Notas de Aula. tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p XY

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1 UNIVERSIDDE FEDERL D BHI INSTITUTO DE MTEMÁTIC DEPRTMENTO DE ESTTÍSTIC v. demar de Barros s/n - Campus de Ondina Salvador B Tel:(071) Fax Mat Probabilidade II Profa. Maristela Notas de ula 1 Variáveis leatórias Conjuntamente Distribuídas té o momento temos nos concentrado no estudo de variáveis aleatórias unidimensionais. Contudo podemos estar interessados em afirmações sobre probabilidades envolvendo duas ou mais variáveis aleatórias. Nosso primeiro interesse nesse curso, portanto, será estudar conjuntamente o comportamento de n v.a. s, por exemplo, X 1, X 2,..., X n. Sendo assim, é sempre conveniente usar a notaçao de vetor X =(X 1, X 2,..., X n ) e se referir a X como um vetor aleatório. Quando a notação de vetor é usada, deve-se ter em mente que, se X é um vetor aleatório.n dimensional, então sua função de distribuição é definida como uma função no espaço n dimensional R n. 2 Distribuições Bivariadas Em muitos experimentos é necessário considerar as propriedades de duas variáveis aleatórias simultaneamente. distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias é chamada de uma Distribuição Bivariada. Este conceito será apresentado agora e mais tarde será estendido a mais de duas variáveis aleatórias. 2.1 Distribuições de probabilidade conjuntas caso discreto Suponha que um dado experimento envolve duas variáveis aleatórias X e Y, cada uma com distribuição discreta. Por exemplo, se uma amostra de alunos é selecionada, uma variável aleatória pode ser o número X de pessoas na amostra com mais de 22 anos de idade, e uma outra variável aleatória pode ser o número Y de pessoas que moram a mais de 10Km da Universidade. Se ambas as variáveis aleatórias têm distribuição discreta com um número finito de valores possíveis, então teremos apenas um número finito de diferentes possíveis valores (x, y) para o par (X, Y ). Por outro lado, se ou X ou Y puder assumir um número infinito de valores possíveis, então teremos também um número infinito de valores possíveis para o par (X, Y ). Em qualquer dos casos, é dito que X e Y têm uma distribuição conjunta discreta. função de probabilidade conjunta de X e Y é definida como a função p tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p (x, y) = P (X = x e Y = y). Se o par (x, y) não é um dos valores possíveis do par de variáveis aleatórias(x, Y ), então é claro que p (x, y) = 0. lém disso, se a sequência (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x, y ),... inclui todos os valores possíveis do par (X, Y ), então p (x i, y i ) = 1 Para qualquer subconjunto do plano xy, P [(X, Y ) ] = i=1 (x i,y i) p (x i, y i ) Especificando uma Distribuição Bivariada Discreta por uma Tabela de Probabilidades. distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas é uma tabela de dupla entrada que especifica a probabilidade conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. Exemplo 1 Consideremos uma urna contendo 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). Extraímos, sem reposição, duas bolas dessa urna. Sejam: X = número de bolas pretas; Y = número de bolas vermelhas. Ω VV VP VB PV PP PB BV BP BB p 2/56 8/56 4/56 8/56 12/56 8/56 4/56 8/56 2/56 X Y

