Distribuição Normal. Estatística Aplicada I DISTRIBUIÇÃO NORMAL. Algumas característica importantes. 2πσ

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Alexandre Klettenberg Affonso
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1 Estatística Aplicada I DISTRIBUIÇÃO NORMAL Prof a Lilian M. Lima Cunha AULA 5 09/05/017 Maio de 017 Distribuição Normal Algumas característica importantes Definida pela média e desvio padrão Media=mediana=moda µ pode ser +, - ou 0 Simétrica ao redor da média Função densidade se parece com um sino Área total abaixo curva = 1 ou 100% Notação: X ~N(µ,σ) Função densidade de probabilidade 1 f ( X ) = e πσ f(x) 1 X µ σ µ X 1

f(x) Desvio = 5 Desvio = 10 µ X Medias iguais, desvios diferentes (maior desvio, maior achatamento curva = maior dispersão Distribuição Normal (qualquer) 68,3% aprox.

2 f(x) Desvio = 5 Desvio = 10 µ X Medias iguais, desvios diferentes (maior desvio, maior achatamento curva = maior dispersão Distribuição Normal (qualquer) 68,3% aprox. dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de mais ou menos um desvio padrão de sua média 95,4% aprox. dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de mais ou menos dois desvios padrão de sua média 99,7% aprox. dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de mais ou menos tres desvios padrão de sua média 4

3 Variável aleatória que tem distribuição normal com media zero e desvio padrão = 1 possui uma Distribuição Normal Padrão x = variável aleatória z = variável aleatória normal padrão Uma vez que media= zero e desvio = 1, a fórmula da função de densidade normal padrão de probabilidade é uma versão simplificada Função densidade de probabilidade f ( X ) = 1 e πσ 1 X µ σ f ( X ) = 1 e π z f(x) µ X 3

4 Para que serve? Sabendo-se que a amostra possui distribuição normal, a partir do cálculo da média e desvio padrão da amostra (estimativas dos verdadeiros valores da população), pode-se construir a função densidade e, para quaisquer valores específicos, determina-se a área sob a curva entre esses dois valores. Ou seja, pode-se determinar a probabilidade de uma variável aleatória estar entre um intervalo de valores f(x) A área total abaixo da curva é igual a 1 a µ b X 7 Para distribuição normal padrão, as áreas sob a curva normal foram calculadas e estão disponíveis na tabela z 4

5 Calcular a probabilidade de o valor z correspondente à variável aleatória normal padrão estar: EXEMPLO 1? Resp = 0, ,0 Z Calcular a probabilidade de o valor z correspondente à variável aleatória normal padrão estar: EXEMPLO Resp = x 0,3413 = 0,686 EXEMPLO 3 Resp = 0,5 0,449 = 0,0571 5

6 Calcular a probabilidade de o valor z correspondente à variável aleatória normal padrão estar: EXEMPLO 4-0,5 Resp = 0, ,5 = 0,6915 EXEMPLO 5 Resp = 0,449 0,3413 = 0,1016 EXEMPLO 6 Resp = 0,5 0,1 = 0,4 (na tabela corresponde a 1,8) Para calcular probabilidades de qualquer distribuição normal EXEMPLO 7 6

7 EXEMPLO 8 Suponha que a variável aleatória retornos do contrato futuro de soja na bolsa de Chicago (100 retornos) possui distribuição normal com média 0,18% a.d. e desvio padrão igual a 1,17% a.d. Qual a probabilidade de se obter retorno entre 0,18% a.d. e % a.d.? Qual a probabilidade de se obter retorno superior a % a.d.? f(rt) 0,18%,00% Rt 13 Resposta Para resolver este tipo de problema é necessário usar uma transformação padronização Se X ~ Normal(µ,σ) Então Z ~ Normal(0,1) Z µ = X σ Existem valores tabelados para Z, mas não para os X s 14 7

8 Resposta P(0,0018 < R P ( 0 < Z < 1,56 ) P( R t t 0,0018 0,0018 0,0 0,0018 < 0,0) = P < Z < 0,0117 0,0117 = 0,4406 = 44,06% > %) = P( Z > 1,56) = 0,5 0,4406 = 5,94% 15 EXEMPLO 9 (Morettin, pg 74, exe.7) Uma v.a. tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10 Resp: P(90 X P ) = P Z ( 1 Z + 1) = 0, ,34134 = 0,6868 = 68,7% 8

9 Teorema do Limite Central Seja X uma variável aleatória de uma população com distribuição definida pelos parâmetros média µ e variância. Tomando uma amostra aleatória σ simples de tamanho n dessa população X 1, X,..., X n a distribuição da média amostral X se aproxima de uma distribuição normal com média µ e variância σ / n tornando-se a aproximação progressivamente melhor com o aumento do tamanho da amostra. 9

10 TLC ENTREGAR Um auditor de banco declara que as contas de cartões de crédito são normalmente distribuídas, com uma média de R$.870,00 e um desvio padrão de R$900,00. Qual é a probabilidade de que um titular de cartão de crédito aleatoriamente selecionado tenha uma conta menor que R$.500,00? Resp: 0,341 OU 34,1% aprox 10

11 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anderson, et al (007). Estatistica Aplicada à Administração e Economia. Cap 6 pgs Hoffmann, R. (006) Estatistica para Economistas, Pioneira, Thomson Learning, São Paulo Brasil Cap 8 pgs

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