ESTATÍSTICA TÓPICO 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA / DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL / DISTRIBUIÇÃO NORMAL

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1 ESTATÍSTICA TÓPICO 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA / DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL / DISTRIBUIÇÃO NORMAL VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Como já vimos no estudo das probabilidades, o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por exemplo, o número de filhos de um casal é um exemplo de conjunto numérico. Porém, o grau de escolaridade de um indivíduo é algo não numérico. Dessa forma, em muitas vezes, para podermos trabalhar probabilisticamente com uma variável não numérica, atribuímos valores para cada elemento do espaço amostral. O resultado de um experimento de probabilidade geralmente é uma contagem ou uma medida. Quando isso ocorre, o resultado é chamado de variável aleatória. Definição: uma variável aleatória X representa um valor numérico associado a cada resultado de um experimento de probabilidade. A palavra aleatória indica que os valores assumidos por X são obtidos ao acaso. Notação: geralmente, as variáveis aleatórias são representadas por letras maiúsculas (X), enquanto que os valores assumidos por essas variáveis aleatórias são representadas por letras minúsculas (x). Dessa forma, se escrevermos X=x queremos dizer que a variável aleatória X assume um valor numérico igual a x. As variáveis aleatórias podem ser de dois tipos: discretas ou contínuas. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Uma variável aleatória é discreta se ela assume um número finito de valores ou assume um número infinito de valores numeráveis (contáveis). Podemos dizer que uma variável é discreta quando seus valores puderem ser listados. Por exemplo: o número de ligações recebidas por dia em um escritório pode ser um valor igual a 0, 1, 2, 3, 4,... Assim, definimos a variável aleatória X: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Uma variável aleatória é contínua se ela possui um número incontável de possíveis resultados. Ou seja, uma variável é dita contínua quando os valores que ela pode assumir puderem ser representados como um intervalo na reta dos números reais. Neste caso, os valores assumidos por uma variável contínua, não podem ser listados, visto que são infinitos os possíveis valores dessa variável. Por exemplo: consideremos o tempo de duração de uma ligação recebida em minutos (incluindo frações de minutos). Neste caso, podemos definir uma variável aleatória Y da seguinte forma: Y: tempo de duração de uma ligação em minutos. Perceba que os valores de Y podem assumir qualquer valor em um intervalo real. Suponhamos, para facilitar, que o tempo máximo de uma ligação seja de 120 minutos. Neste caso, os valores y pertencem ao intervalo [0, 120]. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DISCRETAS Para cada valor de uma variável aleatória discreta podese determinar uma probabilidade correspondente a esse valor. Ao listar cada valor de uma variável aleatória juntamente à sua probabilidade, você estará formando uma distribuição de probabilidade. Uma distribuição de probabilidades deve satisfazer as seguintes condições: I. A probabilidade de cada valor da variável é um número de 0 à 1. Ou seja: II. A soma de todas as probabilidades é igual a 1: X: número de ligações recebidas pelo escritório. Os valores que essa variável pode assumir são x=0, 1, 2, 3,... Dessa forma, se escrevermos X=3 estamos dizendo que o número de ligações recebidas pelo escritório (X) é igual a 3 ligações (x). Perceba que podemos trabalhar com dois tipos de notação: P(X=x) ou simplesmente P(x). Por exemplo, a probabilidade de a variável X assumir o valor igual a 3 pode ser escrita como P(X=3) ou apenas P(3). IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 1

