Recorrendo à nossa imaginação podemos tentar escrever números racionais de modo semelhante: 1 2 =

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1 1 Introdução Comecemos esta discussão fixando um número primo p. Dado um número natural m podemos escrevê-lo, de forma única, na base p. Por exemplo, se m = 15 e p = 3 temos m = Podemos tentar fazer algo semelhante para os inteiros negativos. Por analogia com as séries de potências obtemos a seguinte igualdade, ainda sem qualquer significado: 1 = (p 1) + (p 1)p + (p 1)p 2 + Recorrendo à nossa imaginação podemos tentar escrever números racionais de modo semelhante: 1 2 = Outro modo de olhar para estas séries de potências, i=0 a ip i, é como sequências infinitas (b 1, b 2, b 3, ) onde b i = a 0 + a 1 p + + a i 1 p i 1. Portanto estes b i são as reduções mod p i da série em questão. Definição 1.1 Seja π n : Z/p n+1 Z Z/p n Z a projecção canónica. O anel dos inteiros p-ádicos, Z p, define-se como: (b i) Z/p i Z b i = π i (b i+1 ), i 1 i 1 As operações de soma e producto são definidas termo-a-termo. Podemos definir uma inclusão i : Z Z p tomando i(n) = (n mod p, n mod p 2, ). Repare-se que podemos usar esta inclusão para os números racionais que têm denominador invertível mod p, ou seja, cujo denominador não é múltiplo de p. No entanto, estão a escapar-nos ainda alguns números racionais como, por exemplo, o número 1 p. Definição 1.2 O corpo dos números p-ádicos, Q p, define-se como o corpo de fracções de Z p. De forma alternativa, temos Q p = k Z pk Z p. Na linguagem das séries infinitas, os números p-ádicos correspondem a começar a série um pouco antes (em analogia com as séries de Laurent versus séries de Taylor). exemplo, 1 6 = Por

2 2 Métricas em Q Vamos agora voltar a terrenos conhecidos para mais tarde obter informação sobre os números p-ádicos. Definição 2.1 Um valor absoluto num corpo K é uma função : K R + 0 seguintes propriedades: com as x = 0 se e só se x = 0; xy = x y, para todos os x, y K; x + y x + y, para todos os x, y K. Se o valor absoluto verificar ainda a seguinte propriedade diz-se não-arquimediano (caso contrário, diz-se arquimediano): x + y max{ x, y }, para todos os x, y K. Em qualquer corpo podemos definir o valor absoluto trivial, para o qual todos os elementos invertíveis do corpo têm valor 1. Este valor absoluto é não-arquimediano. O valor absoluto usual em R pode ser restringido a Q para obter um valor absoluto em Q (denotado por ). Observe-se que este valor absoluto é arquimediano. Definição 2.2 Para cada primo p, define-se o valor absoluto p-ádico, p, do seguinte modo: Dado a b Q {0} podemos escrever a b e 0 p = 0. = pk a b Os valores absolutos p-ádicos são todos eles não-arquimedianos. onde p não divide a b. Define-se a b p = p k Estes valores absolutos permitem-nos definir novas métricas em Q, tomando d(x, y) = x y p. O nosso próximo objectivo será determinar as possíveis métricas que podemos colocar em Q. Teorema 2.3 Seja Z K a imagem de Z em K. O valor absoluto é não-arquimediano se e só se x 1, x Z. Temos agora um teorema que nos ajuda a determinar se dois valores absolutos são equivalentes, ou seja, se definem o mesmo espaço métrico. 2

3 Teorema 2.4 Sejam 1 e 2 dois valores absolutos num corpo K. Dois valores absolutos 1 e 2 são equivalentes se e só se existe r real positivo tal que x 1 = x r 2 para todo o x K. Usando este teorema conclui-se imediatamente que todos os valores absolutos já definidos em Q não são equivalentes. Teorema 2.5 (Ostrowski) Todo o valor absoluto em Q é equivalente ao valor absoluto trivial ou a um dos valores absolutos p onde p é um número primo ou infinito. A demonstração deste teorema pode ser encontrada, na íntegra, em [1]. A demonstração segue as seguintes ideias: tratam-se separadamente os casos em que o valor absoluto é arquimediano e não-arquimediano. No primeiro caso, o valor absoluto será equivalente ao valor absoluto usual pois é único valor absoluto arquimediano da nossa lista. Para começar a demonstração considera-se o menor natural n tal que n > 1 e considera-se o r real positivo tal que n = n r. Depois tenta-se mostrar que todos os racionais verificam x = x r. Esta parte não é de modo algum imediata. No segundo caso, começamos por admitir que o valor absoluto não é trivial. A maior dificuldade é determinar a que valor absoluto p-ádico é que é equivalente. A ideia é considerar o menor natural n tal que n < 1. Esse natural será necessariamente o número primo que procuramos e o resto da demonstração segue sem grandes dificuldades. O seguinte teorema mostra-nos como os valores absolutos sobre Q se relacionam bem uns com os outros. Teorema 2.6 Seja x um racional não nulo. Então, x p = 1. p Este teorema tem uma demonstração simples bastando usar a factorização única dos inteiros em números primos. 3 De volta aos p-ádicos As métricas definidas na secção anterior permitem-nos tomar uma abordagem diferente em relação aos números p-ádicos. Podemos definir o corpo dos p-ádicos, Q p, como a extensão 3

