Estatística Descritiva. Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD

Transcrição

1 Estatística Descritiva Prof. Paulo Cesar F. de Oliveira, BSc, PhD 1

2 Seção 2.3 Medidas de Tendência Central 2

3 Ø Medidas de Tendência Central Ø São valores de um conjunto de dados que representam uma entrada 4pica, ou central Ø Mais usadas Ø Média Ø Mediana Ø Moda 3

4 Ø Medidas de Tendência Central Ø Média Ø Soma de todas as entradas de dados dividida pelo número de entradas Ø Notação sigma: Σx = somar todas as entradas de dados (x) no conjunto de dados. Ø Média da População x µ = N Ø Média da Amostra x x = n 4

5 Ø Exemplo Média Ø Os preços (em dólares) para uma amostra de vôos entre Chicago e Cancun são listados abaixo. Qual é a média de preço dos vôos?

6 Ø Solução Ø A soma dos preços dos vôos é Σx = = 3695 Ø Para encontrar o preço médio divida a soma dos preços pelo número de preços na amostra x = x n = = 527,9 6

7 Ø Medidas de Tendência Central Ø Mediana Ø O valor que está no meio dos dados quando o conjunto dos dados é ordenado Ø Mede o centro de um conjunto de dados ordenado dividindo- o em duas partes iguais Ø Se o conjunto de dados possui um número de entradas: Ø ímpar: a mediana é o elemento do meio Ø par: a mediana será a média dos dois elementos centrais 7

8 Ø Exemplo Mediana Ø Os preços (em dólares) para uma amostra de vôos entre Chicago e Cancun são listados abaixo. Qual é a mediana dos preços dos vôos?

9 Ø Solução Ø Ordene os dados primeiro Ø Existem 7 entradas (número impar), portanto, a mediana é o valor do meio, ou a quarta entrada de dados 9

10 Ø Exemplo Mediana Ø O preço de $432 não está mais disponível. Qual é a mediana dos preços dos vôos restantes?

11 Ø Solução Ø Ordene os dados primeiro Ø Existem 6 entradas (número par), portanto, a mediana é média das duas entradas do meio. med = = =

12 Ø Medidas de Tendência Central Ø Moda Ø Entrada de dados que ocorre com mais frequência Ø Se nenhuma entrada é repe\da, o conjunto de dados não possui moda Ø Se duas entradas ocorrem com a mesma frequência elevada, cada é uma moda e são chamados de bimodais. 12

13 Ø Exemplo Moda Ø Os preços (em dólares) para uma amostra de vôos entre Chicago e Cancun são listados abaixo. Qual é a moda dos preços dos vôos?

14 Ø Solução Ø Ordene os dados primeiro Ø A entrada 397 ocorre duas vezes, enquanto que as outras ocorrem apenas uma vez. Ø Portanto a moda dos preços dos vôos é de $397 14

15 Ø Exemplo Moda Ø Em um debate polí\co, pediu- se que uma amostra dos membros do público citasse o par\do ao qual eles pertenciam. As respostas estão resumidas na tabela a seguir. Qual é a moda das respostas? Par\do Polí\co Frequência, f Democrata 34 Republicano 56 Outro 21 Não responderam 9 15

16 Ø Solução Par\do Polí\co Frequência, f Democrata 34 Republicano 56 Outro 21 Não responderam 9 A resposta que ocorre com mais frequência é Republicano. Desta forma a moda é Republicano. Isto significa que, nessa amostra, há mais republicanos do que pessoas de qualquer outra agremiação polí\ca. 16

17 Ø Medidas de Tendência Central Ø Comparando a Média, Mediana e a Moda Ø Todas as 3 medidas descrevem uma entrada 4pica de um conjunto de dados Ø Vantagem de usar a média Ø É a medida mais confiável porque leva em conta todas as entradas do conjunto Ø Desvantagem de usar a média Ø Muito afetada por dados discrepantes (outliers) Ø Um dado discrepante é aquele que está muito afastado dos outros dados do conjunto. 17

18 Ø Exemplo Comparando as 3 medidas Ø Encontre a média, a mediana e a moda da seguinte amostra de idades de uma classe. Qual é a medida de tendência central que melhor descreve uma entrada de dados? Existe algum dado estranho? Idades em uma classe Dado discrepante 18

19 Ø Solução Idades em uma classe Ø Média Ø Mediana Ø Moda x = Med = x n = = 23,75anos Moda = 20 anos = 21,5 anos 19

