Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 1 / 19

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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 1 / 19

2 Modelo Poisson Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida). Exemplos: 1. Número de consultas a uma base de dados em um minuto. 2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado da PB. 3. Número de manchas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma geladeira. 4. Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa num intervalo de tempo (digamos das 8:00 às 12:0). 5. Número de carros que chegam ao Campus entre 7:00 e 10:00. 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 2 / 19

3 Distribuição de uma v.a. Poisson Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 se sua função de probabilidade é dada por: P( X = λ x e λ x) = 0; x = 0,1,2, L c. c. X: número de eventos discretos em t unidades de medida. λ: média de eventos discretos em t unidades de medida Notação: X~P(λ). 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 3 / 19

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5 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. Fazendo y = x 1, temos que E(X) = x=0 = e λ x λx e λ x=1 = λe λ x=1 λλ x 1 (x 1)! λ x 1 (x 1)! E(X) = λe λ = λ y=0 λ y y! = λe λ e λ Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 5 / 19

6 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. E(X 2 ) = = x=0 x=0 x 2 λx e λ x(x 1) λx e λ = e λ λ 2 λ x 2 (x 2)! + λ x=2 Fazendo y = x 2, temos que = [x(x 1) + x] λx e λ x=0 + x λx e λ = x=0 x=2 x(x 1) λx e λ + λ E(X 2 ) = λ 2 e λ = λ 2 + λ y=0 λ y y! + λ = λ2 e λ e λ + λ Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 6 / 19

7 Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos. Assim, Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ. Se X P(λ): E(X) = λ e Var(X) = λ. M X (t) = x=0 e tx λx e λ = e λ (λe t ) x x=0 = e λ(et 1) = e λ e λet Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 7 / 19

8 Exemplo 1: Suponha que uma central telefônica de uma empresa receba em média 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que: a) Não ocorra nenhuma chamada em um minuto. b) Em dois minutos ocorram 3 chamadas. c) Não ocorram chamadas em t minutos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 8 / 19

9 Observação: Do exemplo 1 pode-se concluir que a probabilidade de ocorrência de um determinado evento em t unidades é dada por: P(x) = e λt (λt) x, se x = 0,1,... 0, caso contrário Importante: X e λ devem estar na mesma unidade de medida. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 9 / 19

10 Exemplo 2. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e internet. Chegam na indústria em média 5 pedidos por hora. a) Qual a probabilidade de se receber mais que 2 pedidos por hora? b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual a probabilidade de haver exatamente 50 pedidos? c) Não haver nenhum pedido, em um dia de trabalho, é um evento raro? 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 10 / 19

11 EXEMPLO 2.1: Na revisão de um livro encontrou-se, em média, 1.2 erros por página. Das 600 páginas do livro, estimar o número das que não precisam ser modificadas por não apresentarem defeitos. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 11 / 19

12 EXEMPLO 3: Uma máquina, quando funciona adequadamente, dá um lucro de R$C por hora (C > 2). Suponha que o número de falhas durante qualquer período de t horas tenha distribuição de Poisson com parâmetro t. Se a máquina falhar x vezes durante as t horas, a empresa perde R$X 2 + X. Encontre o valor de t para o qual o lucro esperado se torne máximo. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 12 / 19

13 RELAÇÃO ENTRE POISSON E BINOMIAL: Seja X B(n,p). Vamos obter a distribuição de Poisson como aproximação da Binomial. Defina E(X) = np = λ P(X = x) = = = λx n p x (1 p) n x x n (n 1)... (n x + 1) λ n n (n 1)... (n x + 1) n x x 1 λ n x n 1 λ n x 1 λ n n Considere agora que a probabilidade p seja de tal modo pequena que, quando n se aproxima do infinito, λ possa ser considerado como aproximadamente constante. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 13 / 19

14 RELAÇÃO ENTRE POISSON E BINOMIAL: Na aplicação do limite, temos que lim n 1 λ x n (n 1)... (n x+1) n = 1 e limn = 1. n x Temos também que Segue então que, lim 1 λ n = e λ n n lim P(X = x) = λx e λ, n que corresponde à função de probabilidade Poisson (λ). Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 14 / 19

15 Exemplo 4. A probabilidade de que um rebite particular na superfície da asa de uma aeronave seja defeituoso é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos? Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então, X~B(4000,0.001) P( X 6) = 6 x= x 4000 x 0,001 0,999 = x ( ) ( ) 0,8894. Usando a aproximação de Poisson, µ=4000(0,001)=4 X~P(4) P( X 6) = 6 x= 0 4 e 4 x = 0, Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 15 / 19

16 EXEMPLO 4.1: Em um cruzamento com tráfego intenso, a probabilidade de um carro sofre acidente é bastante pequena e estimada como p = Durante certa parte do dia, por exemplo das 17:00 às 18:00 horas, um grande número de carros passa pelo cruzamento, algo como carros. Nessas condições, qual é a probabilidade de que 2 ou mais carros sofram um acidente naquele período? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 16 / 19

17 EXEMPLO 5: Verifique que a atribuição de probabilidade no modelo Poisson satisfaz às propriedades de função de probabilidade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 17 / 19

18 Exemplo 6. O número de falhas em um certo tipo de placa plástica tem taxa média de 0,05 defeito por m 2. Na construção de um barco, é necessário cobrir uma superfície de 3m x 2m com essa placa. Qual a probabilidade de que não haja mais de uma falha nessa superfície? Na construção de 5 barcos, qual a probabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito na superfície? 1 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 18 / 19

19 EXEMPLO 7: Um distribuidor de gasolina tem capacidade de receber, nas condições atuais, no máximo, três caminhões por dia. Se chegarem mais que três caminhões, o excesso deve ser enviado a outro distribuidor, e, neste caso, há uma perda média de R$800,00 por dia em que não se podem aceitar todos os caminhões. a) Qual a probabilidade de chegarem de três a cinco caminhões no total de dois dias? b) Qual a probabilidade de, em um certo dia, ter que mandar caminhões para outro distribuidor? c) Qual a perda média mensal (trinta dias) devido a caminhões que não puderam ser aceitos? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 08/14 19 / 19