Notas de Aula. tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p XY

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Notas de Aula. tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p XY"

Transcrição

1 UNIVERSIDDE FEDERL D BHI INSTITUTO DE MTEMÁTIC DEPRTMENTO DE ESTTÍSTIC v. demar de Barros s/n - Campus de Ondina Salvador B Tel:(071) Fax Mat Probabilidade II Profa. Maristela Notas de ula 1 Variáveis leatórias Conjuntamente Distribuídas té o momento temos nos concentrado no estudo de variáveis aleatórias unidimensionais. Contudo podemos estar interessados em afirmações sobre probabilidades envolvendo duas ou mais variáveis aleatórias. Nosso primeiro interesse nesse curso, portanto, será estudar conjuntamente o comportamento de n v.a. s, por exemplo, X 1, X 2,..., X n. Sendo assim, é sempre conveniente usar a notaçao de vetor X =(X 1, X 2,..., X n ) e se referir a X como um vetor aleatório. Quando a notação de vetor é usada, deve-se ter em mente que, se X é um vetor aleatório.n dimensional, então sua função de distribuição é definida como uma função no espaço n dimensional R n. 2 Distribuições Bivariadas Em muitos experimentos é necessário considerar as propriedades de duas variáveis aleatórias simultaneamente. distribuição de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias é chamada de uma Distribuição Bivariada. Este conceito será apresentado agora e mais tarde será estendido a mais de duas variáveis aleatórias. 2.1 Distribuições de probabilidade conjuntas caso discreto Suponha que um dado experimento envolve duas variáveis aleatórias X e Y, cada uma com distribuição discreta. Por exemplo, se uma amostra de alunos é selecionada, uma variável aleatória pode ser o número X de pessoas na amostra com mais de 22 anos de idade, e uma outra variável aleatória pode ser o número Y de pessoas que moram a mais de 10Km da Universidade. Se ambas as variáveis aleatórias têm distribuição discreta com um número finito de valores possíveis, então teremos apenas um número finito de diferentes possíveis valores (x, y) para o par (X, Y ). Por outro lado, se ou X ou Y puder assumir um número infinito de valores possíveis, então teremos também um número infinito de valores possíveis para o par (X, Y ). Em qualquer dos casos, é dito que X e Y têm uma distribuição conjunta discreta. função de probabilidade conjunta de X e Y é definida como a função p tal que, para qualquer ponto (x, y) no plano xy, temos: p (x, y) = P (X = x e Y = y). Se o par (x, y) não é um dos valores possíveis do par de variáveis aleatórias(x, Y ), então é claro que p (x, y) = 0. lém disso, se a sequência (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), (x, y ),... inclui todos os valores possíveis do par (X, Y ), então p (x i, y i ) = 1 Para qualquer subconjunto do plano xy, P [(X, Y ) ] = i=1 (x i,y i) p (x i, y i ) Especificando uma Distribuição Bivariada Discreta por uma Tabela de Probabilidades. distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias discretas é uma tabela de dupla entrada que especifica a probabilidade conjunta de X assumir o valor x e Y assumir o valor y. Exemplo 1 Consideremos uma urna contendo 4 bolas pretas (P), 2 bolas brancas (B) e 2 bolas vermelhas (V). Extraímos, sem reposição, duas bolas dessa urna. Sejam: X = número de bolas pretas; Y = número de bolas vermelhas. Ω VV VP VB PV PP PB BV BP BB p 2/56 8/56 4/56 8/56 12/56 8/56 4/56 8/56 2/56 X Y

2 função de probabilidade conjunta de X e Y é especificada na tabela abaixo: caso contínuo X Y 0 2/56 = /56 = /56 = 1 8/56 = /56 = /56 = É dito que duas v.a. s X e Y têm uma distribuição conjunta contínua se existe uma função não negativa f definida sobre todo o plano xy tal que, para qualquer subconjunto do plano: P [(X, Y ) ] = (x, y)dxdy. função f é chamada de função densidade de probabilidade conjunta de X e Y e deve satisfazer as seguintes condições: 1. (x, y) 0 para < x < e < y < ; 2. (x, y)dxdy = 1. probabilidade de que o par (X, Y ) irá pertencer a alguma região específica do plano xy pode ser encontrada pela integração de (x, y) sobre a tal região. Exemplo 2 Suponha que a função densidade conjunta de X e Y seja definida por: { ce (x, y) = x e 2y para 0 < x < e 0 < y < ; 0, caso contrário. Calcule: 1. P (X < 1, Y < 1); 2. P (X < Y ). Exemplo Suponha que a função densidade conjunta de X e Y seja definida por: { cx (x, y) = 2 y para x 2 y 1; 0, caso contrário. Calcule: P (X Y ). 2.2 Distribuições Marginais caso discreto No exemplo 1, para encontrar, por exemplo, P (Y = 0), fixamos y = 0 e percorremos todos os valores de x, somando as respectivas probabilidades, ou seja: P (Y = 0) = P (Y = 0, X = 0) + P (Y = 0, X = 1) + P (Y = 0, X = 2) = = De uma maneira geral, P (Y = y) = x P (Y = y, X = x) e P (Y = y) é chamada de Distribuição Marginal de Y, pois é deduzida a partir da distribuição conjunta de X e Y. nalogamente, a distribuição marginal de X é calculada por: P (X = x) = P (Y = y, X = x). y Ou seja, a distribuição marginal de uma variável aleatória é deduzida a partir da soma da distribuição conjunta sobre todos os valores possíveis da outra variável aleatória.

