Distribuições amostrais
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1 Distribuições amostrais Tatiene Correia de Souza / UFPB tatiene@de.ufpb.br October 14, 2014 Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
2 Distribuição Amostral Objetivo Estender a noção de uma distribuição amostral a situações em que amostramos de uma distribuição normal. Considere X 1,, X n uma amostra aleatória de uma distribuição normal com média µ e desvio padrão σ. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
3 Exemplo Suponha que estamos interessados em estimar quantas horas adicionais de sono são garantidas a um indivíduo após ingerir uma determinada droga. Além disso, suponha que a droga é testada em 20 indivíduos de modo que a média amostral X = 0, 8 horas. Porém, se o estudo for repetido com outros 20 participantes podemos ter outros resultados para a média amostral. Por exemplo, podemos ter X = 1, 3. E, repetindo o estudo novamente, poderíamos ter X = 0, 2. Em termos estatísticos, haverá variação entre as médias amostrais. Este problema poderia ser resolvido se repetíssemos o estudo muitas vezes, porém isto é inviável. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
4 Resultado importante Quando as observações são amostradas aleatoriamente de uma distribuição normal, a média amostral também tem uma distribuição normal. Isto é, quando n observações são amostradas aleatoriamente de uma distribuição normal com média µ e variância σ 2, a média amostral tem distribuição normal com média µ e variância σ 2 /n. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
5 Para amostras casuais simples X 1,..., X n retiradas de uma população com média µ e variância σ 2, a distribuição amostral da média X se aproxima de uma distribuição normal com média µ e variância σ 2 /n, quando n tende a infinito. Desta forma: E(X) = µ e Var(X) = σ 2 /n. Se X N(µ, σ 2 ) X N(µ, σ 2 /n). Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
6 Exemplo 1 Seja X N (100, 100). Seja X a média de uma amostra de 16 elementos retirados desta população, calcule: a) P(90 < X < 110). b) Qual deveria ser o tamanho da amostra de modo a garantir que P(90 < X < 110) = 0.95? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
7 Amostra aleatória simples Todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras de mesmo tamanho têm igual probabilidade de serem sorteadas. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
8 Teorema Central do Limite É um resultado estatístico fundamental em aplicações práticas, pois este teorema garante que mesmo que os dados não sejam distribuídos conforme uma distribuição normal, a média dos dados converge para a distribuição normal conforme o número de dados aumenta. Para amostras grandes, a distribuição amostral da média pode ser aproximada pela distribuição normal. Ou seja, considere uma amostra aleatória simples de tamanho n retirada de uma população com média µ e variância σ 2 (note que o modelo da variável aleatória não é apresentado). Representando tal amostra por n variáveis aleatórias independentes X 1,, X n, e denotando sua média por X, temos pelo teorema central do limite, que quando n for grande, a variável Z dada por X µ σ/ n tem distribuição aproximadamente normal com média 0 e variância 1 (N(0,1)) Ṣouza () Distribuições amostrais October 14, / 23
9 Distribuição binomial Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definida por meio das seguintes condições: Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F). Os ensaios são independentes. A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por 1 p. Para um experimento que consiste na realização de n ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostral é dados por sucessos (S) ou fracassos (F). Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
10 A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos k primeiros ensaios e falhas nos n k ensaios seguintes é p k (1 p) n k. Seja X o número de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, em que p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de probabilidade for dada por P[X = k] = ( n k Usaremos a notação X B(n, p). ) p k (1 p) n k. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
11 Exemplo 2 Se a probabilidade de um estabelecimento possuir trator é 0,4; e se pesquisarmos 5 estabelecimentos, qual a probabilidade de: a) Exatamente dois possuírem trator? b) No máximo dois possuírem trator? c) No mínimo três possuírem trator? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
12 Exemplo 3 Os camarões macho da espécie A, para serem considerados adultos, devem apresentar um comprimento total maior ou igual a 22 mm. Suponha que numa população de camarões machos adultos a média dos comprimentos seja igual a µ = 27, 3 e desvio padrão σ = 7, 8. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de que numa amostra de n = 35 camarões, obtenhamos uma média de X < 22. b) Qual deve ser o valor para média do comprimento total, µ, a fim de que a P(X 22) = 0.05? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
