Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241

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1 Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Probabilidade Condicional Independência de Eventos Teorema da Probabilidade Total Lei de Bayes Aula de hoje Exemplo Lei de Bayes Variáveis Aleatórias PMF, CDF Exemplos de v. a.: Bernoulli, Binomial, Geométrica

2 Probabilidade Condicional Definição: Probabilidade de A dado B P [ A B ]= P [ A B] P[ B]

3 Eventos Independentes Sejam A e B dois eventos sobre o mesmo espaço amostral S A e B são independentes se P [ A B ]=P [ A]P [B ] Note que se A e B são independentes, então P [ A B ]= P [ A B ] P[ B] = P [ A]P [B ] P [B ] =P [ A] 2 eventos são independentes se a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro

4 Teorema da Probabilidade Total Generalização do conceito Seja B i (i=1,...,n) uma partição do espaço amostral mutuamente exclusivos, união é igual ao espaço amostral B 1 B 2 BA 3... B n-1 B n Considere o evento A probabilidade de A ocorrer (em função de B i )? i= n P [ A]= i =1 P[ A B i ] P [B i ] Teorema da Probabilidade Total

5 Lei de Bayes Permite o cálculo da probabilidade de um evento B condicionado a um evento A, dado que se conhece o inverso Uso do teorema da probabilidade total P [B i / A]= P [ A/B i] P[ B i ] i=n i=1 P [ A B i ] P[ B i ]

6 Variáveis Aleatórias Necessidade de expressar eventos de forma precisa Interesse não no resultado aleatório, mas numa função do resultado Idéia: Mapear eventos em números reais! A B C D E reais

7 Exemplo: 1 dado Considere um dado Ganha 10 se o resultado é 6, zero se o resultado é 4 ou 5, e perde 5 se o resultado é 1, 2 ou

8 Definição de V.A. Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S X : S R v.a. é uma função (e não uma variável) imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um para um)

9 Exemplo: 2 dados Considere dois dados (vermelho e preto) Espaço amostral: S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),... } Seja X uma v.a. que representa a soma dos dois dados X i, j =i j Inversa de X eventos que levam a um certo valor de X X = 4 : {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

10 Função probabilidade de massa (pmf) Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? {s X s =x } Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x p X x =P [ X =x]=p [{s X s =x }]= X s =x P [s] notação de pmf (probability mass function)

11 Propriedades da função probabilidade de massa onde xi são todos os valores que a variável aleatória pode assumir

12 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a pmf de X p X x =P [ X =x] Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? p 2 =P [ X =2] X p 3 =P [ X =3] X p 4 =P [ X =4] x... = 1/36 = 2/36 = 3/36 X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,2), (2,1)} X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}

13 pmf, graficamente Exemplo: 2 dados P [X = x] x (valor que X pode assumir)

14 Função distribuição cumulativa (cdf) Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual) Dada v.a. X, temos F X x =P[ X x]=p [{s X s x }]= X s x notação da cdf (cumulative distribution function) P [s] F X (x) é não decrescente Limite quando x tende a infinito é 1

15 Propriedades da função distribuição cumulativa

16 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a cdf de X F X x =P[ X x] F 2 =P [ X 2] X F 3 =P [ X 3] X F 4 =P [ X 4] X... = 1/36 = 3/36 = 6/36 X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,1), (1,2), (2,1)} X=4 : {(1,1),..., (1,3)}

17 cdf, graficamente Exemplo: 2 dados P [X <= x] x (valor que X pode assumir)

18 Distribuições Importantes V.A. discretas Bernoulli Binomial Geométrica Poisson Usadas para modelar eventos que ocorrem na natureza Representam v.a. que iremos usar Relativamente fáceis de manipular

19 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc. v.a. binária (evento 0 ou evento 1) Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos) pmf: p 0 =1 p X p 1 = p X

20 Bernoulli

21 Binomial Contagem de eventos de Bernoulli eventos independentes Número de sucessos dado N experimentos Dois parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos pmf: p k = N X k pk 1 p N k Número de vezes que exatamente k eventos podem ocorrer Prob. que exatamente k eventos ocorram

22 Condições para uso da Binomial

23 Exemplo de uso da Binomial

24 Geométrica Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso Parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos pmf: p X k = p 1 p k 1 Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1 eventos de falha

25 Geométrica Modificada

26 Geométrica: Propriedade memoryless

27 Geométrica: Propriedade memoryless n Y Z Z v.a. geométrica Y v.a. que representa o que falta para o primeiro sucesso Y=Z-n e Z=n+Y p Z i = pq i 1 F Z i =1 q i P[Y=i / Z>n] =?

28 Geométrica: Propriedade memoryless

29 Geométrica: Aplicações

30 Geométrica: Aplicações