3 Exemplo 4 função de probabilidade marginal de X no exemplo 1 é dada por: p X (x) = P (X = x) = e sua função distribuição acumulada, é: F X (x) = P (X x) = caso contínuo 0, x < 0, 0 x < 1 11, 1 x < 2 1, x 2, x = 0 4 7, x = 1, x = 2 Se X e Y são v.a. s conjuntamente contínuas, então elas são individualmente contínuas e suas respectivas funções densidades podem ser obtidas da forma a seguir: P {X } = P {X, Y (, )} = (x, y)dydx = f X (x)dx, onde f X (x) = (x, y)dy é a função densidade de probabilidade Marginal de X. De forma análoga, a função densidade Marginal de Y é dada por: f Y (y) = Exemplo: No exemplo 2, encontremos P (X < a) Distribuições Bivariadas Mistas (x, y)dx té agora discutimos distribuições de vetores aleatórios bivariados nos quais as variáveis aleatóras ou eram ambas discretas ou ambas eram contínuas. Ocasionalmente, podemos nos deparar com um vetor bivariado no qual uma coordenada é uma v.a. discreta e a outra é contínua. Nesse caso, a probabilidade de que o par (X, Y ) irá pertencer a uma certa região do plano xy, é então encontrada pelo somatório dos valores da função de distribuição conjunta g(x, Y ) para uma das variáveis, e pela integração de g(x, Y ) para a outra variável. Quando se trata de um vetor aleatório misto, para encontrar a distibuição marginal de cada coordenada devemos fazer o seguinte: supondo que X é discreta e Y é contínua, temos p X (x) = 2. Função de Distribuição Conjunta g(x, y)dy e f Y (y) = x g(x, y). Para quaisquer duas variáveis aleatórias X e Y, definimos a função de distribuição acumulada conjunta de X e Y pela função F tal que, para todos os valores x e y ( < x < e < y < ), temos: F (x, y) = P (X x e Y y). y d c a b x Figura 1: P (a < X b, c < Y d).

4 Se X e Y são duas v.a. s arbitrárias com função de distribuição acumulada F, então a probabilidade de que o par (X, Y ) irá pertencer a algum retângulo específico no plano xy (Figura 1) pode ser obtido, a partir de F, da seguinte forma, para quaisquer números a < b e c < d : P (a < X b, c < Y d) = F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c). E a função de distribuição acumulada Marginal de X pode ser obtida como segue: ( ) F X (x) = P (X x) = P (X x, Y < ) = P lim {X x, Y y} = lim P (X x, Y y) = lim F (x, y). y y y Ou seja, F X (x) F (x, ). Do mesmo modo, F Y (y) F (, y) é a distribuição Marginal de Y. Note que, se X e Y têm distribuição conjunta contínua com função de densidade conjunta, então a função de distribuição conjunta, para quaisquer x e y, é: F (x, y) = x y (s, r)dsdr. (1) qui as variáveis s e r são apenas variáveis de integração. No caso do vetor (X, Y ) ser discreto, F (x, y) é encontrado de forma análoga, considerando o somatório ao invés da integral. densidade conjunta pode ser encontrada, a partir da função de distribuição acumulada conjunta usando a seguinte relação: (x, y) = no ponto (x, y) onde a derivada de segunda ordem exista. 2 x y F (x, y), Exemplo 5 Suponha que as v.a. s X e Y sejam contínuas com funçao de distribuiçao conjunta dada por: 0, se x 0 ou y 0; 1 F (x, y) = 16xy(x + y), se 0 x 2 e 0 y 2; 1, se x 2 e y 2. Encontremos: 1. (x, y) a densidade conjunta de X e Y ; 2. F X (x) e F Y (y) as distribuições marginais de X e de Y ;. f X (x) e f Y (y) as densidades marginais de X e de Y ; pesar das distribuições marginais de X e de Y poderem ser completamente determinadas a partir de sua distribuição conjunta, não é possível reconstruir a sua distribuição conjunta a partir das respectivas distribuições marginais sem uma informação adicional. É importante investigar qual a relação existente entre as v.a. s. 2.4 Independência Dizemos que duas v.a. s X e Y são independentes se para todo par x, y, temos que a distribuição conjunta de X e Y é igual ao produto das respectivas distribuições marginais. Ou seja, se para todo par x, y, temos: F (x, y) = P (X x, Y y) = P (X x).p (Y y) = F X (x).f Y (y) (2) o que significa dizer que os eventos {X x} e {Y y} são independentes para todo par x, y. Equivalentemente, teremos: Caso discreto p (x, y) = P (X = x, Y = y) = P (X = x).p (Y = y) = p X (x).p Y (y) ()

