Aula 06. Introdução ao Cálculo de Probabilidades. Stela Adami Vayego - DEST/UFPR 1

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1 ula 06 Introdução ao Cálculo de robabilidades Stela dami Vayego - DEST/UR 1

2 Experimentos ou enômenos leatórios São experimentos que, quando repetidos em condições similares, fornecem resultados diferentes. Não podemos saber o resultado a priori. Stela dami Vayego - DEST/UR 2

3 Modelos robabilísticos Distribuições de robabilidades ssim é possível, com algumas suposições adequadas hipóteses ou conjecturas e sem a necessidade de se observar diretamente o fenômeno, estabelecer distribuições de probabilidades que representam muito bem as distribuições de freqüências, que só podem ser construídas após observar o fenômeno. s probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado fenômeno aleatório. Stela dami Vayego - DEST/UR 3

4 Espaço mostral Ω O conjunto de todos os possíveis resultados do experimento é chamado de espaço amostral e é denotado pela letra grega Ω. Um espaço amostral é dito discreto quando ele for finito ou infinito enumerável; é dito contínuo quando for infinito, formado por intervalos de números reais. Stela dami Vayego - DEST/UR 4

5 Exemplos: 1 Num certo bairro, indagar a uma família se ela costuma utilizar-se de algum programa de alimentação popular. Ω {sim, não} 2 Num certo bairro, selecionar uma amostra de 3 famílias e verificar quantas utilizaram algum programa de alimentação popular nos últimos dois meses. Ω {SSS, SSN, SNS, NSS, SNN, NSN, NNS, NNN} 3 Numa escola de ensino fundamental, selecionar uma criança e medir a sua altura. Ω {x, tal que x R e 0 x 2,00 m }. Stela dami Vayego - DEST/UR 5

6 Eventos leatórios Chamamos de evento a qualquer subconjunto do espaço amostral: é um evento Ω Stela dami Vayego - DEST/UR 6

7 Operações entre Eventos a União: b intersecção: c complementar: c Ω Ω Ω Stela dami Vayego - DEST/UR 7

8 Operação Conjunto Evento a União b Intersecção c Complementar c reúne os elementos de ambos os conjuntos formado somente pelos elementos que estão em e formado pelos elementos que não estão em ocorre quando ocorrer pelo menos um deles, ou ambos ocorre quando ocorrer ambos os eventos e ocorre quando não ocorrer o evento não Stela dami Vayego - DEST/UR 8

9 Eventos Mutuamente Exclusivos Disjuntos Eventos são ditos mutuamente exclusivos se e só se eles não puderem ocorrer simultaneamente. e são mutuamente exclusivos Ω Stela dami Vayego - DEST/UR 9

10 Exemplo: Suponha que uma amostra de 200 alunos de uma universidade apresentou as seguintes informações em termos de o aluno possuir cartão de crédito bancário e/ou cartão de crédito de viagem e entretenimento: Cartão de crédito bancário Cartão de crédito de viagem e entretenimento Sim Não Total Sim Não Total a Dê exemplo de um evento simples. b Dê exemplo de um evento combinado. c Qual é o complemento de se ter um cartão de crédito bancário? d or que possuir um cartão de crédito bancário e possuir um cartão de crédito de viagem e entretenimento é um evento combinado? Stela dami Vayego - DEST/UR 10

11 robabilidade de Eventos Enfoque Clássico n n Ω Enfoque Estatístico xiomas lim n m n Stela dami Vayego - DEST/UR 11

12 lgumas ropriedades 0 Ω 1 robabilidade do evento complementar c 1 Ω c Stela dami Vayego - DEST/UR 12

13 Stela dami Vayego - DEST/UR 13 Regra da soma das probabilidades + Ω Se e mutuamente exclusivos, então: +

14 Exemplo: Nos dados do exemplo anterior, se um aluno for selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de que: a O aluno possua um cartão de crédito bancário? b O aluno não possua um cartão de crédito bancário? c O aluno possua um cartão de viagem e entretenimento? d O aluno não possua um cartão de viagem e entretenimento? e O aluno possua um cartão de crédito bancário e um cartão de viagem e entretenimento? f O aluno possua um cartão de crédito bancário ou um cartão de viagem e entretenimento? g O aluno não possua um cartão de crédito bancário ou possua um cartão de viagem e entretenimento? h O aluno não possua um cartão de crédito bancário e possua um cartão de viagem e entretenimento? Stela dami Vayego - DEST/UR 14

15 Exemplo: Nos dados do exemplo 4, qual a probabilidade de um estudante ter cartão bancário sabendo que ele tem cartão de viagem? Cartão de crédito bancário Cartão de crédito de viagem e entretenimento Sim Não Total Sim Não Total Stela dami Vayego - DEST/UR 15

16 robabilidade Condicional Sejam e eventos quaisquer, sendo > 0. Definimos a probabilidade condicional de dado por Stela dami Vayego - DEST/UR 16

17 Stela dami Vayego - DEST/UR Regra do produto Teorema da Multiplicação ou

18 Eventos independentes Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros. Nesse caso: e e são independentes. Stela dami Vayego - DEST/UR

19 Exemplo: Um cientista quer saber se existe dependência entre a cegueira para cores evento C e a surdez nos homens evento S. ara tanto ele observou um grande número de homens e obteve as seguintes probabilidades: Cegueira Sim S Surdez Não NS Total Sim C 0,0004 0,0796 0,0800 Não NC 0,0046 0,9154 0,9200 Total 0,0050 0,9950 1,0000 Qual a probabilidade de surdez sabendo que o homem selecionado é cego? Stela dami Vayego - DEST/UR 19

20 Teorema da probabilidade total Exemplo : ara selecionar os funcionários, uma empresa oferece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana. No final do curso, eles são submetidos a uma prova e 25% são classificados como bons, 50% como médios M e os restantes 25% como fracos. ara facilitar a seleção, a empresa pretende substituir o treinamento por um teste contendo questões referentes a conhecimentos gerais e específicos. 80% dos classificados. ara isso, gostaria de conhecer a probabilidade de um indivíduo ser aprovado no teste. Stela dami Vayego - DEST/UR

21 Stela dami Vayego - DEST/UR Teorema da probabilidade total E 2 E 1 E 3 E 7 E 4 E 5 E 6 E 5 E 7 E3 E k E E E... ]... [ k k E E E E E E k i i E i E 1