20 Ø Solução Comparando resultados Média 23,8 anos Mediana = 21,5 anos Moda = 20 anos Ø A média leva em conta todas as entradas, mas é influenciada pelo dado estranho de 65 Ø A mediana também leva em conta todas as entradas, mas não é afetada pelo dado estranho Ø Neste caso a moda existe, mas não parece representar uma entrada 4pica 20

21 Ø Solução Comparando resultados Ø Às vezes uma comparação gráfica pode ajudar na sua decisão sobre qual medida de tendência central melhor representa um conjunto de dados Nesse caso, parece que a mediana é a que melhor descreve o conjunto de dados. 21

22 Ø Medidas de Tendência Central Ø Média Ponderada Ø Média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variáveis. x = x w ( ) w Onde: w é o peso de cada entrada de x 22

23 Ø Exemplo Ø Você está assis\ndo a um curso no qual sua nota é determinada a par\r de cinco fontes: 50% da média de seus testes, 15% de seu exame no meio do curso, 20% de seu exame final, 10% de seu trabalho no laboratório de informá\ca e 5% do seu trabalho feito em casa. As suas notas são 86 (média dos testes), 96 (exame no meio do curso), 82 (exame final), 98 (laboratório de informá\ca) e 100 (trabalho de casa). Qual é a média ponderada de suas notas? 23

24 Ø Solução Fonte Notas, x Pesos, w x w Média dos Testes 86 0,50 86x0,50= 43,0 Exame do Meio 96 0,15 96x0,15 = 14,4 Exame Final 82 0,20 82x0,20 = 16,4 Laboratório de Informá\ca 98 0,10 98x0,10 = 9,8 Trabalho de casa 100 0,05 100x0,05 = 5,0 Σw = 1 Σ(x w) = 88,6 x = x w ( ) w = 88,6 1 = 88,6 24

25 Ø Medidas de Tendência Central Ø Média de Dados Agrupados Ø Média de uma Distribuição de Freqüência x = x f ( ) n Observe que: n = f Onde: x e f são respec\vamente os pontos médios e as frequências de uma classe 25

26 Ø Média de uma Distribuição de Freqüência Em Palavras 1. Calcule o ponto médio de cada classe. 2. Calcule a soma dos produtos entre os pontos médios e as freqüências. 3. Calcule a soma das freqüências. x = 4. Calcule a média da distribuição de freqüência. x = Em Símbolos lim inf ( ) + ( lim sup) n = x f ( ) 26 2 x f ( ) f n

27 Ø Exemplo Ø Use a distribuição de freqüência ao lado para aproximar a média do número de minutos que uma amostra de internautas gastou durante sua navegação mais recente na rede. Classe Ponto Médio Frequência, f , , , , , , ,5 2 27

28 Ø Solução Classe Ponto Médio, x Freqüência, f (x f) ,5 6 12,5x6 = 75, , ,5x10 = 245, , ,5x13 = 474, ,5 8 48,5x8 = 388, ,5 5 60,5x5 = 302, ,5 6 72,5x6 = 435, ,5 2 84,5x2 = 169,0 n = 50 Σ(x f) = 2089,0 x = x f ( ) n x = ,8 28

29 Ø Aspecto das Distribuições Ø Um gráfico revela várias caracterís\cas de uma distribuição de freqüência. Uma delas é o aspecto. Ø Simétrica quando pode- se traçar uma linha ver\cal pelo ponto médio do gráfico de distribuição e as duas metades resultantes forem aproximadamente imagens espelhadas Ø Uniforme (retangular) quando todas as entradas, ou classes, na distribuição \verem frequências iguais. Ela também é simétrica. Ø Assimétrica se a cauda do gráfico se prolongar mais de um lado do que o outro. Ø Uma distribuição será assimétrica à esquerda se a sua cauda se prolongar para a esquerda. Ø Uma distribuição será assimétrica à direita se sua cauda se prolongar para a direita. 29

30 Ø Aspecto das Distribuições Uma linha ver\cal pode ser desenhada no meio do gráfico de distribuição e as metades resultantes se parecem com imagens espelhadas Média = Mediana = Moda 30

31 Todas as entradas na distribuição têm frequências iguais ou quase iguais Média = Mediana 31

32 Ø Aspecto das Distribuições Ø Assimétrica nega\vamente Ø A cauda do gráfico alonga- se mais à esquerda Ø A média fica à esquerda da mediana Média < Mediana 32