5 2.4.2 Caso contínuo (x, y) = f X (x).f Y (y). (4) Obs.: Para verificar se X e Y são independentes devemos checar (2), () ou (4), conforme o caso, para x, y. Para provar que X e Y não são independentes, basta um contra-exemplo a estas expressões. Exemplo 6 inda no exemplo 1, as variáveis X e Y não são independentes, pois: P (X = 1, Y = 2) = = P (X = 1)P (Y = 2) 7 28 Exemplo 7 Suponha que duas medidas independentes X e Y são feitas da precipitação atmosférica durante um período de tempo numa certa localidade, e que a função densidade de cada medida é: g W (w) = { 2w, se 0 w 1, 0, caso contrário. Determinemos P (X + Y 1). 2.5 Distribuição condicional caso discreto Suponha que X e Y sejam duas variáveis aletórias discretas cuja função de probabildade conjunta é P (X = x, Y = y). Depois de o valor y da variável aleatória Y ter sido observado, a probabilidade de que a variável aleatória X assumirá algum valor x específico, é dada pela seguinte probabilidade condicional: p X Y (x) = P (X = x Y = y) = P (X = x, Y = y) P (Y = y) = p (x, y). (5) p Y (y) Em outras palavras, se é conhecido que Y = y, então a distribuição de X será discreta, dada pelo quociente entre a conjunta de X e Y e a marginal de Y. p X Y (x) é chamada de função de probabilidade condicional de X dada Y. Da mesma forma, p Y X (y) = P (Y = y X = x) = P (X = x, Y = y) P (X = x) = p (x, y) p X (x) Y dada X. Verifiquemos que p Y X (y) realmente representa um função de probabilidade. é a distribuição condicional de Exemplo 8 Considere a função de probabilidade conjunta dada pela tabela do exemplo 1. função de probabilidade condicional de Y dado que X = 0. Vamos determinar a Da tabela, vimos que P (X = 0) =. Portanto, a função de probabilidade procurada será: p Y X=0 (y) = P (X = 0, Y = y) P (X = 0) = P (X = 0, Y = y) Note que, para todos os possíveis valores de y, as probabilidades condicionais p Y X=0 (y) devem ser proporcionais às probabilidades conjuntas P (X = 0, Y = y). Neste exemplo, cada valor de P (X = 0, Y = y) é dividido por simplesmente para que a soma de todos os resultados seja igual a caso contínuo Suponha que X e Y tenham uma distrinuição contínua conjunta com densidade conjunta e densidades marginais f X e f Y respectivamente. Suponha também que o valor Y = y tenha sido observado e que se queira especificar as probabilidades para vários conjuntos possíveis de valores de X. Note que neste caso P (Y = y) = 0 para cada valor y, e que as probabilidades condicionais da forma P ( B) não está definida quando P (B) = 0. fim de ser possível deduzir probabilidades condicionais quando X e Y tenham uma distrinuição contínua conjunta, o conceito de probabilidade condicional será extendido, considerando a definição de condicional dada em (5) e a analogia entre função densidade e função de probabilidade. Seja y um valor dado qualquer para o qual f Y (y) > 0. Então a densidade condicional de X dado que Y = y pode ser definida por: f X Y (x) = f (x, y), para < x <. (6) f Y (y)

6 nalogamente, a densidade condicional de Y dado que X = x pode ser definida por: f Y X (x) = f (x, y) f X (x) para < y <. Verifiquemos que f Y X (y) realmente representa um função de probabilidade. Obs.: Note que (5) foi deduzida, enquanto que (6) foi definida. Exemplo 9 Determinemos a densidade condicional de Y dado que X = x para o exemplo. seguir determinemos as probabilidades de Y > 1/4 e de Y > /4 dado o valor específico de X = 2. Observemos que, de posse do conceito e da definição de distribuição condicional, podemos construir a distribuição conjunta de duas v.a. s. 2.6 Construindo a Distribuição Conjunta Segue da equação (6) que para qualquer valor y tal que f Y (y) > 0 e para qualquer valor de x : (x, y) = f X Y (x).f Y (y). (7) lém disso, se f Y (y) = 0 para algum y 0, então pode ser assumido, sem perda de generalidade que (x, y 0 ) = 0 para todos os valores de x. Neste caso, ambos os membros da equação (7) serão 0, e o fato de f X Y (x) não estar definida é irrelevante. Pontanto (7) será satisfeita para todos os valores de x e y. nalogamente para (x, y) = f Y X (y).f X (x), pode representar a densidade conjunta de x e y. função de distribuição acumulada conjunta de X e Y é portanto determinada por (1) onde por (7). é representada Exemplo 10 Ensaios Independentes de Bernoulli Sejam X 1, X 2,...X k v.a. s independentes, cada uma com distribuição de Bernoulli com parâmetro p. Como eventos, isso quer dizer que: P (X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X k = x k ) = P (X 1 = x 1 )P (X 2 = x 2 )...P (X k = x k ) = p #(xi=1) (1 p) #(xi=0), i = 1,..., k. Considere agora que k = m + n e que: X = n o de sucessos nos n primeiros ensaios; Y = n o de sucessos nos m ensaios restantes. ( n Dessa forma, P (X = x, Y = y) = P (X = x).p (Y = y) = x ) p x (1 p) n x ( m y ) p y (1 p) m y. 2.7 Soma de v.a. s independentes Suponha que no exemplo anterior estejamos interessados no número de sucesso nos K ensaios. Defina a v.a. Z = X + Y. Queremos então encontrar a distribuição de Z: P (Z = z) = assim, P (Z = z) = P (Z = z, X = x), 0 z m + n, P (X + Y = z, X = x) = P (x + Y = z, X = x) = P (Y = z x, X = x), 0 z m + n. Ou seja, ( ) ( ) ( ) ( ) P (Z = z) = n n m p x x (1 p) n x p z x z x (1 p) m (z x) = p z (1 p) m+n z n n m = x z x ( ) m + n = p z (1 p) m+n z. z ( ) m + n ssim, P (Z = z) = p z z (1 p) m+n z. Conclusão: soma de duas v.a. s Binomiais com parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente, é Binomial com parâmetros (m + n, p). Exemplo 11 Qual a distribuição da soma de duas v.a. s independentes com distribuição de Poisson?

