Capítulo 5 Distribuições de probabilidade normal Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

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1 Capítulo 5 Distribuições de probabilidade normal slide 1

2 Descrição do capítulo 5.1 Introdução à distribuição normal e distribuição normal padrão 5.2 Distribuições normais: encontrando probabilidades 5.3 Distribuições normais: encontrando valores 5.4 Distribuições amostrais e o Teorema do Limite Central 5.5 Aproximações normais para distribuições binomiais slide 2

3 Seção 5.1 Introdução à distribuição normal e distribuição normal padrão slide 3

4 Objetivos da Seção 5.1 Interpretar gráficos de distribuição de probabilidade normal Encontrar áreas sob a curva normal padrão slide 4

5 Propriedades de uma distribuição normal Variável aleatória contínua Tem um número infinito de valores possíveis que podem ser representados por um intervalo na reta numérica Horas gastas estudando durante um dia O tempo gasto estudando pode ser qualquer número entre 0 e 24. slide 5 Distribuição de probabilidade contínua A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua

6 Distribuição normal Uma probabilidade contínua para uma variável aleatória, x A mais importante probabilidade contínua na estatística O gráfico de uma distribuição normal é chamado de curva normal x slide 6

7 1. A média, a mediana e a moda são iguais. 2. A curva normal tem formato de sino e é simétrica em relação à média. 3. A área total abaixo da curva é igual a um. 4. A curva normal se aproxima do eixo x, mas nunca o toca, conforme se afasta da média. Área total = 1 μ x slide 7

8 5. Entre μ σ e μ + σ (no centro da curva), o gráfico se curva para baixo. O gráfico se curva para cima à esquerda de μ σ e à direita de μ + σ. Os pontos nos quais a curva muda a sua trajetória para cima ou para baixo são chamados de pontos de inflexão. Pontos de inflexão μ 3σ μ 2σ μ σ μ μ + σ μ + 2σ μ + 3σ x slide 8

9 Médias e desvios padrão Uma distribuição normal pode ter qualquer média e qualquer desvio padrão positivo A média dá a localização da linha de simetria O desvio padrão descreve a dispersão dos dados slide 9

10 Exemplo: entendendo média e desvio padrão 1. Qual curva tem a maior média? Solução: A curva A tem a maior média (a linha de simetria da curva A ocorre em x = 15. A linha de simetria da curva B ocorre em x = 12). slide 10

11 2. Qual curva tem o maior desvio padrão? Solução: A curva B tem o maior desvio padrão (a curva B é mais dispersa que a curva A). slide 11

12 Exemplo: interpretando gráficos As alturas (em pés) de árvores de carvalho adultas são normalmente distribuídas. A curva normal apresentada mostra essa distribuição. Qual é a média de altura de uma árvore de carvalho adulta? Estime o desvio padrão. Solução: slide 12

13 DISTRIBUIÇÃO NORMAL ESTATÍSTICA USANDO slide 13 A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística. A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média e o desvio padrão da distribuição, por exemplo, a curva da distribuição normal f(x) para =40, =10 e valores da variável aleatória no intervalo (10, 40) é mostrada na figura a seguir. Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc. Prof. Juan Carlos

14 slide ESTATÍSTICA 14 USANDO Prof. Juan Carlos

15 A distribuição normal padrão Área = Qualquer valor de x pode ser transformado em um escore z usando a fórmula z slide 15

16 Se cada valor de dados de uma variável aleatória normalmente distribuída x for transformada em um escore z, o resultado será a distribuição normal padrão Distribuição normal Distribuição normal padrão =1 x = 0 z Use a tabela normal padrão para encontrar a área cumulativa abaixo da curva normal padrão slide 16

17 Propriedades da distribuição normal padrão 1. A área cumulativa é próxima de 0 para escore z próximos de z = 3, A área cumulativa aumenta conforme o escore z aumenta. Área é próxima de 0 z = 3, z slide 17

18 3. A área cumulativa para z = 0 é 0, A área cumulativa é próxima de 1 para escore z próximo de z = 3, z = 0 Área é 0,5000 Área é próxima de 1 z z = 3,49 slide 18

19 Exemplo: usando a tabela normal padrão Encontre a área cumulativa que corresponda a um escore z de 1,15. Solução: Encontre 1.1 na coluna à esquerda. A área à esquerda de z = 1,15 é 0,8749. Cruze a fileira para a coluna sob slide 19

20 Encontre a área cumulativa que corresponda a um escore z de 0,24. slide 20 Solução: Encontre 0,2 na coluna à esquerda. Cruze a fileira para a coluna sob A área à esquerda de z = 0,24 é 0,4052.

