Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13

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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 1 / 13

2 Distribuição Geométrica Considere novamente uma sequência de ensaios de Bernoulli independentes. Suponha agora que o experimento é repetido até que ocorra sucesso pela primeira vez. A variável aleatória X é definida agora como o número de repetições necessárias para se obter o primeiro sucesso. IMPORTANTE: No modelo Binomial o número de repetições é predeterminado (fixo), ao passo que no modelo Geométrico o número de repetições é uma variável aleatória. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 2 / 13

3 Distribuição Geométrica EXEMPLO 1: Um dado é lançado e sua face observada. Seja X o número de lançamentos até que saia a face 6. Obtenha a distribuição de probabilidade de Y. Nestas condições, a variável X segue distribuição geométrica com parâmetro p e tem função de probabilidade dada por: p(x) = P(X = x) (1 p) x 1, x = 1,2,... NOTAÇÃO: X Geo(p) O modelo geométrico pode ser interpretado também como o numero de fracassos anteriores ao primeiro sucesso. Nesse caso, temos que p(x) = P(X = x) (1 p) x, x = 0,1,2,... Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 3 / 13

4 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. E(X) = xp(1 p) x 1 x(1 p) x 1 xq x 1 d dq qx Como a série (1 p)x = qx converge, pois 1 p < 1, logo podemos permutar a ordem do somatório com a derivação. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 4 / 13

5 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. E(X) d dq q x d dq [q + q2 + q 3 + ] (temos uma P.G. infinita) d q dq 1 q (1 q)1 q( 1) (1 q) 2 1 (1 q) 2 1 p 2 = 1 p Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 5 / 13

6 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. E(X 2 ) = x 2 p(1 p) x 1 x 2 (1 p) x 1 x 2 q x 1 d dq xqx d xq x (usando 4.) dq d q dq (1 q) 2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 6 / 13

7 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. (1 q) E(X 2 ) = 2 1 q2(1 q)( 1) p (1 q) 4 1 2q + q2 + 2q 2q = 2 p (1 q) 4 1 q 2 (1 q) 4 1 (1 p) 2 (1 (1 p)) 4 1 (1 2p + p2 ) (1 1 + p) 4 2p p 2 p 4 p(2 p) p 4 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 7 / 13

8 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. E(X 2 ) = (2 p) p 2 Var(X) = = = (2 p) 1 p 2 p 2 (2 p 1) p 2 (1 p) p 2 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 8 / 13

9 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. M X (t) = e tx p(1 p) x 1 = tx (1 p)x p e (1 p) = p [e t (1 p)] x (1 p) (usando 3.) = p e t (1 p) (1 p) 1 e t (1 p) e t 1 e t (1 p) Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 9 / 13

10 Distribuição Geométrica EXEMPLO 2: A probabilidade de que haja alguma falha no lançamento de uma nave espacial é 10%. Qual é a probabilidade de que para lançar a nave seja necessário: a) 2 tentativas? b) no máximo 3 tentativas? c) Calcule o número esperado de tentativas de lançamento da nave espacial. Calcule também a variância e o desvio padrão do número de tentativas de lançamento. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 10 / 13

11 Distribuições Discretas EXEMPLO 3: Em determinada localidade, a probabilidade de ocorrência de chuva forte em algum dia nos meses de dezembro e janeiro é igual a 0.1. Admitindo independência de um dia para o outro, qual a probabilidade da ocorrência da primeira chuva no dia 3 de janeiro? EXEMPLO 4: A probabilidade de que uma droga apresente reação positiva é 0.4. Qual a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 11 / 13

12 Distribuição Geométrica PROPRIEDADE IMPORTANTE: Falta de Memória da Geométrica Seja X Geo(p), então, para quaisquer números inteiros positivos m e n, temos que P(X m + n X m) = P(X n). Essa propriedade é conhecida como falta de memória e indica a maneira com a variável incorpora a informação anterior. Ou seja, a variável "lembra" do presente mas "esqueceu" o que ocorreu no passado. Por exemplo, se X for a espera em dias para a ocorrência de um certo evento a probabilidade condicional de espera de pelo menos m + n dias, sabendo que o evento não ocorreu antes de m dias é a mesma de esperar pelo menos n dias. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 12 / 13

13 Distribuição Geométrica Verificação da Propriedade: EXEMPLO 5: Seja X o número de jogadas de um dado honesto até que se observe um 6. Suponha que o dado tenha sido jogado 5 vezes sem sair um 6. Qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de duas jogadas adicionais? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 13 / 13

14 Distribuição Geométrica EXEMPLO 6: André deve a Renata R$130,00. Cada viagem de Renata à casa de André custa R$50,00 e a probabilidade de André ser encontrado em casa é 1/3. Se Renata encontrar André, conseguirá cobrar a dívida. a) Qual a probabilidade de Renata ter de ir mais de 3 vezes à casa de André para conseguir cobrar a dívida? b) Se na segunda vez em que Renata foi à casa de André ainda não o encontrou, qual a probabilidade de conseguir cobrar na 3a vez? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 14 / 13

15 Distribuição Geométrica EXEMPLO 7: Uma moeda equilibrada é lançada sucessivamente, de modo independente, até que ocorra a primeira cara. Seja X a variável aleatória que conta o número de lançamentos até à ocorrência de cara. Determine: a) A probabilidade de serem necessários no máximo 3 lançamentos. b) A probabilidade da moeda ser lançada pelo menos 2 vezes. c) Quantas vezes deve, no mínimo, ser lançada a moeda para garantir a ocorrência de cara com pelo menos 0.8 de probabilidade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 15 / 13

16 Distribuição Geométrica EXEMPLO 8: Verifique que a atribuição de probabilidade no modelo Geométrico satisfaz às propriedades de função de probabilidade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuição Geométrica 08/14 16 / 13