Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina

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1 Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina 1 / 14

2 Variável aleatória Introdução Definição Uma função que associa um número real aos resultados de um experimento chama-se variável aleatória (v.a.). Isso equivale a descrever os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras, o que é uma grande vantagem, pois possibilita melhor tratamento matemático. 2 / 14

3 Exemplo 1 Duas peças são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que contém quatro peças boas (B) e três defeituosas (D). Para esse experimento teríamos o seguinte espaço amostral Ω = {BB, BD, DB, DD}. Se considerarmos a variável aleatória Y : número de peças boas retiradas, temos Y = {0, 1, 2}. 3 / 14

4 (v.a.d.) Se o espaço amostral de um experimento contém um número finito de pontos ou uma seqüência infinita enumerável de pontos amostrais tais como 0, 1, 2, 3,... é chamado espaço amostral discreto. Definição A variável aleatória definida sobre o espaço amostral discreto é chamada variável aleatória discreta (v.a.d.). 4 / 14

5 Exemplo 2 Número de acidentes numa semana; Número de caras em cinco lançamento de moeda; Número de defeitos em sapatos; Número de terremotos; Número de livros numa estante. 5 / 14

6 Definição O conjunto dos valores da variável e as respectivas probabilidades, ou seja, y i e P(y i ), i = 1,..., n é chamado distribuição da variável aleatória Y. Tem-se que n i=1 P(y i) = 1. Costuma-se adotar, também, a notação P(Y = y i ) para designar a probabilidade de a variável aleatória Y assumir o valor y i. 6 / 14

7 Exemplo 3 O Departamento de Estatística é formado por 35 professores, sendo 21 homens e 14 mulheres. Uma comissão de 3 professores será constituída sorteando, ao acaso, três membros do departamento. Considerando a variável aleatória Y : numero de mulheres na comissão. Pede-se: a) quais valores que Y pode assumir e suas respectivas probabilidades? b) qual a probabilidade da comissão ser formada por pelo menos duas mulheres? 7 / 14

8 Esperança de Y Introdução Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. A esperança matemática, ou simplesmente a média é uma delas. Definição Dada uma v.a.d. Y, assumindo-se os valores y 1, y 2,..., y n com as respectivas probabilidades P(y 1 ), P(y 2 ),..., P(y n ), chamamos valor médio ou esperança matemática de Y ao valor: µ Y = E(Y ) = n y i P(y i ) i=1 8 / 14

9 Exemplo 4 Do Exemplo 3, calcule o valor médio de mulheres na comissão. 9 / 14

10 Introdução Definição Dada a variável aleatória Y, chamamos de variância de Y, ao valor n σy 2 = V (Y ) = [y i E(Y )] 2 P(y i ). i=1 Uma maneira mais prática para o cálculo da variância de Y é: σy 2 = V (Y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2 em que E(Y 2 ) = n i=1 y 2 i P(y i) 10 / 14

11 Exemplo 5 Do Exemplo 3, calcule a variância da v.a.d. número de mulheres na comissão. 11 / 14

12 Distribuição acumulada de Y Definição O conjunto dos valores da variável e as probabilidades acumuladas até os respectivos valores, ou seja, y i e F (y i ) = P(Y y i ), i = 1, 2,..., n é chamada distribuição acumulada da variável aleatória Y. Exemplo 6 Obtenha a tabela de distribuição acumulada de probabilidades para a variável aleatória do Exemplo / 14

13 Exercício 1 Suponha que em um lote de 12 peças, 4 sejam defeituosas. Duas peças são retiradas para inspeção. Considerando Y = {número de peças defeituosas após inspeção}, encontre: a) a distribuição de probabilidade para a v.a.d. Y b) O valor médio e a variância de Y. 13 / 14

14 Exercício 2 Verifique se P(Y = y) = y + 3, y = 1, 2, 3 15 é uma função de probabilidade de alguma variável aleatória. 14 / 14