21 Encontrando áreas sob a curva normal padrão 1. Esboce a curva normal padrão e preencha a área apropriada abaixo da curva. 2. Encontre a área seguindo as direções para cada caso. a. Para encontrar a área à esquerda de z, encontre a área que corresponda a z na tabela normal padrão. slide 21

22 b. Para encontrar a área à direita de z, use a tabela normal padrão para encontrar a área correspondente a z. Então subtraia a área de 1. slide 22

23 c. Para encontrar a área entre dois escores z, encontre a área correspondente a cada escore z na tabela normal padrão. Então subtraia a área menor da área maior. slide 23

24 Exemplo: encontrando a área sob a curva normal padrão Encontre a área sob a curva normal padrão à esquerda de z = 0,99. Solução: 0,1611 0,99 0 z Pela tabela normal padrão, a área é igual a 0,1611. slide 24

25 Encontre a área sob a curva normal padrão à direita de z = 1,06. Solução: 0, ,8554 = 0,1446 z 0 1,06 Pela tabela normal padrão, a área é igual a 0,1446. slide 25

26 Encontre a área sob a curva normal padrão entre z = 1,5 e z = 1,25. Solução: 0,8944 0,0668 = 0,8276 0,0668 1,50 0, ,25 z Pela tabela normal padrão, a área é igual a 0,8276. slide 26

27 Resumo da seção 5.1 Interpretamos gráficos de distribuição de probabilidade normal Encontramos áreas sob a curva normal padrão slide 27

28 Seção 5.2 Distribuições Normais: encontrando probabilidades slide 28

29 Objetivos da Seção 5.2 Encontrar probabilidades para valores normalmente distribuídos slide 29

30 Probabilidade e distribuições normais Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída, você pode encontrar a probabilidade de que x cairá em um dado intervalo, calculando a área sob a curva normal daquele intervalo. P(x < 600) = Área μ = 500 σ = 100 μ = x slide 30

31 Distribuição normal μ = 500 σ = 100 Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P(x < 600) P(z < 1) μ = x μ = 0 1 z Mesma área P(x < 600) = P(z < 1) slide 31

32 Exemplo: encontrando probabilidades para distribuições normais Uma pesquisa indica que pessoas usam seus computadores uma média de 2,4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é de 0,5 ano. Um proprietário de computador é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que ele use sua máquina por menos de dois anos antes de comprar uma nova. Assuma que a variável x é normalmente distribuída. slide 32

33 Solução: encontrando probabilidades para distribuições normais Distribuição normal P(x < 2) μ = 2,4 σ = 0,5 Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P(z < 0,80) 2 2,4 x 0,2119 0,80 0 P(x < 2) = P(z < 0,80) = 0,2119 z slide 33

34 Exemplo: encontrando probabilidades para distribuições normais Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, um comprador gasta uma média de 45 minutos com um desvio padrão de 12 minutos no mercado. O período de tempo gasto no mercado é normalmente distribuído e representado pela variável x. Um cliente entra no mercado. Encontre a probabilidade de que ele passe entre 24 e 54 minutos dentro do mercado. slide 34

35 Solução: encontrando probabilidades para distribuições normais Distribuição normal μ = 45 σ = 12 P(24 < x < 54) Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P( 1,75 < z < 0,75) slide ,75 P(24 < x < 54) = P( 1,75 < z < 0,75) = 0,7734 0,0401 = 0,7333 x 0,7734 0, ,75 z

36 Exemplo: encontrando probabilidades para distribuições normais Encontre a probabilidade de que o cliente fique no mercado mais de 39 minutos. (Lembre-se: μ = 45 minutos e σ = 12 minutos.) slide 36

37 Solução: encontrando probabilidades para distribuições normais Distribuição normal μ = 45 σ = 12 P(x > 39) Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P(z > 0,50) P(x > 39) = P(z > 0,50) = 1 0,3085 = 0,6915 x 0,3085 0,50 0 z slide 37

38 Exemplo: encontrando probabilidades para distribuições normais Se 200 clientes entram no mercado, quantos deles você esperaria que permanecessem por mais de 39 minutos? Solução: Lembre-se: P(x > 39) = 0, (0,6915) =138,3 (ou cerca de 138) clientes slide 38