2 VALOR ESPERADO OU MÉDIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Seja X uma variável aleatória discreta, com valores x 1, x 2,..., x k. O valor esperado de X (ou esperança matemática de X), ou simplesmente a média de X é definida como: A média amostral é dada por A média teórica (ou populacional) µ é semelhante à média amostral x. À medida que o tamanho da amostra aumenta, a frequência relativa fi aproxima-se de p(xi), ou seja, a média amostral aproxima-se da média populacional. Observação: embora as probabilidades nunca possam ser negativas, o valor esperado de uma variável aleatória pode ser negativo. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A variância é uma medida de dispersão que avalia o grau de homogeneidade dos valores da variável em torno da média. A definição da variância de uma variável aleatória discreta X é dada por: Desenvolvendo o quadrado da diferença, obtemos uma fórmula prática para o cálculo da variância: Onde LEI BINOMIAL DA PROBABILIDADE ENSAIOS DE BERNOULLI Consideremos um experimento que consiste em uma sequência de ensaios ou tentativas independentes, isto é, ensaios nos quais a probabilidade de um resultado em cada ensaio não depende dos resultados ocorridos nos ensaios anteriores, nem dos resultados nos ensaios posteriores. Em cada ensaio, podem ocorrer apenas dois resultados, um deles que chamaremos de sucesso (S) e outro que chamaremos de fracasso (F). À probabilidade de ocorrer sucesso em cada ensaio chamaremos de p; a probabilidade de fracasso chamaremos de q, de tal modo que q=1 p. Tal tipo de experimento recebe o nome de ensaio de Bernoulli. Generalizando, se em cada uma das n repetições de Ensaios de Bernoulli a probabilidade de ocorrer um evento definido como sucesso é sempre p, a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas k das n repetições é dada por: Resumindo: um experimento binomial deve satisfazer os seguintes critérios: 1) O experimento é repetido n vezes, onde cada tentativa é independente das demais. 2) Há apenas dois resultados possíveis em cada tentativa: um de interesse, associado à variável X, chamado de sucesso e o seu complementar que é o fracasso. 3) A probabilidade de sucesso será denotada por p e é a mesma em cada tentativa (entenda Ensaio de Bernoulli). Logo, a probabilidade de fracasso será denotada por q = 1 p. MÉDIA OU VALOR ESPERADO DE UMA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Seja uma variável X com distribuição Binomial de parâmetros n (número de ensaios de Bernoulli) e p (probabilidade de sucesso). A média ou valor esperado de X é dado por: O desvio padrão da variável X corresponde à raiz quadrada da variância: VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Nas mesmas suposições da média, temos: Desvio padrão: IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 2

3 DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS CONTÍNUAS Assim como ocorre com as variáveis discretas, existem algumas distribuições especiais de probabilidade contínuas que por sua frequência de uso vale a pena estudar mais detalhadamente. DISTRIBUIÇÃO NORMAL Um dos principais modelos de distribuição contínua é a curva normal ou de Gauss. Sua importância para a Estatística (prática) reside no fato que muitas variáveis encontradas na natureza se distribuem de acordo com o modelo normal. Este modelo também tem uma importância teórica devido ao fato de ser uma distribuição limite. Uma variável aleatória contínua X tem uma distribuição normal (ou Gaussiana) se sua função densidade de probabilidade for do tipo: métodos numéricos. E por isso ela é encontrada tabelada em livros texto de Probabilidade ou Estatística. OUTRAS PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL a) Transformação linear de uma variável aleatória normal Se X tiver uma distribuição N(µ,σ) e se Y = ax + b, então Y terá a distribuição N(aµ + b, aσ) b) Combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes A combinação linear de variáveis aleatórias normais independentes será uma variável aleatória normalmente distribuída. c) f(x) 0 quando x ou -. d) µ - σ e µ + σ são os pontos de inflexão da função f(x), isto é, são os valores onde o gráfico da função muda o sinal da curvatura. e) x = µ é o ponto de máximo de f(x) e este máximo vale f) f(x) é simétrica ao redor de x = µ, isto é: f(µ + x) = f(µ - x) g) Se X tem uma distribuição normal de média µ e desvio padrão σ se escreverá: X : N(µ, σ) h) Quando µ = 0 e σ = 1, tem-se uma distribuição normal padrão ou normal reduzida. A variável normal +padrão será anotada por Z. Então Z : N(0, 1). A função densidade de probabilidade da variável aleatória Z será representada por: PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL Se X for uma VAC com distribuição Normal, então: Média, expectância ou valor esperado E(X) = µ, isto é, o parâmetro µ é a média da distribuição normal. Variância V(X) = σ 2, isto é, a variância da distribuição normal é o parâmetro σ ao quadrado. O desvio padrão O desvio padrão da distribuição normal é o parâmetro σ. FDA da distribuição Normal A função de distribuição (FDA) da normal reduzida é representada por: Esta integral, e aliás como de qualquer outra normal, não pode ser avaliada pelo método tradicional (teorema fundamental do cálculo). Ela só pode ser calculada por i) Se X é uma N(µ, σ), então Z = (X - µ) / σ é a normal padrão ou reduzida. Isto significa que qualquer curva normal poderá ser padronizada, mediante esta transformação NORMAL PADRÃO Em muitos livros de Estatística podemos encontrar uma tabela da Normal Padrão. É uma tabela que nos fornece valores das áreas (= probabilidades) de acordo com o valor de x. Porém, podemos usar a Tabela da Normal. Mas, como dissemos anteriormente, existem diversas curvas da normal, que variam segundo a média e variância. Isso significa que teríamos que ter inúmeras tabelas da normal... o que não parece muito viável. Dessa forma, criou-se uma maneira mais simples de se obter as áreas desejadas. Criou-se uma curva denominada Normal Padrão, que corresponde a uma distribuição normal com média zero e desvio-padrão um. Geralmente a variável aleatória associada à distribuição normal padrão é chamada de Z. Em notação: IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 3