13 Distribuição amostral da proporção A noção de uma distribuição amostral é talvez mais fácil de explicar e ilustrar quando trabalhamos com a distribuição binomial. Para exemplificar, suponha que queremos determinar a proporção de adultos com idade superior aos 40 que sofrem de artrite. Logo, podemos definir uma variável aleatória X da seguinte maneira X = 1, se o indivíduo é portador de artrite X = 0, se o indivíduo não é portador de artrite logo, temos que X é uma variável discreta, com distribuição de Bernoulli tal que µ = E(X) = p, σ 2 = Var(X) = p(1 p). Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
14 Retirada uma amostra aleatória X 1, X 2,..., X n sem reposição de tamanho n dessa população, e indicando por Y n o total de indivíduos portadores de artrite nessa amostra, sabemos que Y n Binomial(n, p) ou seja, P(Y n = k) = ( n k ) p k (1 p) n k. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
15 Vamos definir por ˆp a proporção de indivíduos portadores de artrite, ou seja, ˆp = Y n n. A distribuição amostral de ˆp é obtida da distribuição de Y n. Observamos que Y n = X 1 + X X n, em que cada X i tem distribuição de Bernoulli com média µ = p e variância σ 2 = p(1 p) com p desconhecido. Desta forma, podemos escrever que Y n = n X i = n i=1 n i=1 X i n = nx Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
16 Pelo Teorema Central do Limite, X terá distribuição aproximadamente normal, com média p e variância p(1 p)/n, ou seja ( ) p(1 p) X N p,. n Logo, a transformação Y n = nx terá a distribuição Y n N(np, np(1 p)). Podemos observar que X, na expressão acima, é a própria variável ˆp e, desse modo, para n grande podemos considerar a distribuição amostral de p como aproximadamente normal ˆp N ( p, p(1 p) n ) Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
17 Exemplo Suponha que queremos saber a porcentagem de casamentos que terminam em divórcio entre casais que vivem em João Pessoa. Como não temos recursos suficientes para checar todos os arquivos, vamos estimar esta porcentagem baseados em alguns dados disponíveis. Suponha que temos dados sobre 10 casais: X 1 = 1, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 = 0, X 5 = 1, X 6 = 0, X 7 = 0, X 8 = 0, X 9 = 0, X 10 = 1. Isto é, o primeiro casal se divorciou, os próximos três não se divorciaram, o quinto casal se divorciou e assim por diante. O número de divórcios entre estes casais é 10 i=1 X i = = 3, Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
18 A probabilidade estimada de um divórcio é ˆp = 3 10 = 0, 3. Note que para a distribuição binomial, se sabemos a real probabilidade de divórcio, p, poderíamos calcular a probabilidade de termos ˆp = 0, 3 baseados em uma amostra de tamanho 10. Quando n = 10, esta é justamente a probabilidade de observamos 3 divórcios, ou seja, P(X = 3) = ( 10 3 ) p 3 (1 p) 7. Se, por exemplo, p = 0, 4, então P(X = 3) = 0, 215. Isto é, a probabilidade de tomarmos ˆp = 0,3 é 0,215. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
19 Suponha que a taxa de divórcio de uma população é p = 0, 3. Imagine agora 1000 equipes de pesquisadores e suponha que cada equipe estima a taxa de divórcio baseada em dados de 10 casais. Neste caso, diferentes equipes de pesquisadores conseguirão resultados diferentes. Por exemplo, a primeira equipe consegue ˆp = 0, 5, a segunda equipe consegue ˆp = 0, 1, e assim por diante. A distribuição amostral de ˆp se refere a distribuição dos valores de ˆp que as equipes de pesquisadores conseguiriam ao conduzir o mesmo estudo. Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
20 Exemplo 4 Sabe-se que 20% das peças de um lote são defeituosas. Sorteiam-se 8 peças, com reposição, e calcula-se a proporção de peças defeituosas na amostra. Qual será a distribuição de ˆp? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
21 Exemplo 5 Suponha que a proporção de peças fora de especificação em um lote é 40%. Considere que foi retirada uma amostra de tamanho 30, qual a probabilidade desta amostra fornecer uma proporção de peças defeituosas menor que 0.50? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
22 Exemplo 6 Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza em 80% dos casos. Uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada e testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na amostra ser inferior a 0.75? E superior a 0.85? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
23 Exemplo 7 Sabe-se que nem processo de industrialização de pêssegos em lata, a probabilidade de apresentar peso fora dos padrões é 0,05. Qual a probabilidade de, em uma amostra de 500 latas, apresentarem-se fora dos padrões: a) 6% ou mais das latas? b) 4% ou menos das latas? Souza () Distribuições amostrais October 14, / 23
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