33 Ø Aspecto das Distribuições Ø A cauda do gráfico alonga- se mais à direita Ø A média fica à direita da mediana Média > Mediana 33

34 Seção 2.4 Medidas de Variação 34

35 Ø Medidas de Variação Ø Indicam o quanto os dados se apresentam dispersos (espalhados) em torno da região central Ø Caracterizam, portanto, o grau de variação existente no conjunto de valores Ø Mais usadas Ø Amplitude Total Ø Desvio- padrão Ø Variância 35

36 Ø Medidas de Variação Ø Amplitude Total Ø É a diferença entre as entradas máxima e a mínima do conjunto. Ø Os dados devem ser quan\ta\vos Amplitude Total = (entrada máxima) (entrada mínima) 36

37 Ø Exemplo Ø Uma empresa contratou 10 pessoas com curso superior. O salário inicial dessas pessoas é mostrado a seguir. Salário inicial (em milhares de dólares)

38 Ø Solução Ø Deve- se colocar os dados em ordem para determinar o menor e o maior salário mínimo máximo Amplitude Total = salário máx. salário mín. = = 10 38

39 Ø Medidas de Variação Ø Desvio Ø Diferença entre a entrada e a média do conjunto de dados. Ø Conjunto de dados de uma população Desvio de x = x µ Ø Conjunto de dados de uma amostra Desvio de x = x x 39

40 Ø Exemplo Ø Uma empresa contratou 10 pessoas com curso superior. O salário inicial dessas pessoas é mostrado a seguir. Salário inicial (em milhares de dólares)

41 Ø Solução Ø Calcula- se primeiramente o salário médio inicial µ = = 41,5 Ø Depois calcula- se o desvio para cada entrada de dados Salário, x Desvio: x µ ,5 = 0, ,5 = 3, ,5 = 2, ,5 = 3, ,5 = 5, ,5 = 0, ,5 = 2, ,5 = 0, ,5 = 4, ,5 = 0,5 Σx = 415 Σ(x µ) = 0 41

42 Ø Medidas de Variação Ø Variância Populacional σ 2 = ( x µ ) 2 N Ø Desvio Padrão Populacional Soma dos quadrados, SS x σ = σ 2 = ( x µ ) 2 N 42

43 Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Populacional Populacional Em Palavras 1. Calcule a média do conjunto de dados. Em Símbolos µ = x N 2. Calcule o desvio de cada entrada. 3. Eleve cada desvio ao quadrado. 4. Some os resultados para obter a soma dos quadrados. x µ ( x µ ) 2 SS x = ( x µ ) 2 43

44 Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Populacional Populacional Em Palavras 5. Divida por N para obter a variância populacional. 6. Calcule raiz quadrada para obter o desvio padrão populacional. Em Símbolos σ 2 = σ = ( x µ ) 2 N ( x µ ) 2 N 44

45 Ø Exemplo Ø Uma empresa contratou 10 pessoas com curso superior. Os salários iniciais para cada um delas são mostrados abaixo. Calcule a variância e o desvio padrão populacional para esses salários. Salário inicial (em milhares de dólares)

46 Ø Solução Ø Lembre- se que: µ = = 41,5 Ø Calcule SS x Ø N = 10 σ 2 = 88,5 10 = 8,85 σ = 8,85 2,97 Salário, x Desvio: x µ Quadrados: (x µ) ,5 = 0,5 ( 0,5) 2 = 0, ,5 = 3,5 ( 3,5) 2 = 12, ,5 = 2,5 ( 2,5) 2 = 6, ,5 = 3,5 (3,5) 2 = 12, ,5 = 5,5 (5,5) 2 = 30, ,5 = 0,5 ( 0,5) 2 = 0, ,5 = 2,5 (2,5) 2 = 6, ,5 = 0,5 ( 0,5) 2 = 0, ,5 = 4,5 ( 4,5) 2 = 20, ,5 = 0,5 (0,5) 2 = 0,25 Σ(x µ) = 0 SS x = 88,5 46

47 Ø Medidas de Variação Ø Variância Amostral s 2 = ( x x ) 2 n 1 Ø Desvio Padrão Amostral Soma dos quadrados, SS x s = s 2 = ( x x ) 2 n 1 47