1 Variáveis Aleatórias

1 Variáveis Aleatórias Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis

Leia mais

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE

3 NOÇÕES DE PROBABILIDADE 3 NOÇÕES DE PROILIDDE 3.1 Conjuntos Um conjunto pode ser considerado como uma coleção de objetos chamados elementos do conjunto. Em geral denota-se conjunto por letras maiúsculas,, C,... e a sua representação

Leia mais

MB-210 Probabilidade e Estatística

MB-210 Probabilidade e Estatística Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica MB-210 Probabilidade e Estatística Profa. Denise Beatriz Ferrari www.mec.ita.br/ denise denise@ita.br 2o. semestre/2013 Variáveis

Leia mais

Exercícios Funções Multivariadas, Exponencial e Outras

Exercícios Funções Multivariadas, Exponencial e Outras Turma 2017 Exercícios Funções Multivariadas, Exponencial e Outras Problema 1 (bivariada) Um bim de cinco transistores possui dois que são defeituosos. Os transistores são testados um a um, até que os defeituosos

Leia mais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais

EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais EST029 Cálculo de Probabilidade I Cap. 4: Variáveis Aleatórias Unidimensionais Prof. Clécio da Silva Ferreira Depto Estatística - UFJF Introdução Considere o experimento: Lançamento de uma moeda. Resultados

Leia mais

Distribuições de Probabilidade Conjuntas

Distribuições de Probabilidade Conjuntas Distribuições de Probabilidade Conjuntas 1. Duas variáveis aleatórias discretas Exemplo 1. No desenvolvimento de um novo receptor para transmissão digital de informação, cada bit é classificado como aceitável,

Leia mais

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω.

Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral: A é um evento A Ω. PROBABILIDADE 1.0 Conceitos Gerais No caso em que os possíveis resultados de um experimento aleatório podem ser listados (caso discreto), um modelo probabilístico pode ser entendido como a listagem desses

Leia mais

CAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Todas as coisas aparecem e desaparecem por causa da concorrência de causas e condições. Nada nunca existe inteiramente só, tudo está em relação com todo

Leia mais

Fundamentos de Estatística

Fundamentos de Estatística Fundamentos de Estatística Clássica Workshop Análise de Incertezas e Validação Programa de Verão 2017 Marcio Borges 1 1LABORATÓRIO NACIONAL DE COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA mrborges@lncc.br Petrópolis, 9 de Fevereiro

Leia mais

Aula 10 Variáveis aleatórias discretas

Aula 10 Variáveis aleatórias discretas AULA 0 Aula 0 Variáveis aleatórias discretas Nesta aula você aprenderá um conceito muito importante da teoria de probabilidade: o conceito de variável aleatória. Você verá que as variáveis aleatórias e

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja um

Leia mais

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal.

Estatística. Probabilidade. Conteúdo. Objetivos. Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Estatística Probabilidade Profa. Ivonete Melo de Carvalho Conteúdo Definições. Probabilidade: regras e aplicações. Distribuição Discreta e Distribuição Normal. Objetivos Utilizar a probabilidade como estimador

Leia mais

Probabilidade III. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período 2014.1

Probabilidade III. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período 2014.1 Probabilidade III Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2014.1 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade III Período 2014.1 1 / 42 Sumário 1 Apresentação

Leia mais

Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade

Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km, Tel: +5 4007, Fax: +5 400, Maputo Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de

Leia mais

Modelos discretos e contínuos

Modelos discretos e contínuos Modelos discretos e contínuos Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF Versão 3.0 1

Leia mais

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017

Lucas Santana da Cunha de junho de 2017 VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados

Leia mais

Introdução à probabilidade e estatística I

Introdução à probabilidade e estatística I Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos

Leia mais

Distribuição de Probabilidade Conjunta

Distribuição de Probabilidade Conjunta . DISTRIBUIÇÃO DE ROBABILIDADE CONJUNTA O nosso estudo de variável aleatória e de suas funções de probabilidade até agora se restringiram a espaços amostrais unidimensionais nos quais os valores observados