39 Exemplo: usando tecnologia para encontrar probabilidades normais Assuma que os níveis de colesterol em homens dos Estados Unidos são normalmente distribuídos, com uma média de 215 miligramas por decilitro e um desvio padrão de 25 miligramas por decilitro. Você seleciona aleatoriamente um homem dos Estados Unidos. Qual é a probabilidade de que seu nível de colesterol seja menor que 175? Use uma ferramenta tecnológica para encontrar a probabilidade. slide 39

40 Solução: usando tecnologia para encontrar probabilidades normais É preciso especificar a média, o desvio padrão, e o(s) valor(es) x(s) que determinam o intervalo. slide 40

41 Resumo da Seção 5.2 Encontramos probabilidades para valores normalmente distribuídos slide 41

42 Seção 5.3 Distribuições Normais: encontrando valores slide 42

43 Objetivos da Seção 5.3 Encontrar um escore z dada a área sob a curva normal Transformar um escore z em um valor x Encontrar o valor de um dado específico de uma distribuição normal dada a probabilidade slide 43

44 Encontrando valores dada uma probabilidade Na seção 5.2 foi dada uma variável aleatória x normalmente distribuída e foi pedido que encontrassem a probabilidade Nesta seção, será dada uma probabilidade e será pedido o valor da variável aleatória x 5.2 x z Probabilidade slide

45 Exemplo: encontrando um escore z dada uma área Encontre o escore z que corresponda à área cumulativa de 0,3632. Solução: 0,3632 z 0 z slide 45

46 Solução: encontrando um escore z dada uma área Localize 0,3632 no corpo da tabela normal padrão O escore z é 0,35. Os valores no começo da fileira correspondente e no topo da coluna fornecem o escore z slide 46

47 Exemplo: encontrando um escore z dada uma área Encontre o escore z que tenha 10,75% da área da distribuição à sua direita. Solução: 1 0,1075 = 0,8925 0,1075 slide 47 0 Porque a área à direita é 0,1075 e a área cumulativa é 0,8925. z z

48 Solução: encontrando um escore z dada uma área Localize 0,8925 no corpo da tabela normal padrão O escore z é 1,24. Os valores no começo da fileira correspondente e no topo da coluna fornecem o escore z slide 48

49 slide 49 Exemplo: encontrando um escore z dado um percentil Encontre o escore z que corresponda à P 5. Solução: O escore z que corresponde à P 5 é o mesmo escore z que corresponde à área de 0,05. 0,05 z 0 As áreas mais próximas de 0,05 na tabela são 0,0495 (z = 1,65) e 0,0505 (z = 1,64). Porque 0,05 está entre as duas áreas na tabela, use o escore z que está entre 1,64 e 1,65. O escore z é 1,645. z

50 Transformando um escore z em um escore x Para transformar um escore z para um valor x em uma dada população, use a fórmula: x = μ + zσ slide 50

51 Exemplo: encontrando um valor x As velocidades dos veículos em um trecho de uma rodovia são normalmente distribuídas, com uma média de 67 milhas por hora e um desvio padrão de 4 milhas por horas. Encontre as velocidades x correspondentes aos escores z de 1,96, 2,33 e 0. Solução: Use a fórmula x = μ + zσ z = 1,96: z = 2,33: z = 0: x = ,96(4) = 74,84 milhas por hora x = 67 + ( 2,33)(4) = 57,68 milhas por hora x = (4) = 67 milhas por hora Note que 74,84 mph está acima da média, e 67 mph é igual à média. slide 51

52 slide 52 Exemplo: encontrando um dado de valor específico As pontuações para um teste de serviço civil são normalmente distribuídos, com uma média de 75 e um desvio padrão de 6,5. Para ser adequado ao emprego de serviço civil, você precisa ter uma pontuação dentro dos primeiros 5%. Qual é a menor pontuação que você pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego? Solução: 1 0,05 = 0, ?? 5% z x Uma pontuação no teste acima dos primeiros 5% é qualquer pontuação acima do 95º percentil. Encontre o escore z que corresponda à área cumulativa de 0,95.