48 Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Amostral Em Palavras Em Símbolos 1. Calcule a média do conjunto de dados amostrais. x = x n 2. Calcule o desvio de cada entrada. 3. Eleve cada desvio ao quadrado. 4. Some os resultados para obter a soma dos quadrados. x x ( x x ) 2 SS x = ( x x ) 2 48

49 Ø Obtendo a Variância e o Desvio Padrão Amostral APopulacional Em Palavras 5. Divida por n 1 para obter a variância amostral. 6. Calcule raiz quadrada para obter o desvio padrão amostral. Em Símbolos s 2 = s = ( x x ) 2 n 1 ( x x ) 2 n 1 49

50 Ø Exemplo Ø Os salários iniciais abaixo são para as filiais de Chicago de uma grande empresa. Esta empresa possui outras filiais e você planeja usar esses salários para es\mar os salários iniciais de uma população maior. Calcule o desvio padrão amostral. Salário inicial (em milhares de dólares)

51 Ø Solução Ø Lembre- se que: x = = 41,5 Ø Calcule SS x Ø n = 10 s 2 = 88, ,83 s = 9,83 3,14 Salário, x Desvio: x x Quadrados: (x x) ,5 = 0,5 ( 0,5) 2 = 0, ,5 = 3,5 ( 3,5) 2 = 12, ,5 = 2,5 ( 2,5) 2 = 6, ,5 = 3,5 (3,5) 2 = 12, ,5 = 5,5 (5,5) 2 = 30, ,5 = 0,5 ( 0,5) 2 = 0, ,5 = 2,5 (2,5) 2 = 6, ,5 = 0,5 ( 0,5) 2 = 0, ,5 = 4,5 ( 4,5) 2 = 20, ,5 = 0,5 (0,5) 2 = 0,25 Σ(x x) = 0 SS x = 88,5 51

52 Ø Medidas de Variação Ø Interpretando o Desvio Padrão Ø Desvio Padrão mede o quanto uma entrada 4pica se desvia da média Ø Quanto mais espalhadas as entradas estão, maior será o desvio padrão. 52

53 Ø Medidas de Variação Ø Interpretando o Desvio Padrão Ø Vários conjuntos de dados da vida real têm distribuições com a forma aproximada de um sino. Ø Existe para isto uma regra empírica para ajudar a ver o desvio padrão como medida de variação Ø Cerca de 68% dos dados estão dentro de 1 desvio padrão da média Ø Cerca de 95% dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média Ø Cerca de 99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média 53

54 Ø Interpretando o Desvio Padrão Regra Empírica 99,7% dentro de 3 desvios padrão 95% dentro de 2 desvios padrão 68% dentro de 1 desvio padrão 34% 34% 2,35% 2,35% 13,5% 13,5% x 3s x 2s x s x x + s x + 2s x + 3s 54

55 Ø Exemplo Ø Em um levantamento conduzido pelo Na\onal Center for Health Sta\s\cs (Centro Nacional de Esta4s\ca da Saúde), a média da amostra de alturas de mulheres nos Estados Unidos com idade entre 20 e 29 anos foi de 64 polegadas, com desvio padrão amostral de 2,75 polegadas. Es\me o percentual de mulheres cujas alturas estão entre 64 e 69,5 polegadas. 55

56 Ø Solução Ø Como a distribuição possui a forma de sino, usa- se a regra empírica 34% x + 2s = 64 + (2 2,75) = 69,5 34% +13,5% = 47,5% 13,5% 55,75 58,5 61, ,75 69,5 72,25 x 3s x 2s x s x x + s x + 2s x + 3s 56

57 Ø Medidas de Variação Ø Interpretando o Desvio Padrão Ø Teorema de Chebychev Ø A parcela de qualquer conjunto de dados que está dentro de k desvios padrão (k > 1) da média é pelo menos 1 1 k Ø k = 2: em qualquer conjunto de dados, pelo menos 2 = ou 75% dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média Ø k = 3: em qualquer conjunto de dados, pelo menos = ,9% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média ou 57

58 Ø Exemplo Ø A distribuição de idade para a Flórida é mostrada no histograma abaixo. Aplique o Teorema de Chebychev aos dados usando k = 2. O que você pode concluir? 58

59 Ø Solução k = 2: µ 2σ = 39,2 2 24,8 = 10,4 µ + 2σ = 39, ,8 = 88,8 (use 0 já que idade não pode ser nega\va) Pelo menos 75% da população da Flórida está entre 0 e 88,8 anos de idade. 59