Leia mais

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos

Leia mais

Conteúdo Teórico: 04 Esperança

Conteúdo Teórico: 04 Esperança ACH2053 Introdução à Estatística Conteúdo Teórico: 04 Esperança Marcelo de Souza Lauretto Sistemas de Informação EACH www.each.usp.br/lauretto Referência: Morris DeGroot, Mark Schervish. Probability and

Leia mais

NOÇÕES DE PROBABILIDADE

NOÇÕES DE PROBABILIDADE NOÇÕES DE PROBABILIDADE ALEATORIEDADE Menino ou Menina me? CARA OU COROA? 3 Qual será o rendimento da Caderneta de Poupança no final deste ano? E qual será a taxa de inflação acumulada em 014? Quem será

Leia mais

3. Variáveis aleatórias

3. Variáveis aleatórias 3. Variáveis aleatórias Numa eperiência aleatória, independentemente de o seu espaço de resultados ser epresso numericamente, há interesse em considerar-se funções reais em Ω, denominadas por variáveis

Leia mais

6.3 Valor Médio de uma Variável Aleatória

6.3 Valor Médio de uma Variável Aleatória 6. 3 V A L O R M É D I O D E U M A V A R I Á V E L A L E A T Ó R I A 135 1. Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao

Leia mais

Cap. 8 - Variáveis Aleatórias

Cap. 8 - Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras ESQUEMA DO CAPÍTULO 8.1 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 8.2 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8.3 O PROCESSO DE POISSON

Leia mais

Multiplicadores de Lagrange

Multiplicadores de Lagrange Multiplicadores de Lagrange Para motivar o método, suponha que queremos maximizar uma função f (x, y) sujeito a uma restrição g(x, y) = 0. Geometricamente: queremos um ponto sobre o gráfico da curva de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade

Leia mais

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições Motivação: MOQ-2: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS VA s e Distribuições Definimos anteriormente Espaço de Probabilidades como sendo a tripla (W,, P(.)), em que, dado um eperimento, W representa

Leia mais

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio

ESTATÍSTICA. x(s) W Domínio. Contradomínio Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias são funções matemáticas que associam números reais aos resultados de um Espaço Amostral. Uma variável quantitativa geralmente agrega mais informação que uma qualitativa.

Leia mais

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto

Estatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto Estatística Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Lançam-se 3 moedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: W = {(c,c,c),(c,c,r),(c,r,c),(c,r,r),(r,c,c),(r,c,r),(r,r,c),(r,r,r)}

Leia mais

AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade

AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade 1 AULA 07 Distribuições Discretas de Probabilidade Ernesto F. L. Amaral 31 de agosto de 2010 Metodologia de Pesquisa (DCP 854B) Fonte: Triola, Mario F. 2008. Introdução à estatística. 10 ª ed. Rio de Janeiro:

Leia mais

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13

Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13 Distribuição Geométrica Considere novamente uma sequência

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidade Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades 2012/02 1 Variáveis Aleatórias Discretas 2 Distribuições de Probabilidade e Funções de Probabilidade 3 4 de uma Variável Aleatória Discreta

Leia mais

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 5 Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.

Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aula 5 Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9. Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aula 5 Ref. Butkov, caps. 8 e 9, seções 8.8 e 9.1 Vibrações de uma membrana Como mencionado na aula passada, pode-se deduzir

Leia mais

12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais.

12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. 1 LIVRO Diferen- Funções ciáveis META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de diferenciabilidade de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 7 11/2014 Variáveis Aleatórias Variáveis Aleatórias Probabilidade e Estatística 3/41 Variáveis Aleatórias Colete

Leia mais

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade

MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 26 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 5 1 Variáveis aleatórias Definição

Leia mais

Experimento Aleatório

Experimento Aleatório Probabilidades 1 Experimento Aleatório Experimento aleatório (E) é o processo pelo qual uma observação é ob;da. Exemplos: ü E 1 : Jogar uma moeda 3 vezes e observar o número de caras ob;das; ü E 2 : Lançar

Leia mais

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba

Probabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Condicionais 11/13 1 / 19 Em estudo feito em sala perguntamos aos alunos qual

Leia mais

Cálculo das Probabilidades e Estatística I

Cálculo das Probabilidades e Estatística I Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço

Leia mais

Lista de Exercícios 4

Lista de Exercícios 4 Introdução à Teoria de Probabilidade. Informática Biomédica. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 30 de maio de 2007. Lista de Exercícios 4 são difíceis, são bem mais difíceis.