2 função de probabilidade conjunta de X e Y é especificada na tabela abaixo: caso contínuo X Y 0 2/56 = /56 = /56 = 1 8/56 = /56 = /56 = É dito que duas v.a. s X e Y têm uma distribuição conjunta contínua se existe uma função não negativa f definida sobre todo o plano xy tal que, para qualquer subconjunto do plano: P [(X, Y ) ] = (x, y)dxdy. função f é chamada de função densidade de probabilidade conjunta de X e Y e deve satisfazer as seguintes condições: 1. (x, y) 0 para < x < e < y < ; 2. (x, y)dxdy = 1. probabilidade de que o par (X, Y ) irá pertencer a alguma região específica do plano xy pode ser encontrada pela integração de (x, y) sobre a tal região. Exemplo 2 Suponha que a função densidade conjunta de X e Y seja definida por: { ce (x, y) = x e 2y para 0 < x < e 0 < y < ; 0, caso contrário. Calcule: 1. P (X < 1, Y < 1); 2. P (X < Y ). Exemplo Suponha que a função densidade conjunta de X e Y seja definida por: { cx (x, y) = 2 y para x 2 y 1; 0, caso contrário. Calcule: P (X Y ). 2.2 Distribuições Marginais caso discreto No exemplo 1, para encontrar, por exemplo, P (Y = 0), fixamos y = 0 e percorremos todos os valores de x, somando as respectivas probabilidades, ou seja: P (Y = 0) = P (Y = 0, X = 0) + P (Y = 0, X = 1) + P (Y = 0, X = 2) = = De uma maneira geral, P (Y = y) = x P (Y = y, X = x) e P (Y = y) é chamada de Distribuição Marginal de Y, pois é deduzida a partir da distribuição conjunta de X e Y. nalogamente, a distribuição marginal de X é calculada por: P (X = x) = P (Y = y, X = x). y Ou seja, a distribuição marginal de uma variável aleatória é deduzida a partir da soma da distribuição conjunta sobre todos os valores possíveis da outra variável aleatória.

3 Exemplo 4 função de probabilidade marginal de X no exemplo 1 é dada por: p X (x) = P (X = x) = e sua função distribuição acumulada, é: F X (x) = P (X x) = caso contínuo 0, x < 0, 0 x < 1 11, 1 x < 2 1, x 2, x = 0 4 7, x = 1, x = 2 Se X e Y são v.a. s conjuntamente contínuas, então elas são individualmente contínuas e suas respectivas funções densidades podem ser obtidas da forma a seguir: P {X } = P {X, Y (, )} = (x, y)dydx = f X (x)dx, onde f X (x) = (x, y)dy é a função densidade de probabilidade Marginal de X. De forma análoga, a função densidade Marginal de Y é dada por: f Y (y) = Exemplo: No exemplo 2, encontremos P (X < a) Distribuições Bivariadas Mistas (x, y)dx té agora discutimos distribuições de vetores aleatórios bivariados nos quais as variáveis aleatóras ou eram ambas discretas ou ambas eram contínuas. Ocasionalmente, podemos nos deparar com um vetor bivariado no qual uma coordenada é uma v.a. discreta e a outra é contínua. Nesse caso, a probabilidade de que o par (X, Y ) irá pertencer a uma certa região do plano xy, é então encontrada pelo somatório dos valores da função de distribuição conjunta g(x, Y ) para uma das variáveis, e pela integração de g(x, Y ) para a outra variável. Quando se trata de um vetor aleatório misto, para encontrar a distibuição marginal de cada coordenada devemos fazer o seguinte: supondo que X é discreta e Y é contínua, temos p X (x) = 2. Função de Distribuição Conjunta g(x, y)dy e f Y (y) = x g(x, y). Para quaisquer duas variáveis aleatórias X e Y, definimos a função de distribuição acumulada conjunta de X e Y pela função F tal que, para todos os valores x e y ( < x < e < y < ), temos: F (x, y) = P (X x e Y y). y d c a b x Figura 1: P (a < X b, c < Y d).

