Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade

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Igor Azeredo Gama
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1 FACULDADE DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Campus de Lhanguene, Av. de Moçambique, km, Tel: , Fax: , Maputo Cursos de Licenciatura em Ensino de Matemática e de EGI Teoria de Probabilidade AULA VI: Conceito de Variável aleatória. Classificação de variáveis aleatórias. Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Função massa de probabilidade, função densidade de probabilidade, função de distribuição. Resumo Teórico Conceito de Variável Aleatória A determinação de probabilidades por via do espaço amostral, pode não ser simples, principalmente em casos em que o espaço amostral possui muitos elementos ou não é numérico. Uma possibilidade de simplificação é transformar o espaço amostral numa outra estrutura a partir da definição de uma função: A VARIÁVEL ALEATÓRIA Consideremos o lançamento de três moedas. O espaço amostral para esta experiência é Ω {( CCC, CCK, CKC, KCC, CKK, KCK, KKC, KKK}, onde C Cara e K Coroa. Suponha que o nosso objectivo consiste em observar o número de caras que as três moedas apresentam após o lançamento. Neste caso, podemos estabelecer uma correspondência entre o espaço amostral original Ω e um subconjunto dos números reais {0,,,} da seguinte forma: KKK CKK KCK KKC KCC CKC CCK CCC 0 A R Ω Nota que o que foi feito foi definir uma aplicação de, digamos X, de Ω R, sendo X aplicação Número de caras. É a esta aplicação ou função, que damos o

2 nome de Variável aleatória. Note ainda que a probabilidade de aparecimento de duas caras, digamos, P( X ) P( CCK, CKC, KCC) 0,75. Seja ( Ω, Q, P) um espaço de probabilidade. Uma variável aleatória, X, é uma função que associa cada elemento do espaço amostral, um número real, ou seja, é uma função com domínio Ω e contradomínio R. A partir da variável aleatória pode-se construir a sua correspondente função de distribuição de probabilidade, associando probabilidades para cada um dos valores por si assumidos. A distribuição de probabilidade para o caso exposto acima é apresentada a seguir: P( X 0) P( KKK) P( X ) P( CKK) + P( KCK) + P( KKC) P( X ) P( CCK) + P( CKC) + P( KCC) P( X ) P( CCC) Assim, a função de distribuição de probabilidades para a variável aleatória Número de caras no lançamento de três moedas é a seguinte: Classificação de Variáveis Aleatórias X 0 P( X x) Uma variável aleatória é discreta se sua imagem (ou conjunto de valores que ela assume) é um conjunto finito ou enumerável. Se a imagem é um conjunto não enumerável dizemos que a variável aleatória é contínua. Mais adiante veremos que uma variável aleatória também por ser mista. No caso de uma variável aleatória discreta, é costume representar a função de distribuição de probabilidade P( X x) e chamar-se de função massa de probabilidade. Quando a variável aleatória é contínua a função de distribuição de probabilidade representa-se por f ( x ) e chama-se função densidade de probabilidade. Função de distribuição (ou Função de distribuição Acumulada) A função de distribuição de uma variável aleatória X, é definida para qualquer número real b, < b < +, como F ( b) F( b) P( X b) X

3 F( b ) indica a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor ou igual a b. Pode-se mostrar que uma função FX ( x ) ( ou simplesmente F( x ) ) será função de distribuição se satisfazer as seguintes propriedades: lim F( x) 0 e lim F( x) ; x x + F( x ) é não decrescente, isto é, se a < b então F( a) F( b) ; F( x ) é contínua à direita, isto é, lim F( x) F( a), a R. + x a Outras Propriedades da função de distribuição são: 0 F( x) P( X b) F( b) F( b ) P( a < X b) F( b) F( a), a, b R e a < b. Contacto. Consideremos a experiência que consiste no lançamento de dois dados equilibrados. Suponhamos que o nosso interesse esteja no máximo número apresentado pelas duas faces, ou seja, a variável aleatória X é máximo das duas faces que os dois dados apresentam. Por exemplo, se o primeiro dado apresentar a face 4 e o segundo a face, o valor da variável aleatória será máximo (4,) 4. a) No contexto descrito acima, que valores a variável assume? b) Estabeleça a distribuição de probabilidade para a variável aleatória X.. Um homem possui 4 chaves em seu bolso. Como está escuro, ele não consegue ver qual a chave correcta para abrir a porta de sua casa. Ele testa cada uma das chaves até encontrar a correcta. a) Apresente um espaço amostral para essa experiência. b) Seja a v.a. X número de chaves experimentadas até conseguir abrir a porta (inclusive a chave correcta). Quais são os valores de X? c) Descreva a distribuição de probabilidade de X. d) Descreva a função de distribuição de X e represente graficamente.. Num exame, as questões se formulam sucessivamente, terminando este desde que o examinando não consiga responder a uma das questões. Admitindo que a probabilidade de que o examinando saiba qualquer questão é igual a 0,9, descreva a lei de distribuição de probabilidade da variável aleatória X número de questões formuladas durante o exame. 4. A procura diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, e uma v.a. com a seguinte função densidade de probabilidade:

4 5. Seja x se 0 x < x f ( x) + se x < 0 outros valores de x a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 50kg num dia escolhido ao acaso? b) Em um dia escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de se vender entre 90 kg e 0 kg? c) Determine F( x ) e use a para resolver a alínea b). 0 ( x < 0) x (0 x < ) F( x) (x 6x + ) ( x < ) x a) Prove que F é função de distribuição de uma variável aleatória X. b) Determine a função densidade correspondente. c) Calcule P( X < ). d) Encontre o valor de k, tal que P( X k) 4

5 Estudo. Uma série de experiências e variáveis aleatórias associadas são listados a seguir. Em cada caso, identifique os valores que a variável aleatória pode assumir e estabeleça se a variável aleatória é discreta ou contínua. Experimento Fazer um exame com 0 questões Observar carros que chegam a um posto de abastecimento no espaço de hora Auditar 50 declarações de imposto Observar o trabalho de um operário Pesar um carregamento de produtos Variável aleatória Número de questões respondidas correctamente Número de carros que chegam ao posto de abastecimento. Número de declarações que contêm erros Número de horas não produtivas em um dia de trabalho de oito horas Número de quilos. Uma empresa de fiscalização de obras de uma ponte ferroviária tem 7 fiscais dos quais são do sexo feminino. Para visitar as obras de uma ponte ferroviária, foram seleccionados fiscais ao acaso. Seja Y o número de mulheres seleccionadas. a) Estabeleça a distribuição de probabilidade para Y. (reflicta em primeiro lugar que valores a variável aleatória assume e em seguida as probabilidades correspondentes a cada valor). b) Indique a função de distribuição de Y.. Considere o lançamento de uma moeda equilibrada. Seja X a variável aleatória número de lançamentos até aparecer cara. a) Construa uma tabela mostrando a distribuição de probabilidade de X. b) Calcule a probabilidade de não serem necessários mais de 4 lançamentos para aparecer a face cara. 4. Um jovem casal deseja ter exactamente duas raparigas na família. Considere que a probabilidade de ser rapaz ou rapariga é igual e que o casal terá filhos até realizar o desejo. a) Qual a função de probabilidade do número de filhos na família? b) Qual a probabilidade de ter quatro crianças? c) Qual a probabilidade de ter no máximo quatro crianças? 5. Determine o valor de c para que as funções seguintes representem funções de massa e de densidade de probabilidade respectivamente. a) f ( x) c( x + 4) ; x 0,,, b) f ( x) c( + x) para 0 < X < 5

6 6. Admita que, para cada disciplina que tem aulas de duas horas, o tempo de não permanência de um aluno numa aula é uma variável aleatória com função dada por x f ( x) (0 < x < ) a) Mostre que f ( x ) é uma função densidade de probabilidade. b) Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, não permanecer em mais de meia hora na aula? c) Qual a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, assistir mais de 75% da aula? d) Determine e apresente graficamente a função de distribuição da variável aleatória X. 7. Considere a v.a. discreta X com a seguinte função de distribuição: 0, x < 0, 0 x < 6 F( x), x < 4 4, 4 x < 6, x 6 a) Determine a função de probabilidade. b) Calcule: i) P( X ) ii) P( X < 6) iii) P(0 < X ) iv) P( X > 5) Desafio A probabilidade de um atirador acertar no alvo é de 0,6. Considere a variável aleatória X número de tiros que se tem de efectuar até acertar pela ª vez. i) Estabeleça a distribuição da variável aleatória X ii) Calcule a probabilidade de: a) Serem necessários apenas tiros para acertar vezes. b) Serem necessários 0 tiros. FIM 6

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