HIPERGEOMÉTRICA. Lucas Santana da Cunha Universidade Estadual de Londrina

Transcrição

1 DISTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA E HIPERGEOMÉTRICA Lucas Santana da Cunha lscunha@uel.br Universidade Estadual de Londrina 28 de junho de 2017

2 Distribuição Geométrica Em algumas situações em que se aplicaria a distribuição binomial, podemos estar interessados na probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer em determinada tentativa; A distribuição geométrica é destinada ao cálculo de probabilidades de situações em que são feitas sucessivas tentativas independentes de um mesmo experimento aleatório até que apareça o 1 o sucesso.

3 Assim, se designarmos S como sucesso e F como fracasso, e realizarmos n ensaios até que ocorra o primeiro sucesso, o espaço amostral deste experimento será o conjunto: Ω = {S, FS, FFS,..., FFF... FS,...} Logo, um elemento típico desse espaço amostral é uma sequência de comprimento n em que nas primeiras n 1 posições temos F, ou seja, ocorrência de fracassos e na n-ésima ocorre o sucesso S.

4 Uma parametrização da geométrica conta o número de tentativas para se obter o primeiro sucesso, assim: a) Y é o número de tentativas até obter o primeiro sucesso; b) as tentativas são sucessivas e independentes, com probabilidade de sucesso p; A função de probabilidade é dada por: P(Y = y) = p(1 p) y 1, y = 1, 2,... Notação: Y G(p);

5 A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição Geométrica, G(p), são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = 1 p e V (Y ) = 1 p p 2

6 Exemplo 1 A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trânsito numa esquina é 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez?

7 Exemplo 2 Um casal com problemas para engravidar, recorreu a uma técnica de inseminação artificial no intuito de conseguir o primeiro filho. A eficiência da referida técnica é de 0,40. Qual a probabilidade de que o casal obtenha êxito até a terceira tentativa? Qual o número esperado de tentativas para o casal ter o primeiro filho?

8 Distribuição Geométrica Essa distribuição é adequada quando consideramos extrações casuais feitas sem reposição de uma população dividida segundo dois atributos: sucesso e fracasso. Descreve a probabilidade de se retirar y elementos do tipo A numa sequência de n extrações de uma população finita de tamanho N, com a elementos do tipo A e b elementos do tipo B, sem reposição.

9 Seja Y a variável aleatória número de elementos com a referida característica (tipo A) que estarão entre os n retirados. Assim, ( a ) ( b ) P(Y = y) = y n y ( ) a + b, y = 0, 1, 2,..., min(n, a) n em que a é o número de objetos do tipo A (sucesso) e b é o número de objetos do tipo B (fracasso); Notação: Y Hip(a, b, n).

10 A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição Hipergeométrica, Hip(a, b, n), são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = na a+b e V (Y ) = ( ) ( ) ( ) a+b n a+b 1 n a b a+b a+b

11 Exemplo 1 Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas para inspeção, pede-se: a) Qual a probabilidade de que uma seja defeituosa? b) Qual a probabilidade de que no máximo uma seja não defeituosa?

12 Exemplo 2 O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Qual a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres?

13 Exercício 1 A probabilidade de que haja alguma falha no lançamento de uma nave espacial é 10%. Qual é a probabilidade de que para lançar a nave seja necessário: a) 2 tentativas? b) mais que 3 tentativas? c) qual número esperado de tentativas de lançamento da nave espacial.

14 Exercício 2 Dentre os 14 mecânicos de uma revendedora, dez fizeram curso de treinamento na fábrica. Se três dos mecânicos são escolhidos ao acaso para um trabalho especial, encontre: a) a probabilidade de todos três terem feito curso de treinamento na fábrica; b) a probabilidade somente dois deles terem feito curso de treinamento na fábrica. c) qual número esperado de mecânicos que tenham feito curso de treinamento na fábrica

15 Exercício 3 Um funcionário da expedição deveria remeter 6 de 15 pacotes por via expressa para a Europa, mas ele acaba misturando todos e mandando aleatoriamente os 6 pacotes por via expressa para a Europa. Qual a probabilidade de que três dos pacotes que deveriam ir por via expressa sigam realmente por via expressa? Qual o valor esperado de pacotes que deveriam ir por via expressa sigam realmente por via expressa?