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1 Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 ) 0 x Mas qual a condição para que três pontos distintos A, B e C estejam alinhados? Os pontos A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) e C(x 3, y 3 ) estão alinhados, se e somente se: 3 3 x y 1 x y 1 = 0 x y 1

2 Ex: Determine o valor de x para que os pontos A(2, 3), B(x, 7) e C(x, 1) sejam: a) Colineares b) os vértices de um triângulo Solução: a) x 7 1 =0 x = 2 x 1 1 b) Para que A, B e C sejam vértices de um triângulo, eles não devem estar alinhados. Logo: x x 2 x 1 1 Equação Geral da Reta: Toda reta possui uma equação da forma ax + by + c = 0, chamada de equação geral da reta, em que a e b não são ambos nulos.

3 Casos particulares: pares ímpares Ex: 1) Os pontos A(1, 2), B(3, 1) e C(2, 4) são os vértices de um triângulo. Determine a equação da reta suporte do lado AB. x y = 0 2x +3y +1 6 y x = 0 x +2y 5 =

4 Inclinação e coeficiente angular de uma reta: A figura a seguir mostra uma reta r não paralela ao eixo y. Seja α o ângulo que a reta forma com o eixo x, medido do eixo para r no sentido anti-horário. A medida do ângulo α é chamada inclinação da reta r. Denomina-se coeficiente angular ou declividade da reta r o número real m que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação α, ou seja: m = tg α Podem ocorrer quatro casos: Cálculo do coeficiente angular: 2 1 y y m = tg α = x x

5 Equação da reta que passa por um ponto P(x 1, y 1 ) e de coeficiente angular m: Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x 1, y 1 ) e tem coeficiente angular m. y 0. P(x 1, y 1 ) x Marcando o ponto Q(x, y) sobre a reta r, com Q P, vamos determinar a equação que representa a reta que passa por esses dois pontos. y. Q(x, y) 0. P(x 1, y 1 ) x Utilizando a fórmula do coeficiente angular: m = y y = m.(x x x x ) y y1

6 Equação reduzida da reta: Particularmente, considere a reta r da figura que passa pelo ponto P(0, n) e tem coeficiente angular m. y. n 0 x A equação dessa reta é: y y 1 = m (x x 1 ) y n = m (x 0) y n = mx y = mx + n Equação reduzida da reta r onde: m = coeficiente angular da reta r. n = coeficiente linear da reta r. Equação Segmentária da reta: Consideremos uma reta r que intercepta o eixo x no ponto A(p, 0) e o eixo y no ponto B(0, q) com p 0 e q 0. y. B(0, q). A(p, 0) 0 x O coeficiente angular dessa reta é: q 0 q q m = = = 0 p p p

7 Então, a equação da reta r é: y y 1 = m (x x 1 ) q y 0 = (x p) p q y = (x p) p py = qx +pq qx + py = pq Dividindo ambos os membros por pq 0, temos: qx py pq x y + = + = 1 pq pq pq p q Essa forma é denominada equação segmentária da reta. Posições relativas de duas retas: 1º caso: α 1 = α 2 Supondo α 1 = α 2 90º, temos: α 1 = α 2 tg α 1 = tg α 2 m 1 = m 2 Nesse caso as retas l 1 e l 2 são paralelas (l 1 // l 2 ) ou coincidentes (l 1 l 2 ). Observe:

8 Vejamos o que acontece se α 1 = α 2 = 90º. Nesse caso particular, m 1 = tg α 1 e m 2 = tg α 2 não estão definidos e as retas l 1 e l 2 são verticais. 2º caso: α 1 α 2 Supondo α 1 90º α 2 90º, temos: α 1 α 2 tg α 1 tg α 2 m 1 m 2 Nesse caso as retas l 1 e l 2 são concorrentes (l 1 X l 2 ). Observe: Vejamos a condição particular em que as retas l 1 e l 2 são perpendiculares (l 1 l 2 ). 1 1 tg α = m = tg α m

9 Ângulo entre duas retas: O ângulo formado entre duas retas l 1 e l 2, não perpendiculares entre si e de coeficientes angulares m 1 e m 2, respectivamente, pode ser calculado pela fórmula matemática: m2 m1 tg θ = 1 + m. m 2 1 Caso particular: Uma das retas é vertical. tg θ = 1 m 1 Distância entre um Ponto P(x, y) e uma reta r de equação ax + by + c = 0: A distância entre um Ponto P(x, y) e uma reta r de equação ax + by + c = 0 pode ser calculada pela fórmula: d( P, r) = ax + by + c p a p + b 2 2 Exercícios Propostos: 1) Determinar a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A( 4, 0) e B(0,8). 2) Determine a equação geral e a equação reduzida das retas que passam pelos seguintes pontos: a) A(1, 2) e B ( 3, 1) b) A(2, 6) e B (1, 0) c) A( 4, 1) e B ( 2, 2)

10 3) Qual é a distância da origem do sistema cartesiano à reta de equação 3x 4y = 10? 4) As retas r: 2x + y + 3 = 0 e s: x y 1 = 0 se encontram no ponto P(x, y). Determine as coordenadas de P. 5) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e tem coeficiente angular m = ) Determinar o ângulo agudo θ formado pelas retas de equações: 2x 9 = 0 e 3 x + y 2 = 0. 7) Determinar o ângulo agudo θ formado pelas retas de equações: 4x + 3y 8 = 0 e x + 7y 27 = 0. 8) Determine o valor de α para o qual as retas 2y x 3 = 0 e 3y + αx 2 = 0 sejam perpendiculares. 9) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm as seguintes coordenadas: A(1,5), B( 2,1) e C(4,1). 10) Classifique quanto aos lados o triângulo formado pelos vértices A(8,2), B(4,2) e C(8, 2). 11) Os pontos (1,0), (0,1) e (m,n) do plano cartesiano estão sobre uma mesma reta. Determine m em função de n. 12) Determine o valor de n de forma que o ponto A(10, 2n 4), pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares. 13) As retas r: x 2y 1 = 0 e s: 2x + 2y 8 = 0 se encontram no ponto. P(x,y). Determine as coordenadas de P. 14) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P( 1, 2) e forma com o eixo das abscissas um ângulo de 45º. 15) Encontrar o valor de m para que o ponto P(m, 4) pertença à reta r, cuja equação é 2x + y 3 = 0. 16) Determine a equação da reta r paralela à reta s de equação: 3x + 2y 4 = 0 e que passa pelo ponto P( 3, 2).

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