Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas

Transcrição

1 Métodos Experimentais em Ciências Mecânicas Professor Jorge Luiz A. Ferreira

2 Função que descreve a chance que uma variável pode assumir ao longo de um espaço de valores. Uma distribuição de probabilidade pode ser discreta (como em um jogo de dados) ou contínua. É comum o uso de funções que se ajustem à distribuição de probabilidade.

3 Aprox. da F.D.P Função Amostral Intervalo, h f.d.p

4 Propriedades Básicas das Funções de Distribuição

5 Para ajudar a proteger sua privacidade, o PowerPoint impediu o download automático desta imagem externa. Para baixar e exibir esta imagem, clique em Opções na Barra de Mensagens e clique em Habilitar conteúdo externo. Universidade de Brasília Importantes Distribuição Normal A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições da estatística, conhecida também como Distribuição de Gauss ou Gaussiana. Foi desenvolvida pelo matemático francês Abraham de Moivre Além de descrever uma série de fenômenos físicos e financeiros, possui grande uso na estatística inferencial. É inteiramente descrita por seus parâmetros de média e desvio padrão, ou seja, conhecendo-se estes consegue-se determinar qualquer probabilidade em uma distribuição Normal.

6 Importantes Distribuição Normal - Propriedades Suas média, mediana e moda são iguais. Tem forma de sino e é simétrica em torno da média. x

7 Importantes Distribuição Normal - Propriedades À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca.. Os pontos de inflexão da curva distam de 1 desvio padrão em relação ao centro da distribuição.

8 Importantes Distribuição Normal - Propriedades σ = desvio padrão µ = média pontos de inflexão assíntota σ µ σ assíntota

9 Importantes Distribuição Normal - Propriedades Alteração da média implica numa translação da curva N(µ,σ) N(µ+4,5,σ) N(µ+8,σ) µ 4,5 8,0

10 Importantes Distribuição Normal - Propriedades Alteração do Desvio Padrão implica em uma Variação da Forma σ > σ > σ µ

11 Importantes Distribuição Normal - Propriedades 68% Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média. Cerca de 99,7% da área está a três desvios padrão da média. Cerca de 95% da área está a dois desvios padrão.

12 Importantes Distribuição Normal Representação Matemática Uma variável aleatória x possui distribuição normal se a sua função densidade de probabilidade for igual a: f ( x ; µ, σ ) = σ 1 π exp ( x µ ) σ onde σ e µ são números reais positivos enquanto x pode assumir qualquer valor real entre - e +.

13 Importantes Distribuição Normal Representação Matemática Gráfico da função de distribuição acumulada F(x) = P(X x) onde x é uma variável aleatória normal padrão, isto é, com média µ = 0 e desvio padrão σ =1.

14 Importantes Distribuição Normal Representação Simbólica Usa-se a simbologia x ~ N( µ, σ para indicar que x é uma variável aleatória com distribuição normal de probabilidade, possuindo esperança µ e desviopadrão σ. Quando µ = 0 e σ = 1, a distribuição de x recebe o nome de distribuição padrão ou reduzida. Neste caso, usa-se a letra z para representar esta variável. Assim, z ~ N( 0, 1 ) )

15 Importantes Distribuição Normal Padrão A distribuição normal padrão é importante pois, se X for uma variável aleatória normal, com média µ e desvio-padrão σ, então a variável z definida por: z = x µ σ possui uma distribuição normal padrão ou normal reduzida, aquela cuja média é zero e desvio-padrão igual a 1. Esta é a fórmula de conversão de uma distribuição normal com média µ e desvio-padrão σ numa distribuição normal padrão com média zero e desvio-padrão igual a 1.

16 Importantes Distribuição Normal Padrão Representação Matemática Função Densidade de Probabilidade Normal Padrão f 1 1 ( z) exp z π = f(z) Função Distribuição de Probabilidade Acumulada F( z) z = s 1 1 = exp s ds π F(z)

17 Importantes Distribuição Normal Padrão Cálculo de Probabilidade Se x é uma variável aleatória com distribuição Normal com média µ e desvio-padrão σ, a probabilidade de x cair no intervalo a < x < b é P ( a < x < b) = = F( α) β s = α F( β ) 1 exp π µ α = a µ β = b σ σ 1 s ds

18 Importantes Distribuição Normal Combinação Linear de V.A. Normais Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição Normal, σ x σ y tal que E(X) = µ x Var(X) =, E(Y) = µ y, Var(Y)=, a, b e c constantes. Então, a variável aleatória Z = a X + b Y + c tem distribuição Normal com µ z = a µ x + b µ y + c Var ( z) = a Var( x) + b Var( y) Em particular, a soma ou a diferença de duas ou mais variáveis aleatórias Normais é também uma variável aleatória Normal

19 Importantes Distribuição Normal Campo de Aplicação Campo de Aplicação Estudo do Comportamento de Propriedades Mecânicas, Elétricas, Químicas, etc Ensaios Resistência a Tração de Materiais Ferrosos e Não-Ferrosos, Variação da Temperatura Ambiente, Consumo de Energia, Dimensões de Peças, Medida de Resistência de Resistores, Velocidade de Moléculas gases, Desgaste de Peças, Pressão nas Câmara de Disparo de Munições etc