Modelos Probabilisticos Discretos

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Denílson Gusmão Maranhão
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1 Modelos Probabilisticos Discretos Ricardo Ehlers Departamento de Matemática Aplicada e Estatística Universidade de São Paulo 1 / 30

2 A distribuição Uniforme Discreta Suponha um experimento com um número finito de possíveis resultados, todos com a mesma probabilidade de ocorrer. Defina uma v.a. X cujos possíveis valores {x 1,..., x k } estão associados aos resultados deste experimento. Então, P(X = x i ) = 1, i = 1,..., k. k Var(X ) = 1 k E(X ) = 1 k k i=1 x i [ k k ] [x i E(X )] 2 = 1 xi 2 ke(x ) 2 k i=1 i=1 2 / 30

3 A distribuição de Bernoulli Estamos interessados na ocorrência de um sucesso ou falha com P(sucesso) = p e P(fracasso) = 1 p Define-se a variável aleatória, { 1, se ocorre sucesso X = 0, se ocorre fracasso A função de probabilidade fica, { p P(X = x) = x (1 p) 1 x se x {0, 1} 0 caso contrário. 3 / 30

4 Dizemos que X tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p, X Bernoulli(p), 0 < p < 1. E(X ) = 1 P(X = 1) + 0 P(X = 0) = p E(X 2 ) = 1 P(X = 1) + 0 P(X = 0) = p Var(X ) = E(X 2 ) E 2 (X ) = p p 2 = p(1 p). 4 / 30

5 A distribuição Binomial Sejam n ensaios de Bernoulli independentes, com n fixo e P(sucesso) = p. Seja X o número total de sucessos obtidos, independente da ordem em que eles ocorrem. A variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p, X Binomial(n, p), 0 < p < 1. 5 / 30

6 Função de probabilidade, P(X = k) = ( ) n p k (1 p) n k k = n! k!(n k)! pk (1 p) n k, k = 0, 1,..., n E(X ) = n ( ) n k p k (1 p) n k = np k k=0 Var(X ) = np(1 p) ϕ X (t) = (p e t + 1 p) n 6 / 30

7 Representação Alternativa Sejam X 1,..., X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que X i Bernoulli(p), i = 1,..., n. Então, X = n X i Binomial(n, p). i=1 7 / 30

8 0.4 p = p = p = p = / 30

9 p = 0.2 p = p = 0.7 p = / 30

10 p = 0.2 p = p = 0.7 p = / 30

11 Exemplo. Em uma linha de montagem estima-se que a proporção de itens defeituosos é aproximadamente 0.1. Assume-se que esta proporção é (aproximadamente) constante ao longo do processo. 20 itens são selecionados de forma independente. Calcular P(no máximo 2 itens defeituosos), o número médio de defeituosos e sua variância. 11 / 30

12 Definindo a variável aleatória X como o número de itens defeituosos a P(no máximo 2 itens defeituosos) é dada por, P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) ( ) ( ) ( ) = = = E(X ) = np = 2 Var(X ) = np(1 p) = / 30

13 Experimentos não binomiais Lançar um dado até que apareça o número 6. (Número de repetições não é fixo). Testar itens em um lote até encontrar 5 defeituosos. De um conjunto de 20 prontuários de pacientes dos quais 5 sofreram infarto sortear 3 sem reposição e contar quantos sofreram infarto. De um lote de itens manufaturados retirar 15 itens sem reposição e verificar quantos são defeituosos e não defeituosos. (Ensaios não são independentes). Calcular a probabilidade de ganhar na Mega-Sena (apostador escolhe 7 dezenas dentre 60). 13 / 30

14 Distribuição Hipergeométrica Considere um experimento que resulta em ensaios de Bernoulli dependentes. Uma forma de induzir dependência consiste em amostrar sem reposição de uma população finita. Suponha que temos uma amostra e uma população tais que, População: tem M elementos do tipo I, N M do tipo II. Amostra: tem k elementos do tipo I, n k do tipo II. Suponha que itens são sorteados sem reposição. Seja a v.a. X o número de elementos do tipo I na amostra. 14 / 30

15 Dizemos que X tem distribuição hipergeométrica com função de probabilidade, ( )( ) M N M k n k P(X = k) = ( ), N n k = max(0, n (N M)),..., min(m, n). E(X ) = n M N = np Var(X ) = n M N N M N ( 1 n 1 ) ( = np(1 p) 1 n 1 ). N 1 N 1 15 / 30