4 Se X e Y são duas v.a. s arbitrárias com função de distribuição acumulada F, então a probabilidade de que o par (X, Y ) irá pertencer a algum retângulo específico no plano xy (Figura 1) pode ser obtido, a partir de F, da seguinte forma, para quaisquer números a < b e c < d : P (a < X b, c < Y d) = F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c). E a função de distribuição acumulada Marginal de X pode ser obtida como segue: ( ) F X (x) = P (X x) = P (X x, Y < ) = P lim {X x, Y y} = lim P (X x, Y y) = lim F (x, y). y y y Ou seja, F X (x) F (x, ). Do mesmo modo, F Y (y) F (, y) é a distribuição Marginal de Y. Note que, se X e Y têm distribuição conjunta contínua com função de densidade conjunta, então a função de distribuição conjunta, para quaisquer x e y, é: F (x, y) = x y (s, r)dsdr. (1) qui as variáveis s e r são apenas variáveis de integração. No caso do vetor (X, Y ) ser discreto, F (x, y) é encontrado de forma análoga, considerando o somatório ao invés da integral. densidade conjunta pode ser encontrada, a partir da função de distribuição acumulada conjunta usando a seguinte relação: (x, y) = no ponto (x, y) onde a derivada de segunda ordem exista. 2 x y F (x, y), Exemplo 5 Suponha que as v.a. s X e Y sejam contínuas com funçao de distribuiçao conjunta dada por: 0, se x 0 ou y 0; 1 F (x, y) = 16xy(x + y), se 0 x 2 e 0 y 2; 1, se x 2 e y 2. Encontremos: 1. (x, y) a densidade conjunta de X e Y ; 2. F X (x) e F Y (y) as distribuições marginais de X e de Y ;. f X (x) e f Y (y) as densidades marginais de X e de Y ; pesar das distribuições marginais de X e de Y poderem ser completamente determinadas a partir de sua distribuição conjunta, não é possível reconstruir a sua distribuição conjunta a partir das respectivas distribuições marginais sem uma informação adicional. É importante investigar qual a relação existente entre as v.a. s. 2.4 Independência Dizemos que duas v.a. s X e Y são independentes se para todo par x, y, temos que a distribuição conjunta de X e Y é igual ao produto das respectivas distribuições marginais. Ou seja, se para todo par x, y, temos: F (x, y) = P (X x, Y y) = P (X x).p (Y y) = F X (x).f Y (y) (2) o que significa dizer que os eventos {X x} e {Y y} são independentes para todo par x, y. Equivalentemente, teremos: Caso discreto p (x, y) = P (X = x, Y = y) = P (X = x).p (Y = y) = p X (x).p Y (y) ()

5 2.4.2 Caso contínuo (x, y) = f X (x).f Y (y). (4) Obs.: Para verificar se X e Y são independentes devemos checar (2), () ou (4), conforme o caso, para x, y. Para provar que X e Y não são independentes, basta um contra-exemplo a estas expressões. Exemplo 6 inda no exemplo 1, as variáveis X e Y não são independentes, pois: P (X = 1, Y = 2) = = P (X = 1)P (Y = 2) 7 28 Exemplo 7 Suponha que duas medidas independentes X e Y são feitas da precipitação atmosférica durante um período de tempo numa certa localidade, e que a função densidade de cada medida é: g W (w) = { 2w, se 0 w 1, 0, caso contrário. Determinemos P (X + Y 1). 2.5 Distribuição condicional caso discreto Suponha que X e Y sejam duas variáveis aletórias discretas cuja função de probabildade conjunta é P (X = x, Y = y). Depois de o valor y da variável aleatória Y ter sido observado, a probabilidade de que a variável aleatória X assumirá algum valor x específico, é dada pela seguinte probabilidade condicional: p X Y (x) = P (X = x Y = y) = P (X = x, Y = y) P (Y = y) = p (x, y). (5) p Y (y) Em outras palavras, se é conhecido que Y = y, então a distribuição de X será discreta, dada pelo quociente entre a conjunta de X e Y e a marginal de Y. p X Y (x) é chamada de função de probabilidade condicional de X dada Y. Da mesma forma, p Y X (y) = P (Y = y X = x) = P (X = x, Y = y) P (X = x) = p (x, y) p X (x) Y dada X. Verifiquemos que p Y X (y) realmente representa um função de probabilidade. é a distribuição condicional de Exemplo 8 Considere a função de probabilidade conjunta dada pela tabela do exemplo 1. função de probabilidade condicional de