Processos Estocásticos

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1 Processos Estocásticos Hélio Lopes INF Introdução à Simulação Estocástica 1 Introdução Um processo estocástico é uma família de variáveis aleatórias {X(t), t T } definidas em um espaço de probabilidade, indexado por um parâmetro t, onde t varia no conjunto T. Lembre que uma variável aleatória é uma função definida num espaço amostral Ω. Então, o processo estocástico {X(t), t T } é uma função de dois argumentos {X(t, ω), t T, ω Ω}. Para um t = t 0 fixo, X(t 0, ω) = X t0 (ω) é uma variável aleatória denotada por X(t 0 ) já que ω varia no espaço amostral Ω. Por outro lado, fixando ω = ω 0, X(t, ω 0 ) = X ω0 (t) é uma função que só depende de t, e é camada de uma realização do processo. É claro que se t e ω são fixos, X(t, ω) é um número real. Para facilitar a notação, X(t) será usado daqui por diante para denotar um processo estocástico. O conjunto T é camado de espaço de parâmetro. Os valores assumidos por X(t) são camados de estados, e o conjunto de todos os possíveis estados é camado de espaço de estados do processo estocástico e é denotado por E. Se o conjunto T é discreto, então o processo estocático é dito ser de tempo discreto, nesse caso ele também pode ser camado de uma seqüência aleatória. Se T é contínuo, então o processo é dito ser de tempo contínuo. Se E é discreto, então o processo é dito ser um processo de estados discretos, e pode ser camado também de uma cadeia. Se E é contínuo, então o processo é dito ser de epaço contínuo. 1

2 2 Caracterização Considere um processo estocástico X(t). Para um tempo fixo t 1, X(t 1 ) = X 1 é uma v.a. e a sua função de distribuição acumulada F X (x 1 ; t 1 ) é definida por: F X (x 1 ; t 1 ) = P r[x(t 1 ) x 1 ]. F X (x 1 ; t 1 ) é conecida como a distribuição de primeira ordem de X(t). De forma semelante, para dois tempos fixos t 1 e t 2 define-se como a distribuição de segunda ordem de X(t) por: F x (x 1, x 2 ; t 1, t 2 ) = P r[x(t 1 ) x 1, X(t 2 ) x 2 ]. E de forma geral, a distribuição de n-ésima ordem de X(t) é dada por: F x (x 1,..., x n ; t 1,..., t n ) = P r[x(t 1 ) x 1,..., X(t n ) x n ]. Para um caracterização completa do processo estocástico X(t) é preciso saber as distribuições de todas as ordens (n ). 3 Média, Correlação e Covariância A média de X(t) é definida por µ X (t) = E[X(t)], onde X(t) é vista como uma v.a. para um t fixo. Em geral, µ X (t) é uma função do tempo. A medida de dependência entre as v.a. s de X(t) é dada pela função de autocorrelação R X (t, s) = E[X(t)X(s)]. Note que R X (t, s) = R X (s, t) e que R X (t, t) = E[(X(t)) 2 ]. A função de autocovariância de X(T ) é definida por: K X (t, s) = Cov[X(t), X(s)] = E[(X(t) µ X (t))(x(s) µ X (s))]. É fácil provar que K X (t, s) = R X (t, s) µ X (t)µ X (s). Se a média de X(t) é zero para qualquer t, então K X (t, s) = R X (t, s). A variância de X(t) é dada por: σ 2 X(t) = V ar[x(t)] = E[(X(t) µ X (t)) 2 ] = K X (t, t). 2