4 completa de Q para a métrica. p. Para x Q p com x = i=k a ip i (e a k 0) temos x p = p k. A construção de Q p como séries infinitas permite verificar facilmente que o espaço é completo para a métrica p-ádica. Observe-se que a topologia obtida em Z p poderia também ser obtido do seguinte modo: Colocamos em cada A k = Z/p k Z a topologia discreta e em k 1 A k a topologia produto. Como Z p é subespaço do espaço produto ele tem imediatamente a topologia de subespaço. Teorema 3.1 Z p é compacto. Como cada A k é finito então é compacto. Pelo teorema de Tychonoff, X = k 1 A k é também compacto. Basta provar que Z p é fechado em X para concluir que ele é compacto. Podemos escrever o complementar de Z p do seguinte modo: (Z p ) c = n,m U n,m onde U n,m = {m mod p} {m mod p n } (A n+1 (m + A n )) k n+2 A k. Como cada U m,n é aberto então a sua união também o é e Z p é fechado. Utilizando a métrica introduzida anteriormente podemos determinar quais são os elementos invertíveis em Z p, isto é, os elementos de Z p que têm inverso em Z p. É claro que qualquer inteiro p-ádico tem inverso no corpo Q p. Teorema 3.2 Seja x = i=0 a ip i Z p. As seguintes condições são equivalentes: x é invertível em Z p. x p = 1. a 0 é invertível em Z/pZ. 4 Lema de Hensel Já vimos anteriormente que os espaços Q p são maiores do que Q. Portanto é natural esperar que certas equações que não têm soluções em Q tenham soluções em Q p. Consideremos a equação x = 0 que nem em R tem solução. O próximo teorema diz-nos que a equação tem solução em Q 5. 4

5 Teorema 4.1 (Lema de Hensel) Seja f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n Z p [x]. Suponha-se que existe y 1 Z p tal que f(y 1 ) = 0 mod pz p e f (y 1 ) 0 mod pz p. Então existe y Z p tal que y = y 1 mod pz p e f(y) = 0. A ideia por detrás da demonstração é que o número y é uma aproximação da raíz do polinómio e que é possível ir melhorando essa aproximação. Para obter a raíz do polinómio construímos uma sucessão em Z p com as seguintes propriedades: y n+1 = y n mod p n Z p. f(y n ) = 0 mod p n Z p. f (y n ) 0 mod pz p. Começamos com y 2 = y 1 + pz 1. Usando a aproximação de Taylor, f(y 2 ) = f(y 1 ) + f (y 1 )pz 1 = 0 mod p 2 Z p. Como f(y 1 ) = pw obtemos w + f (y 1 )z 1 = 0 mod pz p z 1 = w(f (y 1 )) 1 mod pz p. Como y 2 = y 1 mod pz p então f (y 2 ) = f (y 1 ) mod pz p. Obtemos assim as três propriedades desejadas. Repetindo este processo e tomando o limite da sucessão obtemos a solução desejada. Escolhendo f(x) = x e y 1 = 2 obtemos f(2) = 5 = 0 mod 5Z 5 e f (2) = 4 0 mod 5Z 5. Portanto, x = 0 tem solução em Z 5 (e em Q 5, claro). Podemos fazer uma pequena generalização do lema anterior usando ideias semelhantes para a demonstração. Teorema 4.2 (Lema de Hensel, II) Seja f(x) Z p [x]. Suponha-se que existem g 1 (x) e h 1 (x) em Z p [x] tais que: g 1 (x) é mónico g 1 (x) e h 1 (x) são primos entre si mod p. f(x) = g 1 (x)h 1 (x) mod p 5

6 Então existem polinómios g(x) e h(x) em Z p [x] tais que: g(x) é mónico g(x) = g 1 (x) mod p e h(x) = h 1 (x) mod p. f(x) = g(x)h(x) Se g 1 (x) ou h 1 (x) forem polinómios lineares voltamos ao caso do primeiro lema de Hensel. References [1] Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers: an introduction. 6