60 Ø Medidas de Variação Ø Desvio Padrão para dados agrupados Ø Desvio Padrão Amostral de uma distribuição de frequência s = ( x x ) 2 f n 1 Onde: n = f (Número de entradas no conjunto de dados) Quando uma distribuição de frequência possui classes, usa- se o ponto médio de cada classe para calcular a média e o desvio padrão amostral. 60

61 Ø Exemplo Ø Você coletou uma amostra aleatória do número de crianças por família em uma região. Os resultados estão dispostos na tabela correspondente. Determine a média e o desvio padrão da amostra do conjunto de dados. Número de crianças em 50 famílias

62 Ø Solução Ø Primeiro construa a distribuição de freqüência Ø Calcule a média da freqüência de distribuição x = (xf ) n = ,8 x f xf = = = = = = = 24 n =Σf = 50 Σ(xf ) = 91 62

63 Ø Solução Ø Calcule a soma dos quadrados x f x x (x x) 2 (x x) 2 f ,8 = 1,8 ( 1,8) 2 = 3,24 3,24 10 = 32, ,8 = 0,8 ( 0,8) 2 = 0,64 0,64 19 = 12, ,8 = 0,2 (0,2) 2 = 0,04 0,04 7 = 0, ,8 = 1,2 (1,2) 2 = 1,44 1,44 7 = 10, ,8 = 2,2 (2,2) 2 = 4,84 4,84 2 = 9, ,8 = 3,2 (3,2) 2 = 10,24 10,24 1 = 10, ,8 = 4,2 (4,2) 2 = 17,64 17,64 4 = 70,56 Σ = 145,4 63

64 Ø Solução Ø Calcule o desvio padrão amostral s = ( x x ) 2 f n 1 = 145, = 145,4 49 1,7 64

65 Seção 2.5 Medidas de Posição 65

66 Ø Medidas de Posição Ø Descrevem a posição de um valor de dados específico possui em relação ao resto dos dados Ø Mais usadas Ø Quar\s Ø Percen\s Ø Decis Ø Escore padrão (z- score) 66

67 Ø Medidas de Posição Ø Frac/s são números que dividem um conjunto de dados ordenado em partes iguais Ø Quar/s são números que dividem um conjunto de dados ordenado em 4 partes iguais Ø Primeiro quar/l Q 1 : cerca de um quarto dos dados fica dentro ou abaixo Ø Segundo quar/l Q 2 : cerca da metade dos dados fica dentro ou abaixo (mediana) Ø Terceiro quar/l Q 3 : cerca de três quartos dos dados fica dentro ou abaixo 67

68 Ø Exemplo Ø A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento está disposto a seguir. Obtenha o primeiro, segundo e terceiro quar\s da pontuação dos testes

69 Ø Solução Ø Primeiro ordene os dados e obtenha Q 2 Metade Inferior Metade Superior Q 2 Ø Q 2 divide o conjunto de dados em 2 metades (mediana) 69

70 Ø Solução Ø O primeiro (Q 1 ) e terceiro (Q 3 ) quar\s são as medianas das metades inferior e superior Metade Inferior Metade Superior Q 1 Q 2 Q 3 Ø Cerca de um quarto dos empregados fez 10 pontos ou menos, cerca da metade fez 15 pontos ou menos e cerca de três quartos conseguiu 18 pontos ou menos. 70

71 Ø Medidas de Posição Ø Amplitude Interquar/l (AIQ) Ø Diferença entre o terceiro e o primeiro quar\s AIQ = Q 3 Q 1 71

72 Ø Exemplo Ø Obtenha a amplitude interquar\l da pontuação nos 15 testes dados no exemplo anterior. 72

73 Ø Solução Ø Lembre- se que Q 1 = 10, Q 2 = 15, e Q 3 = 18 Ø Então AIQ = Q 3 Q 1 =18 10 = 8 Ø Isso significa que as pontuações no teste na metade do conjunto de dados variam no máximo em 8 pontos. 73

74 Ø Medidas de Posição Ø Plote Maria- Chiquinha (Box- and- whisker plot) Ø Ferramenta de análise exploratória de dados Ø Realça caracterís\cas importantes de um conjunto de dados Ø Requer os seguintes valores (resumo cinco- números) Ø Entrada mínima Ø Primeiro quar\l Q 1 Ø Mediana Q 2 Ø Terceiro quar\l Q 3 Ø Entrada máxima 74

