Estatística e Probabilidade Aula 05 Distribuições de Probabilidades. Prof. Gabriel Bádue

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1 Estatística e Probabilidade Aula 05 Distribuições de Probabilidades Prof. Gabriel Bádue

2 Motivação Quais os possíveis resultados que poderão ser obtidos no lançamento de um dado não-viciado? Qual a probabilidade de se obter uma dessas faces? E se o dado for viciado, de tal modo que a chance de obter a face três é cinco vezes que a chance de se obter as demais faces?

3 Teoria Definições Uma variável aleatória é uma variável que tem um valor numérico único para cada resultado de um experimento. Podem ser discretas ou contínuas. Uma distribuição de probabilidades dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória. 1. P x = 1, x 2. 0 P x 1, x μ = xp(x) σ 2 = x μ 2 P(x) σ 2 = x 2 P(x) μ 2

4 Exemplo 1 Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua média, variância e desvio-padrão. a) Ao escolher aleatoriamente um colega de sela condenado por dirigir alcoolizado (DWI), a distribuição de probabilidade do número x de sentenças anteriores em casos de DWI é dada na tabela a seguir.

5 Exemplo 1 Determine se é dada uma distribuição de probabilidade. Em caso afirmativo, determine sua média, variância e desviopadrão. b) Se sua faculdade contrata os 4 próximos funcionários sem distinção de sexo e o conjunto de candidatos é grande, com números iguais de homens e mulheres, a tabela a seguir dá a distribuição de probabilidade do número x de mulheres contratadas.

6 Exemplo 2 Ao apostar em um cassino R$5,00 no número 7 da roleta, tem-se uma probabilidade de 1/38 de ganhar R$175,00 e uma probabilidade de 37/38 de perder R$5,00. Qual é o valor esperado? Em um número muito grande de apostas, quanto se perde para cada dólar apostado?

7 Exemplo 3 Verifique se a função a seguir é uma distribuição de probabilidade. P x = 1 2 x, onde x = 1, 2, 3,

8 Teoria Um experimento é chamado de binomial se satisfaz as seguintes condições: Comporta um número fixo de provas. As provas são independentes. Os resultados de cada prova são classificados entre duas categorias. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.

9 Teoria Sendo S e F a representação das duas possíveis categorias: P S = p P F = 1 p = q onde, p e q representam as probabilidades de ocorrer S e F. n: número fixo de provas. x: número de sucessos em n provas. p: probabilidade de sucesso em uma das n provas. q: probabilidade de falha em uma das n provas. P x : a probabilidade de ter x sucessos em n provas.

10 Teoria P x = n! n x! x! px q n x Caso 1 Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos. Caso 2 Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

11 Teoria μ = np σ 2 = npq Caso 1 Determine a probabilidade de obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos. Caso 2 Determine a probabilidade de obter ao menos 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes, dando que 10% da população são canhotos.

12 Exemplo 4 Suponha que os nascimentos de menino e menina sejam igualmente prováveis e que o nascimento de qualquer criança não afete a probabilidade do sexo do próximo nascituro. Determine a probabilidade de: a) Exatamente 4 meninas em 10 nascimentos. b) Ao menos 4 meninas em 10 nascimentos. c) Exatamente 8 meninas em 20 nascimentos.

13 Exemplo 5 Vários estudantes não estão preparados para um teste do tipo V ou F com 25 questões, e todos eles decidem responder por palpite. Determine a média e o desvio-padrão do número de respostas corretas para cada estudante.