Probabilidade e Estatística

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1 Plano de Curso Probabilidade e Estatística UAEst/CCT/UFCG Ementa Fenômeno aleatório versus fenômeno determinístico. Espaço amostral e eventos. Introdução à teoria das probabilidades. Abordagem axiomática da teoria das probabilidades. Variáveis aleatórias unidimensionais e multidimensionais. Função de distribuição e função densidade. Probabilidade condicional e independência. Caracterização de variáveis aleatórias. Função característica. Funções de variáveis aleatórias. Modelos probabiĺısticos e aplicações. Objetivo Motivar o aluno para o estudo dos conceitos básicos de probabilidade como uma ferramenta utilizada no tratamento de fenômenos não determinísticos. 1 / 19 2 / 19 Conteúdo Programático Unidade 1 - Probabilidade: Experimento aleatório. Espaço amostral e eventos aleatórios. Definição axiomática de probabilidade e propriedades. Propriedades de probabilidade. Probabilidade condicional. O Teorema de Bayes. Independência entre eventos aleatórios. Unidade 2- Variáveis Aleatórias: Distribuição de probabilidade de uma variável aleatória. Função distribuição. Variáveis aleatórias discretas e contínuas. Função densidade de probabilidade. Valor esperado de uma variável aleatória. Variância de uma variável aleatória. Propriedades do valor esperado e da variância. Unidade 3- Modelos Probabiĺısticos para Variáveis Aleatórias Discretas: Distribuição binomial. Distribuição hipergeométrica. Distribuição Poisson. Conteúdo Programático Unidade 4 - Modelos Probabiĺısticos para Variáveis Aleatórias Contínuas: Distribuição exponencial. Distribuição gama e qui-quadrado. Distribuição normal. Aplicações. Unidade 5-Variáveis Aleatórias Multidimensionais: Vetores aleatórios. Distribuição conjunta e distribuição marginal. Vetores aleatórios Gaussianos. Variáveis aleatórias independentes. Aplicações. Unidade 6- Função Característica: Introdução. Eventos equivalentes. Função de uma variável aleatória. Função característica. Propriedades da função característica. Unidade 7- Sequências de Variáveis: Introdução. O teorema limite central. Aplicações. 3 / 19 4 / 19

2 5 / 19 6 / 19 Bibliografia Complementar: 1 DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um Curso Introdutório. São Paulo: Edusp, FELLER, W. Introdução à Teoria das Probabilidades e suas Aplicações Parte 1. São Paulo: Edgard Blücher, GNEDENKO, B. V. A Teoria da Probabilidade. Coleção Clássicos da Matemática. Tradução da série de textos clássicos da AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY. Ed. Ciência Moderna, HOEL, P. G., PORT, S. C. e STONE, C. J. Introdução à Teoria da Probabilidade. 2. ed. Rio de Janeiro: Interciência, MAGALHÃES, M. N. e LINA, A. C. P. Noções de Probabilidade e Estatística. 5a Ed. São Paulo: IME/USP, ROSS, S.M. Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists. New York: John Wiley & Sons, / 19 8 / 19

3 Conceitos Básicos Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios ou Fenômenos aleatórios são aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a influências de fatores casuais e conduz a resultados incertos. 4. Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. 5. Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. 6. Uma moeda é lançada sucessivamente até o aparecimento da primeira cara. Embora o resultado do experimento não seja conhecido antecipadamente, vamos supor que o conjunto de todos os resultados possíveis seja conhecido. Esse conjunto é conhecido como o espaço amostral, e é, em geral, representado pela letra S. Segue alguns exemplos de experimentos aleatórios. Para cada um deles escreveremos seus respectivos espaços amostrais: 1. Lançar uma moeda e observar a face superior. 2. Lançar um dado e observar o número da face superior. 3. Ao fabricar uma lâmpada, observar o tempo de vida útil da mesma. 9 / / 19 Suposições Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes sob as mesmas condições; Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, poderá surgir uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatística, é o que torna possível construir um modelo matemático preciso com o qual se analisará o experimento. Eventos Dado um espaço amostral S associado a um experimento ɛ, definimos como evento, qualquer subconjunto desse espaço amostral, ou seja, é qualquer coleção de resultados do experimento ɛ. Exemplo: 1. Considere o seguinte experimento: Lança-se um dado duas vezes e observa-se as faces superiores. Neste experimento, suponha que estamos interessados no evento A em que a soma dos resultados das faces resulta em um número maior ou igual a 10. Assim, o evento é representado por A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. 11 / / 19

4 Observações Para quaisquer dois eventos E e F de um espaço amostral S, definimos o novo evento E F como sendo formado por todos os resultados que pertencem a E ou a F ou a E e F simultaneamente; De forma similar, para quaisquer dois eventos E e F, também podemos definir o novo evento E F, como sendo formado por todos os resultados que estão tanto em E como em F, simultaneamente; Se E F = φ, então dizemos que os eventos são mutuamente exclusivos; Para qualquer evento E, definimos o novo evento E c, chamado de complemento de E, como o evento formado por todos os resultados do espaço amostral que não estão contidos em E; Observações Para quaisquer dois eventos E e F, se todos os resultados em E também estiverem em F, dizemos que E F (ou, de forma equivalente, F E); Se E F e F E, então dizemos que E e F são iguais, e escrevemos E = F ; Leis de De Morgan: ( n ) c E i = ( n ) c E i = n Ei c, n Ei c. 13 / / 19 Exemplos: 1. Sendo A um evento pertencente a um espaço amostral S escreva S como uma união disjunta de eventos. 2. Sendo A e B dois eventos pertencentes a um espaço amostral S escreva A B como união disjunta de eventos em função de A e de B. 3. O mesmo que se pede no item anterior para A B C onde C também é um evento de S. Exemplos: 4. Sejam A, B e C três eventos, associados ao mesmo espaço amostral. Expresse as sentenças a seguir em termos de operações entre eventos: a) A, B e C ocorrem simultaneamente; b) Pelo menos um dos eventos ocorre; c) Nenhum dos eventos ocorre; d) Apenas A ocorre; e) Apenas B ocorre; f) Apenas C ocorre; g) Exatamente um dos eventos ocorre; h) Exatamente dois dos eventos ocorrem; i) No máximo um dos eventos ocorre; j) No máximo dois dos eventos ocorrem; 15 / / 19

5 Hora da chamada... Augusto Cury A grandeza de um homem não está no quanto ele sabe, mas no quanto ele tem consciência que não sabe. Exercícios Sugeridos 1.1 a 1.11 (Livro Texto) 17 / / 19 Bibliografia Probabilidade, Aplicações à Estatística (2 a edição). (1995). LTC. Paul L. Meyer 19 / 19

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