16 Se n = 1 então k = 0 ou k = 1, ( )( ) M N M P(X = 1) = 1 0 ( ) N = M N, X Bernoulli(M/N). 1 Se os itens forem sorteados com reposição, ( X Binomial n, M ). N 16 / 30

17 Exemplo. Um fabricante garante que produz 10% de itens defeituosos. De um lote com 100 itens serão selecionados 5 ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de nenhum ser defeituoso? População: N = 100, M=10 (itens defeituosos) Amostra: n = 5, k = 0 X : número de defeituosos na amostra. ( )( ) P(X = 0) = 0 5 ( ) 0, E(X ) = = 0.5 ( Var(X ) = ) 0, / 30

18 / 30

19 Distribuição Geométrica Suponha que ensaios de Bernoulli são realizados de forma independente e com a mesma probabilidade de sucesso (p). Seja X o número de ensaios necessários antes de ocorrer primeiro sucesso. Por exemplo, Número de inspeções necessárias antes de encontrar-se um item defeituoso em um lote. Número de nascimentos antes de nascer um menino. 19 / 30

20 Dizemos que X tem distribuição Geométrica com parâmetro p, com função de probabilidade, X Geometrica(p), 0 < p < 1, P(X = k) = (1 p) k p, k = 0, 1, 2,.... E(X ) = 1 p p Var(X ) = 1 p p / 30

21 Exemplo. Um motorista vê uma vaga de estacionamento em uma rua. Há 5 carros na frente dele, e cada um deles tem probabilidade 0.2 de tomar a vaga. Qual a probabilidade da vaga ser tomada pelo carro que está imediatamente a frente dele? Seja a v.a. X o número de carros que passam pela vaga antes que ela seja tomada (sucesso). Cada motorista toma a vaga ou não de forma independente. Então, P(X = 4) = (0.8) = E(X ) = 0.8/0.2 = 4 Var(X ) = 0.8/0.04 = / 30

22 p = 0.2 p = p = 0.7 p = / 30

23 Falta de memória Se X é uma variável aleatória com distribuição Geométrica, P(X j + k X j) = P(X k). Definição alternativa. Seja Y o número de ensaios até ocorrer o primeiro sucesso. Então Y = X + 1, P(Y = j) = (1 p) j 1 p, j = 1, 2, / 30

24 Distribuição Binomial Negativa Seja X o número de ensaios de Bernoulli independentes antes de ocorrerem r sucessos. X tem distribuição de binomial negativa com parâmetros r e p, denotando-se X BN(r, p). Sua função de probabilidade é dada por, ( ) r + x 1 p(x r, p) = p r (1 p) x, x = 0, 1,... x para r 1 e 0 < p < 1. E(X ) = V (X ) = r(1 p) p r(1 p) p 2. Quando r = 1, X Geometrica(p). 24 / 30

25 A distribuição de Poisson Usada para modelar o número de ocorrências de um certo fenômeno, durante um intervalo fixo de tempo ou região fixa do espaço. Exemplos, o número de chamadas recebidas por uma central telefônica por hora, o número de defeitos por unidade de comprimento de uma fita magnética, o número de nmetóides encontrados por unidade de superfície de solo, o número diário de novos casos de câncer de mama, etc. 25 / 30

26 Seja a variável aleatória X o número de ocorrências por intervalo fixo (de tempo ou espaço). Dizemos que X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ, com função de probabilidade, X Poisson(λ), λ > 0, P(X = k) = λk e λ, λ > 0, k = 0, 1,.... k! 26 / 30

27 lembrando que E(X ) = Var(X ) = k=0 k λk e λ k! = λ (k E(X )) 2 λk e λ k! k=0 e x = k=0 x k k! = λ 27 / 30

28 λ = λ = λ = λ = / 30

29 Exemplo. Um vendendor de seguros vende em média 3 apolices por semana. Calcule a probabilidade dele vender 2 ou mais apolices numa dada semana. Definindo a variável aleatória X o número de apolices vendidas por semana e assumindo que X Poisson(λ) segue que λ = 3 e, P(X 2) = 1 P(X < 2) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1)] = 1 30 e 3 31 e ! 1! 29 / 30

30 Considerando 5 dias úteis na semana, calcule a probabilidade dele vender 1 apólice num dado dia. O número médio de apolices vendidas por dia é 3/5=0.6. Definindo a variável aleatória Y o número de apolices vendidas por dia, e assumindo que Y Poisson(θ) então θ = 0.6 e, P(Y = 1) = 0.61 e 0.6 1! / 30

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