Leia mais

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Daniel Queiroz VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS INTRODUÇÃO O que é uma variável aleatória? Um tipo de variável que depende do resultado aleatório de um experimento aleatório. Diz-se que um experimento é

Leia mais

Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade

Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade Conceitos Básicos, Básicos,Básicos de Probabilidade Espaço Amostral Base da Teoria de Probabilidades Experimentos são realizados resultados NÃO conhecidos previamente Experimento aleatório Exemplos: Determinar

Leia mais

Distribuições Discretas

Distribuições Discretas META: Estudar o comportamento das Variáveis Aleatórias Discretas, bem como das Distribuições Binomial e Poisson e suas aplicações. Entender o comportamento de uma Variável aleatória Contínua. OBJETIVOS:

Leia mais

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS ROTEIRO DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA. Estatística Aplicada à Engenharia ROTEIRO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS 1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis aleatórias 5. Referências Estatística Aplicada à Engenharia

Leia mais

Momentos: Esperança e Variância. Introdução

Momentos: Esperança e Variância. Introdução Momentos: Esperança e Variância. Introdução Em uma relação determinística pode-se ter a seguinte relação: " + " = 0 Assim, m =, é a declividade e a e b são parâmetros. Sabendo os valores dos parâmetros

Leia mais

Variáveis aleatórias

Variáveis aleatórias Variáveis aleatórias Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br www.ufjf.br/joaquim_neto Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF

Leia mais

Noções sobre Probabilidade

Noções sobre Probabilidade Noções sobre Probabilidade Introdução Vimos anteriormente como apresentar dados em tabelas e gráficos, e também como calcular medidas que descrevem características específicas destes dados. Mas além de

Leia mais

)XQGDPHQWRVGHSUREDELOLGDGHHHVWDWtVWLFD

)XQGDPHQWRVGHSUREDELOLGDGHHHVWDWtVWLFD )XQGDPHQWRVGHUREDELOLGDGHHHVWDWtVWLFD,QWURGXomR A história da estatística pode ser dividida em três fases. De acordo com PEANHA (00), a estatística inicialmente não mantinha nenhuma relação com a probabilidade,

Leia mais

PROVA DE ESTATÍSTICA e PROBABILIDADES SELEÇÃO - MESTRADO/UFMG /2012

PROVA DE ESTATÍSTICA e PROBABILIDADES SELEÇÃO - MESTRADO/UFMG /2012 PROVA DE ESTATÍSTICA e PROBABILIDADES SELEÇÃO - MESTRADO/UFMG - 0/0 Instruções:. Cada questão respondida corretamente vale (um) ponto.. Cada questão respondida incorretamente vale - (menos um) ponto. 3.

Leia mais

Modelos Lineares Distribuições de Probabilidades Distribuição Normal Teorema Central do Limite. Professora Ariane Ferreira

Modelos Lineares Distribuições de Probabilidades Distribuição Normal Teorema Central do Limite. Professora Ariane Ferreira Distribuições de Probabilidades Distribuição Normal Teorema Central do Limite Professora Ariane Ferreira Modelos Probabilísticos de v.a. continuas Distribuição de Probabilidades 2 IPRJ UERJ Ariane Ferreira

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas - Esperança e Variância

Variáveis Aleatórias Discretas - Esperança e Variância Exemplo Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um componente mecânico. Cada peça é composta de duas partes, A e B, cada uma com uma chance específica de ser defeituosa. Só é possível

Leia mais

Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1

Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO. UFMG-ICEx-EST Cap. 2- Probabilidade 1 Probabilidade ESQUEMA DO CAPÍTULO 2.1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2.2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIADE 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2.4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 2.5 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL

Leia mais

MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel

MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA. Professor: Rodrigo A. Scarpel MOQ-13 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Programa do curso: Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 e 16 Introdução à probabilidade (eventos,

Leia mais

Definição de Probabilidade

Definição de Probabilidade INTRODUÇÃO A TEORIA DAS PROBABILIDADES A teoria das probabilidade nada mais é do que o bom senso transformado em cálculo A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número

Leia mais

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km 1, Tel: +258 21401078, Fax: +258 21401082, Maputo Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática

Leia mais

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1 Aula 1 Sejam r 1 = P 1 + t v 1 t R} e r 2 = P 2 + t v 2 t R} duas retas no espaço. Se r 1 r 2, sabemos que r 1 e r 2 são concorrentes (isto é r 1 r 2 ) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade

Leia mais

2. Probabilidade. Aula 3

2. Probabilidade. Aula 3 Aula 3 2. Probabilidade 2-1 Espaços de amostragem e eventos 2-1.1 Experimentos randômicos 2-1.2 Espaços de amostragem 2-1.3 Eventos 2-2 Interpretações de probabilidade 2-2.1 Introdução 2-2.2 Axiomas de

Leia mais

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada

Variável Aleatória. O conjunto de valores. Tipos de variáveis. Uma função X que associa a cada Variável Aleatória Uma função X que associa a cada Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~viali/ elemento de S (s S) um número real x X(s) é denominada variável aleatória. O

Leia mais

Note que este funcional gerador agora tem sempre potências ímpares de J, de forma que as funções de n pontos serão nulas para n par:

Note que este funcional gerador agora tem sempre potências ímpares de J, de forma que as funções de n pontos serão nulas para n par: Teoria Quântica de Campos I 98 de onde fica claro que a lógica por trás do Teorema de Wick (conectar os pontos externos de todas as formas possíveis) aqui é implementada pela regra do produto da derivada.