53 Solução: encontrando um dado de valor específico Pela tabela normal padrão, as áreas mais próximas de 0,95 são 0,9495 (z = 1,64) e 0,9505 (z = 1,65). Como 0,95 está entre as duas áreas na tabela, use o escore z que está entre 1,64 e 1,65, isto é, z = 1,645. 5% ,645? z x slide 53

54 Usando a equação x = μ + zσ x = ,645(6,5) 85,69 5% ,645 85,69 A pontuação mais baixa que você pode obter e ainda assim estar qualificado para o emprego é 86. z x slide 54

55 Resumo da Seção 5.3 Encontramos um escore z dada a área sob a curva normal Transformamos um escore z em um valor x Encontramos o valor de um dado específico de uma distribuição normal dada a probabilidade slide 55

56 Seção 5.4 Distribuições Amostrais e o Teorema do Limite Central slide 56

57 Objetivos da Seção 5.4 Encontrar distribuições amostrais e verificar suas propriedades Interpretar o Teorema do Limite Central Aplicar o Teorema do Limite Central para encontrar a probabilidade de uma média da amostra slide 57

58 Distribuições amostrais Distribuições amostrais A distribuição de probabilidades de uma estatística de amostragem Formadas quando amostras de tamanho n são repetidamente retiradas de uma população. Ex.: distribuição amostral de médias das amostras slide 58

59 Distribuições de amostras de médias amostrais População com μ, σ Amostra 3 x Amostra 1 3 Amostra 4 x Amostra 2 1 x 4 x 2 Amostra 5 x 5 A distribuição da amostragem consiste dos valores das médias amostrais, slide 59

60 Propriedades de distribuições de amostras de médias amostrais 1. A média das amostrais,, é igual à média populacional μ. 2. O desvio padrão das médias amostrais,, é igual ao desvio padrão da população, σ dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra, n. Chamado de erro padrão da média slide 60

61 Exemplo: distribuições de amostras de médias amostrais Os valores populacionais {1, 3, 5, 7} são escritos em pedaços de papel e postos em uma caixa. Dois pedaços de papel são aleatoriamente selecionados, sendo recolocados na caixa após cada seleção. a. Encontre a média, a variância e o desvio padrão da população. Solução: Média Variância slide 61 Desvio padrão

62 Probabilidade b. Faça o gráfico do histograma de probabilidade dos valores populacionais. Solução: 0.25 P(x) Histograma de probabilidade da população x Valores populacionais x Todos os valores têm a mesma probabilidade de serem selecionados (distribuição uniforme) slide 62

63 c. Liste todas as amostragens possíveis de tamanho n = 2 e calcule a média de cada amostragem. Solução: Amostragem x 1, 1 1, 3 1, 5 1, 7 3, 1 3, 3 3, 5 3, Amostragem x 5, 1 5, 3 5, 5 5, 7 7, 1 7, 3 7, 5 7, Essas médias formam a distribuição amostral das médias amostrais slide 63

64 d. Construa a distribuição de probabilidade das médias amostrais. Solução: xx f Probability f Probabilidade 1 1 0, , , , , , ,0625 slide 64

65 e. Encontre a média, a variância e o desvio padrão da distribuição amostral das médias amostrais. Solução: A média, a variância, e o desvio padrão de 16 amostras são: Esses resultados satisfazem as propriedades de distribuições de amostras de médias amostrais. slide 65

66 Probabilidade f. Faça o gráfico do histograma de probabilidade das médias amostrais. Solução: P(x) Histograma de probabilidade da distribuição amostral de 0,25 0,20 0,15 0,10 0, Média amostral 6 7 O gráfico é simétrico e em formato de sino. Aproxima-se de uma distribuição normal slide 66

67 O Teorema do Limite Central 1. Se amostragens de tamanho n 30 são tiradas de qualquer população de média = e desvio padrão =, slide 67 x então a distribuição de amostras da média amostral aproxima-se de uma distribuição normal. Quanto maior o tamanho da amostragem, melhor a aproximação. x x x x x x x x x x x x x

68 2. Se a própria população é normalmente distribuída, slide 68 a distribuição de amostras das médias amostrais é normalmente distribuída para qualquer tamanho de amostragem n. x x x x x x x x x x x x x x

69 Em ambos os casos, a distribuição de amostras de médias amostrais tem uma média igual à média da população. A distribuição da amostra de médias amostrais tem uma variância igual a 1/n vez a variância da população e um desvio padrão igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada de n. Variância Desvio padrão (erro padrão da média) slide 69

70 1. Distribuição populacional qualquer 2. Distribuição populacional normal Distribuição das médias amostrais (n 30) Distribuição das médias amostrais (n qualquer) slide 70