4 EXERCÍCIOS PARA DISCUSSÃO E TREINAMENTO A grande vantagem de usarmos tal distribuição é o fato de trabalharmos apenas com uma distribuição e, portanto, com uma única tabela. Tudo é mais fácil! Porém, como fazer para obtermos tal variável Z (padronizada) a partir de uma variável aleatória qualquer X tal que X ~ N(µ, σ 2 )? Basta padronizarmos ou normalizarmos a variável X através da fórmula: 1. Em uma cidade, a distribuição de probabilidade da variável que representa o número de dias de chuva ao longo de uma determinada semana é dada pela tabela: Com base nos dados apresentados na tabela acima responda às questões de 1 a 4. onde: µ = média de X σ = desvio-padrão de X 1. Calcule o valor m apresentado na tabela; a) 0,176 b) 0,194 c) 0,212 d) 0,288 e) 0, Determine P(X=3); a) 0,012 b) 0,424 c) 0,064 d) 0,076 e) 0, Calcule P(X<2); a) 0,648 b) 0,586 c) 0,512 d) 0,422 e) 0, Calcule P(X 2). a) 0,222 b) 0,266 c) 0,312 d) 0,344 e) 0, Em uma caixa há 5 peças boas e 3 defeituosas. Duas peças são retiradas ao acaso e sem reposição. Definindo a variável aleatória X como sendo o número de peças boas retiradas, obtenha a distribuição de probabilidades. IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 4

5 6. Considere um jogo no qual se lançam três moedas não viciadas e se recebe R$ 2,00 caso apareça 1 cara, R$ 4,00 se aparecerem 2 caras e R$ 8,00 caso apareçam 3 caras. Se nenhuma cara ocorrem, nada se recebe. Quanto se esperaria ganhar caso fizesse esse jogo uma vez? Em outras palavras, qual é o valor esperado de uma jogada? a) R$ 3,00 b) R$ 3,25 c) R$ 4,33 d) R$ 4,50 e) R$ 4,84 7. (ESAF/AFRFB) A expectância de uma variável aleatória x - média ou esperança matemática como também é chamada - é igual a 2, ou seja: E(x) = 2. Sabendo-se que a média dos quadrados de x é igual a 9, então os valores da variância e do coeficiente de variação de x são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 2 b) 5 e 5 2 c) 5 e 5 d) 5 e 2 5 e) e 10. De acordo com uma pesquisa do Data Journal, 70% das pessoas que trabalham em escritórios utilizam computadores da IBM. Se dois indivíduos que trabalham em escritórios são selecionados ao acaso, encontrar a distribuição de probabilidades da variável X: número de usuários dos computadores da IBM. Calcule a média e o desvio padrão dessa variável. 11. Um vendedor recebe uma comissão de R$ 50,00 por uma venda. Baseado em suas experiências anteriores ele calculou a distribuição de probabilidades das vendas semanais: a) Qual é o valor esperado de vendas por semana? b) Qual é a probabilidade de ganhar pelo menos R$ 150,00 por semana? c) Qual o desvio padrão das vendas semanais? d) Qual o coeficiente de variação das vendas semanais? 12. O gráfico mostra a distribuição de furacões que atingiram o território dos EUA divididos por categorias, sendo 1 o nível mais fraco e 5 o mais forte. 8. Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade: a) Encontre o valor de P(3). b) Calcule a média da distribuição. c) Calcule a variância e o desvio padrão de X. 9. Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: P(x i ) = K/x para x = 1, 3, 5, 7. a) Determinar K. b) Calcular P(2 X 6). Para essa variável, calcule: a) a esperança; b) a variância; c) o desvio padrão. IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 5