Leia mais

Conceitos básicos de teoria da probabilidade

Conceitos básicos de teoria da probabilidade Conceitos básicos de teoria da probabilidade Experimento Aleatório: procedimento que, ao ser repetido sob as mesmas condições, pode fornecer resultados diferentes Exemplos:. Resultado no lançamento de

Leia mais

INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação INE5403 - Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação ) Fundamentos.1) Conjuntos e Sub-conjuntos.) Números Inteiros.3) Funções.4) Seqüências e Somas.5) Crescimento de Funções Seqüências Uma seqüência

Leia mais

Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada

Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada 1. OBJETIVO Experimento 7 Circuitos RC em corrente alternada O objetivo desta aula é estudar o comportamento de circuitos RC em presença de uma fonte de alimentação de corrente alternada.. 2. MATERIAL

Leia mais

σ-álgebras, geradores e independência

σ-álgebras, geradores e independência σ-álgebras, geradores e independência Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 15 de Março de 2009 Resumo Notas sobre a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e sobre as condições de independência de

Leia mais

BIOESTATISTICA. Unidade IV - Probabilidades

BIOESTATISTICA. Unidade IV - Probabilidades BIOESTATISTICA Unidade IV - Probabilidades 0 PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS COMO ESTIMATIVA DA PROBABILIDADE Noções de Probabilidade Após realizar a descrição dos eventos utilizando gráficos,

Leia mais

Motivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB. Em muitas situações precisamos

Motivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB. Em muitas situações precisamos Motivação Em muitas situações precisamos Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br lidar com duas ou mais variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Por exemplo o comprimento e a largura de uma determinada peça.

Leia mais

Modelos básicos de distribuição de probabilidade

Modelos básicos de distribuição de probabilidade Capítulo 6 Modelos básicos de distribuição de probabilidade Muitas variáveis aleatórias, discretas e contínuas, podem ser descritas por modelos de probabilidade já conhecidos. Tais modelos permitem não

Leia mais

Análise de Dados e Simulação

Análise de Dados e Simulação Universidade de São Paulo Instituto de Matemática e Estatística http:www.ime.usp.br/ mbranco Simulação de Variáveis Aleatórias Contínuas. O método da Transformada Inversa Teorema Seja U U (0,1). Para qualquer

Leia mais

Refinamentos de Equilíbrios de Nash

Refinamentos de Equilíbrios de Nash Refinamentos de Equilíbrios de Nash Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Estatística - UFPE Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 06 de Outubro de 2014 Equilíbrio

Leia mais

Probabilidade - aula II

Probabilidade - aula II 2012/02 1 Interpretações de Probabilidade 2 3 Amostras Aleatórias e Objetivos Ao final deste capítulo você deve ser capaz de: Calcular probabilidades de eventos conjuntos. Interpretar e calcular probabilidades

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o

Leia mais

Conceitos Básicos. Capítulo 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas.

Conceitos Básicos. Capítulo 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Capítulo 1 Conceitos Básicos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Exemplo 1.1 Algumas equações diferenciais envolvendo a função

Leia mais

TE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Valores Esperados de Somas de Variáveis Aleatórias Notes. PDF da Soma de Duas Variáveis Aleatórias.

TE802 Processos Estocásticos em Engenharia. Valores Esperados de Somas de Variáveis Aleatórias Notes. PDF da Soma de Duas Variáveis Aleatórias. TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Somas de Variáveis Aleatórias 25 de abril de 2016 Valores Esperados de Somas de Variáveis Aleatórias Seja W n = X 1 + + X n, E[W n ] = E[X 1 ] + E[X 2 ] + + E[X

Leia mais

CAPÍTULO 4 PROBABILIDADE PROBABILIDADE PPGEP Espaço Amostral e Eventos Espaço Amostral e Eventos UFRGS. Probabilidade.

CAPÍTULO 4 PROBABILIDADE PROBABILIDADE PPGEP Espaço Amostral e Eventos Espaço Amostral e Eventos UFRGS. Probabilidade. PROBABILIDADE CAPÍTULO 4 PROBABILIDADE UFRGS A Teoria das s estuda os fenômenos aleatórios. Fenômeno Aleatório: são os fenômenos cujo resultado não pode ser previsto exatamente. Se o fenômeno se repetir,

Leia mais

Universidade Federal de Sergipe Departamento de Matemática. Imagem* Profª. Maria Andrade. *Parte desta apresentação foi do Prof. Thales Vieira.

Universidade Federal de Sergipe Departamento de Matemática. Imagem* Profª. Maria Andrade. *Parte desta apresentação foi do Prof. Thales Vieira. Universidade Federal de Sergipe Departamento de Matemática Imagem* Profª. Maria Andrade *Parte desta apresentação foi do Prof. Thales Vieira. 2016 O que é uma imagem digital? Imagem no universo físico

Leia mais

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1

Variáveis Aleatórias Discretas 1/1 Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo

Leia mais

Sumário. 2 Índice Remissivo 12

Sumário. 2 Índice Remissivo 12 i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................

