Probabilidade I. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20

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1 Probabilidade I Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 1 / 20

2 Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 2 / 20

3 Probabilidade Algumas Definições de Probabilidade Definição Clássica: A definição clássica de probabilidade refere-se a resultados equiprováveis, ou seja, não existe nenhuma razão que privilegie uns resultados contra outros e quando Ω é enumerável finito (um número finito de resultados possíveis). P(A) = Numero de casos favoraveis a A, Numero de casos possiveis Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 3 / 20

4 Probabilidade Exemplo 1: Jogar uma moeda duas vezes. Anota-se a sequência obtida. A =Obtenção de faces iguais e B =Obtenção de duas caras. Exemplo 2: Jogar uma dado. Anota-se o valor obtido. A =Sair um número par e B =Sair um número maior que 4. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 4 / 20

5 Probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 5 / 20

6 Possíveis erros na utilização da definição clássica de probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 6 / 20

7 Probabilidade As dificuldades com a definição clássica aparecem quando tentamos responder questões como as seguintes: Qual a probabilidade de um indivíduo morrer antes de completar 40 anos? Qual a probabilidade de um indivíduo ser portados de uma lesão cardíaca congênita? Um jogo matemático consiste em escolher ao acaso um ponto do círculo de raio 3. Qual a probabilidade da distância do ponto ao centro do círculo não exceder 2? Portanto, é necessário considerar outras definições de probabilidade. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 7 / 20

8 Introdução Definição Geométrica: Se Ω não for enumerável, o conceito se aplicará ao comprimento de intervalos, medida de áreas ou similares. em que P(A) = A Omega, poderá ser um comprimento, uma área, um volume, etc. Exemplo 4: Escolher ao acaso um ponto do círculo de raio 3. A =A distância do ponto ao centro do círculo não excede 2. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 8 / 20

9 Possíveis erros na utilização da definição geométerica de probabilidade Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 9 / 20

10 Probabilidade Algumas Definições de Probabilidade Definição Frequentista: Esta definição considera o limite de frequências relativas como o valor da probabilidade. Se um experimento aleatório é repetido um número grande de vezes, n, e seja n A o número de ocorrências do evento A Ω. A probabilidade de A é dada por P(A) = n A n, Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 10 / 20

11 Probabilidade Exemplo 5: Um carregamento com 2000 computadores chegou na Insinuante. Sabe-se que em 40 desses computadores foram encontrados defeitos. Qual a probabilidade de um computador escolhido ao acaso ser defeituoso? Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 11 / 20

12 Probabilidade Exemplo 6: Foram levantados dados relativos ao sistema sanguíneo Rh em uma amostra de 820 indivíduos residentes em João Pessoa. Obtenha a probabilidade de um indivíduo ter fator Rh +? E fator Rh? Categoria Frequencia Rh Rh 83 Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 12 / 20

13 Introdução Exemplo 7 - Fenômeno de Estabilização: Lançamento de uma moeda. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 13 / 20

14 Probabilidade Problemas da noção frequentista de probabilidade Requer a realização de um experimento um número infinito de vezes. Por exemplo, lançar infinitas vezes um dado para ver que as frequências relativas da aparição de cada face convergem para 1/6. Isso pode suprir-se na prática, realizando o experimento um número de vezes suficientemente elevado, até que tenhamos a precisão que requeiram nossos cálculos. Os experimentos aleatórios, às vezes, não podem ser realizados um número de vezes indefinidamente alto. Por exemplo, calcular a probabilidade de morrer jogando na roleta russa com um revólver. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 14 / 20

15 Probabilidade Além de algumas falhas apontadas nas definições acima de Probabilidade, temos uma pergunta. A quais eventos vamos atribuir Probabilidades? Ora, por que não a todos os possíveis sub-conjuntos do espaço amostral? Dessa forma a teoria seria a mais completa possível. O problema é que há alguns subconjuntos de alguns espaços amostrais aos quais não se pode atribuir probabilidades de maneira consistente. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 15 / 20

16 Introdução 1.3 Álgebra e σ-álgebra Na prática, não é possível atribuir probabilidade a todo evento. Adicionalmente, do ponto de vista estritamente matemático, Ω é simplesmente um conjunto abstrato de pontos. É necessário estabelecer uma classe de subconjuntos com algumas propriedades convenientes que serão essenciais para o desenvolvimento da teoria de probabilidades. Tomamos então uma coleção não vazia A de subconjuntos de Ω, que representará a coleção de eventos aos quais desejamos associar probabilidades (classe dos eventos aleatórios). Observação 1.12: Serão associadas probabilidades apenas aos eventos de A. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 16 / 20

17 Introdução PROBLEMA: O que deve ser a coleção A? Uma vez que associaremos probabilidades somente aos eventos em A, se A e B são dois eventos de A, faz sentido falar sobre as probabilidades de que : A ou B ocorra. A e B ocorra. A não ocorra. É necessário considerar então que sempre que A, B A, devemos ter A B A, A B A e A c A. Assim, concluímos que A deve ser uma coleção não vazia de subconjuntos de Ω tendo as seguintes propriedades: (A1) Ω A; (A2) Se A A, então A c A; (A3) Se A A e B A, então A B A; Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 17 / 20

18 Introdução Definição 1.8: (Álgebra) Seja Ω um conjunto não-vazio. Uma classe A de subconjuntos de Ω satisfazendo A1, A2 e A3 é chamada álgebra de subconjuntos de Ω. Proposição 1.2: Seja A uma álgebra de suconjuntos de Ω. Então valem as seguintes propriedades. (A4) A; (A5) Para todo n, para todo A 1,..., A n A, temos n i=1 A i A e n i=1 A i A Assim, uma álgebra é fechada para um número finito de uniões e interseções. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 18 / 20

19 Introdução Devido a certas razões matemáticas pode ser insuficiente, às vezes, tomar A como sendo uma álgebra de subconjuntos de Ω. Pode ser necessário considerar que A seja fechada sob um número infinito enumerável de operações da teoria dos conjuntos. Assim, sem perda de generalidade, vamos supor que a classe dos eventos aleatórios também satisfaça (A3 ) Se A n A, para n = 1, 2,..., então n=1 A n A. Definição 1.2: (σ-álgebra) Seja Ω um conjunto não-vazio. Uma classe A de subconjuntos de Ω, satisfazendo A1, A2 e A3 é chamada σ-álgebra de subconjuntos de Ω. IMPORTANTE: Toda σ-álgebra é uma álgebra, mas nem toda álgebra é uma σ-álgebra. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 19 / 20

20 Introdução Proposição 1.3: Seja A uma σ-álgebra de suconjuntos de Ω. Se A 1, A 2,... A, então n=1 A n A. Exemplo: Seja Ω = {1, 2, 3} e as seguintes coleções de subconjuntos: F 1 e F 2 são σ-álgebras? F 1 = {, Ω, {1}, {2, 3}} F 2 = {, Ω, {1}, {2}, {1, 3}, {2, 3}} Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula 3 03/14 20 / 20