondem a acréscimos iguais na variável dependente (y) podem ser modeladas por meio de uma função afim. Conceito: Denomina-se função afim qualquer função f : R R definida por uma lei de forma y = f(x) = ax + b, em que a e b são números reais.

5 Na função afim f(x) = ax + b, o número a é o coeficiente da variável x e o número b é o termo independente. f(x) = 2x + 3 a = 2 e b = 3 f(x) = -x + 5 a = -1 e b = 5 f(x) = x a = 1 e b = 0 (chamado de função identidade) f(x) = 4x a = 4 e b = 0 (também chamado de função linear) f(x) = 2 a = 0 e b = 2 (também chamado de função constante)

6 Gráfico da Função Afim Como construir o gráfico de uma função afim? Vejamos algumas situações sobre a construção do gráfico desse tipo de função.

7 Situação 1: Acompanhe os procedimentos necessários para construir o gráfico da função f: R R, definida por y = f(x) = x 2. Para construir o gráfico dessa função, inicialmente atribuímos valores à variável independente x e obtemos os correspondentes valores da variável dependente y. Assim, encontramos as coordenadas (x; y).

8 Com as coordenadas, localizamos os pontos no plano cartesiano e, como domínio é o conjunto dos números reais, os pontos serão ligados convenientemente, formando uma reta.

9 Situação 2: Vamos construir o gráfico da função afim g: R R, definida por y = g(x) = - x + 3

10 Em seguida. Localizamos os pontos no plano cartesiano e construímos o gráfico.

11 Situação 3: Observe o gráfico a seguir. Como obter a expressão matemática da função deste gráfico?

12 Como o gráfico da função é uma reta, o modelo matemática que permite expressá-la tem forma de uma função afim definida por y = f(x) = ax + b. Pelo gráfico, observamos que a reta passa pelos pontos de coordenadas (0, 3) e (2, -1), ou seja f(0) = 3 e f(2) = - 1, assim: x = 0 y = f(0) = a. 0 + b = 3 b = 3 x = 2 y = f(2) = a = -1 2a + 3 = -1 2a = - 4 a = -2 Portanto, a expressão matemática da função é: y = f(x) = ax + b y = f(x) = -2x + 3 Note que o domínio é R e o conjunto-imagem é R.

13 Tipos de Função Afim Na função afim f: R R, definida por f(x) = ax + b, os coeficientes a e b podem assumir valores de reais quaisquer. Para determinados valores de a e b, teremos tipos especiais da função afim: Função constante; Função linear; Função identidade.

14 Função constante Se a = 0, a função afim é chamada de função constante. Conceito: Uma função constante é uma função f: R R cuja lei de formação é: y = f(x) = b constante Resolver Para você fazer p. 30

15 Todas as funções em que, independente do valor de x o valor de y é sempre o mesmo, são funções constantes. O gráfico dessas funções será sempre uma reta paralela ao eixo x, quando x R, coincidindo com o eixo x apenas quando y = 0. Qual é o conjunto-imagem da função f: R R dada por y = f(x) = k? Na função f(x) = k, qualquer que seja o valor de x, tem-se y = k. Logo, o conjunto-imagem da função é unitário e tem apenas o elemento k: Im(f) = {k}

16 Função Linear Considere um carro viajando a uma velocidade de 90km/h. A tabela a seguir indica deslocamento desse carro a cada hora.

17 Quando dobramos o tempo decorrido (de 1 para 2), por exemplo, o deslocamento também dobra (de 90 para 180). Logo, as variáveis envolvidas são diretamente proporcionais e, portanto, a razão entre elas é constante. deslocamento tempo = 90 1 = = = =... = 90 constante de proporcionalidade A função que permite relacionar o deslocamento d em função do tempo t é definida por: d = 90 d = 90t t A função d = f(t) = 90t é chamada de função linear e o número 90 é a constante de proporcionalidade entre t e d.

18 Conceito Denomina-se função linear qualquer função afim f: R R definida por uma lei da forma y = f(x) = ax em que a 0. As funções lineares nada mais são do que funções afins da forma y= f(x) = ax + b em que a 0 e b = 0. O gráfico de uma função linear y = ax, cujo domínio é R, sempre passa pela origem, pois para x = 0 temos y = a. 0 = 0. Logo, o ponto (0; 0) pertence ao gráfico.