75 Ø Desenhando um Plote Maria- Chiquinha Ø Obtenha o resumo cinco- números Ø Construa uma escala horizontal que abranja a amplitude total (AT) dos dados Ø Plote os 5 números acima da escala horizontal Ø Faça uma caixa acima da escala horizontal de Q 1 a Q 3 e trace uma reta ver\cal na caixa passando por Q 2 Ø Faça as tranças a par\r da caixa para as entradas mínima e máxima Trança Caixa Trança Entrada mínima Q 1 Mediana, Q 2 Q 3 Entrada máxima 75

76 Ø Exemplo Ø Faça um plote maria- chiquinha que represente a pontuação dos 15 testes dados no exemplo anterior. O que você pode concluir do gráfico?

77 Ø Solução Ø O resumo cinco- números das pontuações Min = 5 Q 1 = 10 Q 2 = 15 Q3 = 18 Max = Ø Cerca da metade das pontuações está entre 10 e 18. Ø Olhando para o comprimento da trança direita pode- se concluir que 37 é um possível dado discrepante (outlier). 77

78 Ø Medidas de Posição Ø Percen/s e outros frac/s Frac/s Resumo Símbolos Quar\s Decis Percen\s Divide o conjunto de dados em 4 partes iguais Divide o conjunto de dados em 10 partes iguais Divide o conjunto de dados em 100 partes iguais Q 1, Q 2, Q 3 D 1, D 2, D 3,, D 9 P 1, P 2, P 3,, P 99 78

79 Ø Exemplo Interpretando os percen/s Ø O gráfico de freqüência acumulada para a pontuação no teste SAT (teste de lógica) do ano 2000 está representado no gráfico. Que pontuação representa o 72 percen\l? Como interpretar isso? (Fonte: College Board Online) 79

80 Ø Solução Ø O 72 percen\l corresponde a uma pontuação no teste de 1700 Ø Isto significa que 72% dos estudantes \veram uma pontuação no SAT de 1700 ou menos 80

81 Ø Medidas de Posição Ø Escore Padrão (z- score ou escore- z) Ø Representa o número de desvios padrão no qual está um valor dado x a par\r da média m. z = valor média desvio padrão = x µ σ 81

82 Ø Exemplo 1 Ø A velocidade média dos veículos ao longo de um trecho de uma estrada é de 56 milhas por hora (mph), com desvio padrão de 4 mph. Foram medidas as velocidades de 3 carros ao longo da estrada, obtendo- se respec\vamente 62 mph, 47 mph e 56 mph. Calcule o escore z correspondente a cada velocidade. O que você pode concluir? 82

83 Ø Solução x = 62 mph x = 47 mph x = 56 mph z = =1,5 z = = 2,25 z = = 0 Ø Conclui- se que a velocidade de 62 mph está 1,5 desvios padrão acima da média, a de 47 mph está 2,25 desvios padrão abaixo da média e a de 56 mph é igual à média 83

84 Ø Exemplo 2 Ø Em 2007, o ator Forest Whitaker ganhou o Oscar de melhor ator, aos 45 anos de idade, por sua atuação no filme O Úl4mo Rei da Escócia. A atriz Helen Mirren ganhou o prêmio de melhor atriz aos 61 anos por seu papel em A Rainha. A idade média para todos os vencedores do prêmio de melhor ator é 43,7, com desvio padrão de 8,8. A idade média para as vencedoras do prêmio de melhor atriz é 36, com desvio padrão de 11,5. Encontre o escore z que corresponda à idade de cada ator ou atriz. Depois, compare os resultados. 84

85 Ø Solução Ø Forest Whitaker x µ z = = σ Desvio padrão 0,15 acima da média Ø Helen Mirren x µ z = = σ Desvio padrão 2,17 acima da média 85

86 Ø Solução Escores muito incomuns Escores não comuns Escores comuns Escore z z = 0.15 z = 2.17 O escore z correspondente à idade de Helen Mirren é mais de dois desvios padrão da média, então é considerado incomum. Comparado a outras vencedoras do prêmio de melhor atriz, ela é rela\vamente mais velha, enquanto a idade de Forest Whitaker é pouco acima da média dos ganhadores do prêmio de melhor ator. 86