Leia mais

Modelos Probabiĺısticos Discretos

Modelos Probabiĺısticos Discretos Discretos Prof. Gilberto Rodrigues Liska UNIPAMPA 19 de Setembro de 2017 Material de Apoio e-mail: gilbertoliska@unipampa.edu.br Gilberto R. Liska ( UNIPAMPA ) Notas de Aula 19 de Setembro de 2017 1 /

Leia mais

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017

AULAS 6 e 7. ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 AULAS 6 e 7 ESPERANÇA, MOMENTOS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES de VARIÁVEIS DISCRETAS 05/05/2017 Em aulas passadas vimos as funções de probabilidade de variáveis discretas e contínuas agora vamos ver

Leia mais

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS Produto interno em espaços vetoriais Estamos interessados em formalizar os conceitos de comprimento de um vetor e ângulos entre dois vetores. Esses conceitos permitirão uma

Leia mais

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD)

1 Introdução. 2 Variáveis Aleatórias Discretas (VAD) Prof. Janete Pereira Amador 1 1 Introdução Muitas situações cotidianas podem ser usadas como experimento que dão resultados correspondentes a algum valor, e tais situações podem ser descritas por uma variável

Leia mais

Probabilidade e Modelos Probabilísticos

Probabilidade e Modelos Probabilísticos Probabilidade e Modelos Probabilísticos 1ª Parte: Conceitos básicos, variáveis aleatórias, modelos probabilísticos para variáveis aleatórias discretas, modelo binomial, modelo de Poisson 1 Probabilidade

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques 7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação:

Leia mais

1 Definição Clássica de Probabilidade

1 Definição Clássica de Probabilidade Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica

Leia mais

Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo

Da figura, sendo a reta contendo e B tangente à curva no ponto tem-se: é a distância orientada PQ do ponto P ao ponto Q; enquanto que pois o triângulo CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL AULA 09: INTEGRAL INDEFINIDA E APLICAÇÕES TÓPICO 01: INTEGRAL INDEFINIDA E FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO Como foi visto no tópico 2 da aula 4 a derivada de uma função f representa

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari

Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica. Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari Instituto Tecnológico de Aeronáutica Divisão de Engenharia Mecânica-Aeronáutica Professora: Denise Beatriz T. P. do Areal Ferrari denise@ita.br Distribuições Discretas Uniforme Bernoulli Binomial Poisson

Leia mais

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017

Prof.Letícia Garcia Polac. 26 de setembro de 2017 Bioestatística Prof.Letícia Garcia Polac Universidade Federal de Uberlândia UFU-MG 26 de setembro de 2017 Sumário 1 2 Probabilidade Condicional e Independência Introdução Neste capítulo serão abordados

Leia mais

Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular

Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular Problemas Singulares e Métodos Assimptóticos Desenvolvimento da solução de uma EDO em série de potências na vizinhança de uma singularidade regular Consideremos uma EDO linear de segunda ordem com a forma

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB

Variáveis Aleatórias. Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Variáveis Aleatórias Prof. Tarciana Liberal Departamento de Estatística - UFPB Introdução Ao descrever o espaço amostral de um experimento aleatório, não especificamos que um resultado individual seja

Leia mais

Fernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR)

Fernando de Pol Mayer. Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Fernando de Pol Mayer Laboratório de Estatística e Geoinformação (LEG) Departamento de Estatística (DEST) Universidade Federal do Paraná (UFPR) Este conteúdo está disponível por meio da Licença Creative

Leia mais

Nessa situação, a média dessa distribuição Normal (X ) é igual à média populacional, ou seja:

Nessa situação, a média dessa distribuição Normal (X ) é igual à média populacional, ou seja: Pessoal, trago a vocês a resolução da prova de Estatística do concurso para Auditor Fiscal aplicada pela FCC. Foram 10 questões de estatística! Não identifiquei possibilidade para recursos. Considero a

Leia mais

canal para sinais contínuos

canal para sinais contínuos Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para sinais contínuos 24 de setembro de 2013 Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para1 sin Conteúdo 1 Probabilidade de sinais contínuos

Leia mais

Variáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

Variáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Variáveis Aleatórias Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Exemplo No lançamento de duas moedas ao ar, os resultados possíveis são: FF, FC, CF ou CC. No entanto, o nosso interesse

Leia mais

ALGORITMO DE EUCLIDES

ALGORITMO DE EUCLIDES Sumário ALGORITMO DE EUCLIDES Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com lulismartino@gmail.com PROFMAT - Colégio Pedro II 25 de agosto de 2017 Sumário 1 Máximo Divisor Comum 2 Algoritmo

Leia mais

1 Distribuição de Bernoulli

1 Distribuição de Bernoulli Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 6 Professor: Carlos Sérgio Distribuições Teóricas de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas

Leia mais

Fabio Augusto Camargo

Fabio Augusto Camargo Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Introdução à Topologia Autor: Fabio Augusto Camargo Orientador: Prof. Dr. Márcio de Jesus Soares

Leia mais

Processos Aleatórios e Ruído

Processos Aleatórios e Ruído Processos Aleatórios e Ruído Luis Henrique Assumpção Lolis 11 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Processos Aleatórios e Ruído 1 Conteúdo 1 O Experimento Aleatório / Espaço de Amostras 2 Algebra

Leia mais