3 4 Classificação 4.1 Processos estacionários Um processo X(t) é dito ser estacionário se para todo n e para qualquer conjunto de instantes de tempo {t i T, i = 1, 2,..., n}, tem-se que: F X (x 1,..., x n ; t 1,..., t n ) = F X (x 1,..., x n ; t 1 + τ,..., t n + τ), para qualquer valor de τ. Portanto, a distribuição do proceso X(t) não é afetada por uma translação na origem do tempo. Em particular, X(t) e X(t + τ) tem a mesma distribuição para qualquer valor de τ. Assim, podese dizer que F X (x, t) = F X (x, t + τ) = F X (x). Nesse caso, µ X (t) = µ e V ar[x(t)] = σ 2, onde µ e sigma são constantes. 4.2 Processos independentes Dado um processo X(t). Se X(t i ) para i = 1, 2,..., n são v.a. s independentes, de tal forma que F X (x 1,..., x n ; t 1,..., t n ) = Π n i=1f X (x i ; t i ), então camamos X(t) de um processo independente. 4.3 Processos com incrementos independentes Um processo {X(t), t 0} é dito ter incrementos independentes se para quaisquer n instantes de tempos 0 < t 1 < t 2 <... < t n, tem-se que: X(0), X(t 1 ) X(0), X(t 2 ) X(t 1 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) são v.a. s independentes. Se {X(t), t 0} tem incrementos independentes e X(t) X(s) tem a mesma distribuição que X(t + ) X(s + ) para todo s, t, 0, s < t, então o processo é dito ter incrementos independentes e estacionários. Se {X(t), t 0} possui incrementos independentes e estacionários e X(0) = 0, então E[X(t)] = µ 1 t e V ar[x(t)] = σ 2 1t, onde µ 1 = E[X(1)] e σ 1 = V ar[x(1)]. Os processos de Poisson e de Weiner, que serão apresentados a seguir, são dois exemplos de processos com incrementos independentes e estacionários. 3

4 4.4 Processos de Poisson Considere que t é uma variável que representa o tempo. Supona que um experimento começa em t = 0. Eventos de um determinado tipo ocorrem aleatoriamente, o primeiro em T 1, o segundo em T 2 e assim por diante. A v.a. T i denota o tempo em que o i-ésimo evento ocorre. Os valores t i assumidos pelas realizações de T i são camados de tempos de ocorrência. Seja Z i = T i T i 1 e T 0 = 0. Então Z n denota o tempo entre os n 1 primeiros eventos and o n-ésimo evento. A sequüência ordenada de v.a. {Z n ; n 1} é muitas vezes denominada de processo de intervalos de ocorrência (interarrival process). Se todas as v.a. s Z n são independentes e idênticamente distribuídas, então {Z n ; n 1} é camado de processo de renovação. Vale lembrar que T n = Z 1 +Z 2 + +Z n. O processo {T n ; n 1} é camado de processo de ocorrência. Um processo estocástico {X(t); t 0} é camado de processo de contagem se X(t) representa o número de eventos total ocorridos no intervalo (0,t). Esse processo deve satisfazer as seguintes propriedades: 1. X(t) 0 e X(0) = X(t) é um número inteiro. 3. X(s) X(t) se s < t. 4. X(t) X(s) é igual ao número de eventos que ocorreram no intervalo (s, t). Um processo de contagem X(t) é dito ter incrementos independentes se o número de eventos ocorridos em intervalos de tempo disjuntos são independentes. Um processo de contagem X(t) é dito ter incrementos estacionários se o número de eventos no interval (s +, t + ) tem a mesma distribuição do número de eventos (s, t), para todo s < t e > 0. Um processo de contagem X(t) é dito ser um processo de Poisson omogêneo com intensidade λ > 0 se: 1. X(0) = X(t) tem incrementos estacionários independentes. 3. lim 0 P r[x(t+) X(t)=1] = λ. 4

5 4. lim 0 P r[x(t+) X(t) 2] = 0. Num processo de Poisson omogêneo, tem-se que E[X(t)] = λt e V ar[x(t)] = λt. Portanto, o valor esperado do número de eventos no intervalo unitário (0, 1), ou qualquer outro de tamano unitário, é igual a λ. Outra propriedade muito importante é que os tamanos dos intervalos de tempos {Z n ; n 1} de um processo de Poisson omogêneo X(t) com intensidade λ são v.a. s exponenciais com taxa λ independentes entre si. Por fim, o número de eventos que ocorrem em um intervalo de tamano t num processo de Poisson é uma v.a. discreta de Poisson com taxa λt. Um processo de contagem X(t) é dito ser um processo de Poisson nãoomogêneo com função intensidade λ(t) > 0 se: 1. X(0) = X(t) tem incrementos independentes. 3. lim 0 P r[x(t+) X(t)=1] = λ(t). 4. lim 0 P r[x(t+) X(t) 2] = 0. No processo de Poisson não-omogêneo, vale dizer que X(t + ) X(t) é uma variável aleatária discreta de Poisson com média m(t + ) m(t), onde m(t) = t 0 λ(s)ds, para t 0. 5