19 Função Identidade A função identidade é um caso particular de função linear y =ax, considerando a = 1. Dessa forma, o gráfico de uma função identidade será formado por pontos cuja abscissa é igual à ordenada, ou seja, o gráfico é a reta que divide ao meio 1º e 3º quadrantes (bissetriz dos quadrantes ímpares). Observe a figura ao lado. Na função identidade, a razão de proporcionalidade entre as variáveis x e y é 1, pois os valores de x e y são sempre iguais.

20 Conceito: Uma f: R R é chamada função identidade quando sua lei de formação é dada por y = f(x) = x.

21 Valor e zero da função afim A função L(v) = 5v 3000 relaciona o lucro L em reais que um posto de combustível tem com a venda de v litros de gasolina. Vamos observar o valor do lucro (função) para alguns valores de litros vendidos. v = = = 0 v = 100 v v v = L ( 0) = L( 100) L( 300) L( 500) L( 700) litros = 3000 = = 2500 = = 1500 = = 500 = = vendidos lucro em reais

22 L Com exceção apenas de v = 700, o posto teve prejuízo nos demais valores de venda de gasolina (lucro negativo). Quantos litros da gasolina o posto deveria vender para não ter lucro nem prejuízo? Para não ter lucro nem prejuízo, o dono do posto deveria vender uma quantidade de gasolina tal que L(v) = 0, ou seja, ( v) = 0 5v 3000 = 0 5v = 3000 v = v = 600

23 Vendendo exatamente 600 litros de gasolina, o posto não tem lucro nem prejuízo, ou seja, L(600) = 0 Observe, no gráfico a seguir, que o valor v = 600 representa a abscissa do ponto em que o gráfico da função corta o eixo v. O valor v = 600 é chamado de zero da função L = 5v 3000 e é o valor de v para o qual L = 0

24 Pelo gráfico, observamos que o lucro varia de acordo com o valor de v da seguintes maneira: Para 0 v < 600, temos L(v) = 0; (vendendo entre 0 e 600 L, a prejuízo) Para v = 600, temos L(0); (vendendo 600L, há equilíbrio) Para v > 600, temos L(v) >0. (vendendo mais de 600 L, há lucros positivos)

25 Conceito: Em geral, para funções afins escritas na forma y = f(x) = ax +b, a 0, o zero da função é x = -b/a. Observe: y = f(x) = 0 ax = - b x = - b a

26 Gráficos definidos por uma ou mais sentenças No dia a dia, é possível encontrar diversas situações que necessitam de modelos matemáticos para sua interpretação. Nas situações de modelagem de um determinado fenômeno, utiliza-se frequentemente o conceito de função. Imagine que uma loja vende seus produtos com descontos que variam de acordo com o valor da compra feita pelo cliente. As regras são as seguintes:

27 Para compras abaixo de R$100,00, o desconto é de 5%. Para compras de R$ 100,00 até R$ 200,00, o desconto é de 8%. Para compras acima de R$ 200,00, o desconto é de 10%. Sendo c o valor da compra (em reais) e d o desconto concedido (em %) pela loja, como seria o gráfico dessa função?

28 Essa função, definida por várias sentenças, pode ser representada da seguinte maneira: 5, se 0 < c < 100 d = f ( c) = 8, se100 c , se c > 200

29 Nesse caso, a função foi definida por três funções constante, cada uma para certo intervalo de c. O domínio dessa função é o conjunto formado pelos números reais positivos e a correspondente imagem apenas pelos valores d = 5%, d = 8% e d = 10%. Pode ocorrer também que seja definida por sentenças que caracterizem outro tipo de função afim.

30 Por exemplo, suponha que certo fenômeno possa ser modelado pela função h, representada a seguir: y = h ( x) x 4, se x < -1 = 2x, se -1 x 3 5, se x > 3 Vamos construir o gráfico da função dessa função h.

31 À medida que os valores da variável x aumentam, os respectivos valores y podem diminuir, aumentar ou ser constantes. Observe esse fato nas seguintes representações: Para x < -1, os valores de y diminuem. Para -1 x 3, os valores de y aumentam Para x > 3, os valores de y são iguais (constantes). De que maneira podemos representar o domínio e a imagem da função h(x)?