Com o auxílio do software vamos verificar se os pontos A(4, 7) e B(3, 5) pertencem à reta r do exemplo acima. Procedimentos para o uso do Winplot:

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1 Retas Equações de uma reta com o software Winplot Equação geral Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. Dada uma reta r, sendo A(x A, y A ) e B(x B, y B ) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: Fazendo y A - y B = a, x B - x A = b e x A y B - x B y A =c, como a e b não são simultaneamente nulos (A B), temos a equação geral da reta: ax + by + c = 0 Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n): se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(4, 7) e B(3, 5). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: A, B e P colineares D = 0 2x y 1 = 0 (1) x y 1 = x + 3y 5x 4y 21 = 0 Com o auxílio do software vamos verificar se os pontos A(4, 7) e B(3, 5) pertencem à reta r do exemplo acima. Procedimentos para o uso do Winplot: Para abrir o Winplot.exe clique duas vezes no ícone. Abrirá a caixa:

2 Clique (uma vez) no botão. Surgirá uma coluna: Clique no botão. Abrirá a janela Clique no botão, abrirá as opções a seguir, vá até a botão Ponto.

3 Clique em (x,y), abrirá a janela: Digite os valores correspondentes ao ponto A(4,7):Clique em, e observe que ele irá plotar o ponto. Faça a mesma operação com o ponto B(3, 5). Observe que os pontos estão alinhados.

4 Vamos digitar a equação encontrada: 2x y 1 = 0 Clique no botão, selecione a opção Reta, conforme figura abaixo: Abrirá uma caixa, digite os coeficientes da equação da reta:

5 Observe que a equação do Winplot está escrita ax + by =c Clique em, e observe a reta r. Se tivéssemos escolhido os pontos E(0,-1), F (- 1,-2) e P teríamos: 2 E, F e P colineares D = 0 x 1 2 y 1 2 = 0 (2) x y 1 = 0 x 1 2 y + 2x 1 2 = 0 Vamos realizar os mesmos procedimentos utilizados acima. Inserindo os pontos e a equação descrita acima,

6 As expressões obtidas em (1) e (2) são equivalentes (observe que, se dividirmos os coeficientes de (1) por 2, obtemos (2) e nos mostram a relação que x e y devem satisfazer a fim de que um ponto P(x,y) pertença a r. Por este motivo as equações se sobrepõem quando digitadas no Winplot. A reta r pode ser analiticamente descrita por uma dessas equações ou por qualquer outra equivalente, dependendo dos pontos escolhidos. Cada uma delas é chamada equação geral de r. Comandos para limpar a janela de visualização: No teclado, clique em ctrl+i, abrirá a caixa que deseja apagar., selecione o

7 Clique no botão apagar. Casos particulares Quando um dos coeficientes da equação geral de uma reta (ax + by + c = 0) é igual a zero, a reta apresenta uma propriedade especial. Temos três casos: a = 0, quando dois pontos distintos dessa reta possuem a mesma ordenada. Desse modo quando a equação não tem termo em x, a reta é paralela ao eixo x. Por exemplo: 0x + 2y 10 = 0. Fazendo os mesmos procedimentos no Winplot, vamos obter o seguinte gráfico:

8 b = 0, quando dois pontos distintos dessa reta possuem a mesma abscissa. Assim, quando a equação não tem termo em y, a reta é paralela ao eixo y. