Tipos de variáveis aleatórias

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1 Tipos de variáveis aleatórias Variáveis aleatórias discretas se assumem um conjunto finito ou infinito numerável de valores. Exemplos: número de pintas que sai no lançamento de um dado; registo, a intervalos regulares, do número de pessoas em fila espera na caixa de um supermercado; Variáveis aleatórias contínuas são as susceptíveis de tomar qualquer valor real num dado intervalo, que pode ser a recta real.(definição mais rigorosa será dada à frente) Exemplos: o peso de um indivíduo; o comprimento de um folha; Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 29/42

2 Variáveis aleatórias discretas Seja X uma v.a. tomando n valores, x 1,...,x n, cada um deles ocorrendo com probabilidades p 1,...,p n, respectivamente, i.e., p i = P[X = x i ], ( i = 1,,n). Definição Chama-se função massa de probabilidade da v.a. X à aplicação p i que associa a cada valor da variável aleatória uma probabilidade. Uma função massa de probabilidade satisfaz: p i 0,i = 1,...,n n i=1 p i = 1. Nota: Se a v.a. tomar uma infinidade numerável de valores tem-se p i 0, i 1 i=1 p i = 1. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 30/42

3 Variáveis aleatórias discretas Chama-se distribuição de probabilidade da v.a. X ao conjunto de pares (x i,p i ) i=1, n. Habitualmente a lei (distribuição) de probabilidade da v.a. X dispõe-se na forma: x 1 x 2... x n X = p 1 p 2... p n A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória discreta é assim calculada F(x) = P[X x] = x i xp[x = x i ]. Exemplo: Resolva os exercícios 25 e 26 das folhas de práticas Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 31/42

4 Exemplo O número de esquentadores vendidos diariamente num estabelecimento é uma variável aleatória, X, com a seguinte distribuição de probabilidade X = a) Escreva a função distribuição cumulativa de X e represente-a graficamente. b) Determine P[1 X 3]. Interprete esta probabilidade. c) Se cada esquentador é vendido por 150 Euros qual é a distribuição de probabilidade da receita bruta da venda de esquentadores por dia. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 32/42

5 Funções de variáveis aleatórias discretas A resolução da alínea c) é formalmente justificada pelo seguinte resultado: 1 ō caso Transformação de uma variável aleatória discreta Seja X uma v. a. discreta, com lei de probabilidade (x i,p i ) i=1, n, e Y = ϕ(x) uma função de X. Então Y é também uma v. a. discreta com lei de probabilidade (ϕ(x i ),p i ) i=1, n. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 33/42

6 Variáveis aleatórias contínuas Definição Uma variável aleatória diz-se contínua se existe uma função real de variável real, f, não negativa, tal que x F(x) = f(t) dt < x < Definição A função f diz-se função densidade de probabilidade ou apenas função densidade. Deve verificar as seguintes condições: Nota: f(x) = f(x) 0 F (x) x IR; + f(x) dx = 1 nos valores de x onde existe derivada 0 nos outros valores de x. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 34/42

7 Variáveis aleatórias contínuas Observações: b a f(x) dx = F(b) F(a) = P(a < X b) = P(a X b) Como F(x) = x f(t) dt, e f(.) 0 a função de distribuição representa a área da região compreendida entre o eixo das abcissas e o gráfico de f. Dados a e b, tais que a < b então F(b) F(a) é a área compreendida entre x = a, x = b, o eixo das abcissas e o gráfico de f(.). Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 35/42

8 Exemplo (Exame de ) Considere a função assim definida f(x) = ax 0 x < 1 a 1 x < 2 ax + 3a 2 x < 3 0 outros valores de x. a) Determine o valor da constante a, para que f seja uma função densidade de uma v.a. X. b) Determine a função de distribuição cumulativa de X c) Calcule P[ X > < X 3] d) Determine a função densidade da variável Y = 2X + 1 Nota - Para resolver a alínea d) temos o seguinte resultado: Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 36/42

9 Funções de variáveis aleatórias contínuas 2 ō caso: Transformação de uma variável aleatória contínua Seja X é uma v.a. contínua com função densidade f X (x) e Y = ϕ(x), onde ϕ(.) função estritamente monótona e derivável em todos os pontos do seu domínio. Então a função densidade da v.a. Y, f Y (y), é definida como f Y (y) = f X (x) dx dy, com x = ϕ 1 (y). Exercício Vamos resolver o exercício 30 das folhas de práticas. E ainda... qual será a função densidade da v.a. que designa o preço de cada coelho, se cada quilo custar 8 euros? Já agora,... quanto pesa, em média, um coelho nas condicões do exercício??? Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 37/42

10 Parâmetros de uma variável aleatória Definição Dada uma v.a. X chama-se valor médio, esperança matemática, valor esperado ou média e representa-se por E[X], µ X ou simplesmente µ a n i=1 x i p i se X v.a. discreta com distribuição (x i,p i ) (i = 1,..., n) x f(x) dx se X v.a. contínua com densidade f(x). Observação: Se X for v.a. discreta com uma infinidade numerável de valores tem-se E[X] = i=1 x i p i. Neste caso só existe valor médio se a série for absolutamente convergente. Analogamente, no caso contínuo, só existe valor médio, E[X] = x f(x) dx, se o integral for absolutamente convergente. Resposta ao exercício anterior?? Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 38/42

11 Valor Médio Se X é uma v.a. e Y = ϕ(x) é uma função real de variável real, tem-se E[ϕ(X)] = i ϕ(x i ) p i se X é v.a. discreta com distribuição (x i,p i + E[ϕ(X)] = ϕ(x) f(x) dx se X é v.a. contínua com f.d.p. f(x) Mais uma vez, para que exista valor médio exige-se a convergência absoluta da série (no caso de se tratar de uma v.a. discreta com uma infinidade de valores) ou a convergência absoluta do integral. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 39/42

12 Propriedades do valor médio 1. Linearidade E[a] = a. E[a + bx] = a + b E[X]. E[ϕ(X) + ψ(x)] = E[ϕ(X)] + E[ψ(X)] 2. Positividade Se X 0, i.e. a variável toma apenas valores 0, tem-se E[X] inf(x) E[X] sup(x) Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 40/42

13 Variância Definição: Chama-se variância de uma varivel aleatória X e representa-se por V ar[x], σx 2 ou apenas σ2 a E [ (X µ) 2] σ X = V ar[x] chama-se desvio padrão. Exercício: Verifique que se pode escrever V ar[x] = E[X 2 ] µ 2 Propriedades da variância 1. V ar[x] 0 2. V ar[a + b X] = b 2 V ar[x]. Para o desvio padrão tem-se σ (a+b X) = b σ X Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 41/42

14 Exemplo Seja X a v.a. que designa a duração (em minutos) de cada chamada telefónica efectuada num certo local, cuja função densidade é x e x x > 0 f(x) = 0 x 0 a) Mostre que f é de facto uma função densidade. b) Determine a função de distribuição cumulativa de X. c) Qual a probabilidade de uma chamada ter uma duração entre 30 segundos e 2 minutos? d) Calcule a duração média de uma chamada telefónica. e) Calcule a variância de X. Manuela Neves - ISA - 05/06 p. 42/42

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