Y dado que X = 0. Vamos determinar a Da tabela, vimos que P (X = 0) =. Portanto, a função de probabilidade procurada será: p Y X=0 (y) = P (X = 0, Y = y) P (X = 0) = P (X = 0, Y = y) Note que, para todos os possíveis valores de y, as probabilidades condicionais p Y X=0 (y) devem ser proporcionais às probabilidades conjuntas P (X = 0, Y = y). Neste exemplo, cada valor de P (X = 0, Y = y) é dividido por simplesmente para que a soma de todos os resultados seja igual a caso contínuo Suponha que X e Y tenham uma distrinuição contínua conjunta com densidade conjunta e densidades marginais f X e f Y respectivamente. Suponha também que o valor Y = y tenha sido observado e que se queira especificar as probabilidades para vários conjuntos possíveis de valores de X. Note que neste caso P (Y = y) = 0 para cada valor y, e que as probabilidades condicionais da forma P ( B) não está definida quando P (B) = 0. fim de ser possível deduzir probabilidades condicionais quando X e Y tenham uma distrinuição contínua conjunta, o conceito de probabilidade condicional será extendido, considerando a definição de condicional dada em (5) e a analogia entre função densidade e função de probabilidade. Seja y um valor dado qualquer para o qual f Y (y) > 0. Então a densidade condicional de X dado que Y = y pode ser definida por: f X Y (x) = f (x, y), para < x <. (6) f Y (y)

6 nalogamente, a densidade condicional de Y dado que X = x pode ser definida por: f Y X (x) = f (x, y) f X (x) para < y <. Verifiquemos que f Y X (y) realmente representa um função de probabilidade. Obs.: Note que (5) foi deduzida, enquanto que (6) foi definida. Exemplo 9 Determinemos a densidade condicional de Y dado que X = x para o exemplo. seguir determinemos as probabilidades de Y > 1/4 e de Y > /4 dado o valor específico de X = 2. Observemos que, de posse do conceito e da definição de distribuição condicional, podemos construir a distribuição conjunta de duas v.a. s. 2.6 Construindo a Distribuição Conjunta Segue da equação (6) que para qualquer valor y tal que f Y (y) > 0 e para qualquer valor de x : (x, y) = f X Y (x).f Y (y). (7) lém disso, se f Y (y) = 0 para algum y 0, então pode ser assumido, sem perda de generalidade que (x, y 0 ) = 0 para todos os valores de x. Neste caso, ambos os membros da equação (7) serão 0, e o fato de f X Y (x) não estar definida é irrelevante. Pontanto (7) será satisfeita para todos os valores de x e y. nalogamente para (x, y) = f Y X (y).f X (x), pode representar a densidade conjunta de x e y. função de distribuição acumulada conjunta de X e Y é portanto determinada por (1) onde por (7). é representada Exemplo 10 Ensaios Independentes de Bernoulli Sejam X 1, X 2,...X k v.a. s independentes, cada uma com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Como eventos, isso quer dizer que: P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X k = x k ) = P (X 1 = x 1 )P (X 2 = x 2 )...P (X k = x k ) = p #(xi=1) (1 p) #(xi=0), i = 1,..., k. Considere agora que k = m + n e que: X = n o de sucessos nos n primeiros ensaios; Y = n o de sucessos nos m ensaios restantes. ( n Dessa forma, P (X = x, Y = y) = P (X = x).p (Y = y) = x ) p x (1 p) n x ( m y ) p y (1 p) m y. 2.7 Soma de v.a. s independentes Suponha que no exemplo anterior estejamos interessados no número de sucesso nos K ensaios. Defina a v.a. Z = X + Y. Queremos então encontrar a distribuição de Z: P (Z = z) = assim, P (Z = z) = P (Z = z, X = x), 0 z m + n, P (X + Y = z, X = x) = P (x + Y = z, X = x) = P (Y = z x, X = x), 0 z m + n. Ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) P (Z = z) = n n m p x x (1 p) n x p z x z x (1 p) m (z x) = p z (1 p) m+n z n n m = x z x ( ) m + n = p z (1 p) m+n z. z ( ) m + n ssim, P (Z = z) = p z z (1 p) m+n z. Conclusão: soma de duas v.a. s Binomiais com parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente, é Binomial com parâmetros (m + n, p). Exemplo 11 Qual a distribuição da soma de duas v.a. s independentes com distribuição de Poisson?