71 Exemplo: interpretando o Teorema do Limite Central As contas dos telefones dos habitantes de uma cidade têm uma média de $ 64 e um desvio padrão de $ 9. Amostragens aleatórias de 36 contas de telefone são tiradas dessa população e a média de cada amostragem é determinada. Encontre a média e o erro padrão da média da distribuição amostral. Então, esboce um gráfico da distribuição amostral das médias amostrais. slide 71

72 Solução: interpretando o Teorema do Limite Central A média da distribuição de amostras é igual à média da população O erro padrão da média é igual ao desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada de n slide 72

73 Já que o tamanho da amostragem é maior que 30, a distribuição das amostras pode ser aproximada por uma distribuição normal com slide 73

74 Exemplo: interpretando o Teorema do Limite Central As alturas das árvores de carvalho branco adultas são normalmente distribuídas, com uma média de 90 pés e um desvio padrão de 3,5 pés. Amostras aleatórias de tamanho 4 são tiradas dessa população, e a média de cada amostra é determinada. Encontre a média e o erro padrão da média da distribuição amostral. Então esboce um gráfico da distribuição amostral das médias amostrais. slide 74

75 Solução: interpretando o Teorema do Limite Central A média da distribuição amostral é igual à média populacional O erro padrão da média é igual ao desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada de n. slide 75

76 Já que a população é normalmente distribuída, a distribuição amostral da média amostral também é normalmente distribuída. slide 76

77 Probabilidade e o Teorema do Limite Central Para transformar x em um escore z slide 77

78 Exemplo: probabilidades para distribuições amostrais O gráfico mostra o tempo gasto pelas pessoas dirigindo a cada dia. Você seleciona aleatoriamente 50 motoristas de 15 até 19 anos. Qual é a probabilidade de que o tempo médio que eles gastem dirigindo diariamente esteja entre 24,7 e 25,5 minutos? Assuma que σ = 1,5 minutos. slide 78

79 Solução: probabilidades para distribuições amostrais A partir do Teorema do Limite Central (tamanho de amostragem é maior que 30), a distribuição amostral das médias amostrais é aproximadamente normal com slide 79

80 Distribuição normal μ = 25 σ = 0,21213 P(24,7 < x < 25,5) Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P( 1,41 < z < 2,36) 24,7 25 x 0,9909 0, ,5 1,41 0 2,36 z slide 80 P(24 < x < 54) = P( 1,41 < z < 2,36) = 0,9909 0,0793 = 0,9116

81 Exemplo: probabilidades para x e x Um auditor de um banco afirma que os balanços dos cartões de crédito são normalmente distribuídos com uma média de $ e um desvio padrão de $ Qual é a probabilidade de que um portador de cartão de crédito aleatoriamente selecionado tenha um balanço menor que $ 2.500? Solução: Foi pedido que encontrássemos a probabilidade associada com um certo valor da variável aleatória x. slide 81

82 Solução: probabilidades para x e x Distribuição normal μ = σ = 900 P(x < 2.500) Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P(z < 0,41) 0, x z P( x < 2.500) = P(z < 0,41) = 0,3409 slide 82

83 Exemplo: probabilidades para x e x 2. Você seleciona aleatoriamente 25 portadores de cartão de crédito. Qual é a probabilidade de que a média dos balanços dos seus cartões de crédito seja menor que $ 2.500? Solução: Foi pedido que encontrássemos a probabilidade associada com uma média amostral. slide 83

84 Solução: probabilidades para x e x Distribuição normal μ = σ = 180 Distribuição normal padrão μ = 0 σ = 1 P(x < 2.500) P(z < 2,06) slide ,0197 2,06 0 P( x < 2.500) = P(z < 2,06) = 0,0197 x z

85 Solução: probabilidades para x e x Existe uma chance de 34% para o indivíduo ter um balanço menor que $ Existe apenas 2% de chance para que a média de uma amostragem de 25 tenha um balanço menor que $ (evento incomum) É possível que a amostragem seja incomum ou é possível que a afirmação do auditor, de que a média é $ 2.870, seja incorreta slide 85

86 Resumo da seção 5.4 Encontramos distribuições amostrais e verificamos suas propriedades Interpretamos o Teorema do Limite Central Aplicamos o Teorema do Limite Central para encontrar a probabilidade de uma média da amostra slide 86