6 13. O gráfico mostra a distribuição de probabilidades do número de pessoas que moram em cada casa nos EUA: Para essa variável, calcule: a) a esperança; b) a variância; c) o desvio padrão. 14. Em um jogo de roleta americana, há 38 números: 00, 0, 1, 2, 3,..., 36 marcados em espaços igualmente divididos. Se um jogador aposta $ 1 em um número e ganha, ele continua apostando com o $ 1 e recebe $ 35 adicionais. Caso contrário, ele perde $ 1. Definindo a variável X: lucro obtido em uma rodada, determine a quantidade média de dinheiro, por jogo, que esse jogador pode esperar perder (e não ganhar, visto que se trata de um jogo de azar). 15. O tempo T, em minutos, para que um operário processe certa peça é uma VAD com distribuição dada na tabela abaixo. muito lento) ou inferior a 30 minutos (que seria impossível completar o teste)? Qual o número aproximado de candidatos com tal perfil? 17. (ESAF/AFRFB) O Sr. Ramoile, professor de Estatística aposentado, vem há muito tempo acompanhando os dados sobre custos e faturamento do restaurante de sua filha Cecília. O restaurante funciona todos os dias da semana e o Sr. Ramoile concluiu que: o custo diário do restaurante segue uma distribuição normal, com média igual a R$ 500,00 e desvio-padrão igual a R$ 10,00 e que o faturamento diário, também, apresenta uma distribuição normal, com média R$ 800 e desvio-padrão R$ 20. Como o Sr. Ramoile conhece muito bem os princípios básicos da estatística, ele sabe que, se uma variável Z seguir uma distribuição normal padrão, então Z tem média 0 e variância 1. Ele também sabe que a probabilidade dessa variável Z assumir valores no intervalo entre 0 < Z < 2 - ou seja, entre a média 0 e 2 desviospadrão - é, aproximadamente, igual a 0,4772. Cecília, muito preocupada com o futuro de seu restaurante, perguntou a seu pai se ele poderia verificar a probabilidade de, em um dia qualquer, o custo ser maior do que R$ 520,00 e o faturamento ficar no intervalo entre R$ 760,00 e R$ 840,00. Após alguns minutos, o Sr. Ramoile disse, acertadamente, que as respectivas probabilidades são, em termos percentuais, iguais a a) 2,28; 95,44. b) 52,28; 95,44. c) 2,28; 98,69. d) 98,69; 95,44. e) 98,65; 2, A duração de certo componente eletrônico pode ser considerada normalmente distribuída com média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade de um componente durar: a) Entre 700 e 1000 dias a) Calcule o tempo médio de processamento. b) Para cada peça processada o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas se processa a peça em menos de 6 minutos, ganha R$ 0,50 por cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em 4 minutos, recebe a quantia de R$ 1,00. Encontre a média e a variância de G = quantia ganha por peça. 16. Em um certo teste de aptidão para contratação de determinada empresa, os candidatos devem realizar uma sequência de tarefas no menor tempo possível. Suponhamos que o tempo necessário para completar esse teste tenha uma distribuição Normal com média 45 minutos e desvio-padrão de 20 minutos. Suponhamos que, numa primeira etapa, esse teste foi aplicado com uma amostra de 50 candidatos. Qual a probabilidade de encontrarmos algum candidato que tenha um tempo superior a 50 minutos (candidato b) Mais de 800 dias c) Menos de 750 dias 19. O conteúdo líquido das garrafas de 300 ml de um refrigerante é normalmente distribuído com média de 300 ml e desvio padrão de 2 ml. Determine a probabilidade de uma garrafa selecionada ao acaso apresentar conteúdo líquido: a) inferior a 306 b) Superior a 305 ml c) entre 302 e 304 ml IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 6

7 20. O lucro mensal obtido com ações de determinada empresa tem distribuição normal com média de 12 mil reais e desvio padrão de 5 mil reais. Qual a probabilidade de que em determinado mês o lucro desta empresa seja: a) superior a 18 mil reais b) inferior a 8 mil reais GABARITO 1. D 2. C 3. A 4. E 5.. c) entre 10 e 15 mil reais 21. Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma média de 45 minutos, com desvio padrão de 12 minutos naquela loja. Esse tempo gasto na loja é normalmente distribuído. Uma pessoa entra na loja. a) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja entre 24 e 54 minutos? b) Qual a probabilidade de que essa pessoa fique na loja mais que 39 minutos? c) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela entre 24 e 54 minutos? 6. B 7. A 8. a) 0,15 b) 2,85 c) 1,7275 e 1,31 9. a) K = 105/176 b) 7/ d) Se 200 pessoas entrarem na loja, quantas devem permanecer nela por mais de 39 minutos? 11. a) E(X) = R$ 100,00 b) 30% c) 1, 10 d) 55% 12. a) 2,026 b) 1,0 c) 1,0 13. a) 2,508 b) 1,894 c) 1, $ 0, a) µ = 4,60 b) ,79% e aproximadamente 32 pessoas 17. A 18. a) 0,9992 b) 0,8665 c) 0, a) 0,9987 b) 0,0062 c) 0, a) 0,1151 b) 0,2119 c) 0, a) 0,7333 b) 0,6915 c) 147 pessoas d) 138 pessoas IGEPP PROJETO ANAC - ESTATÍSTICA TÓPICO 7 7

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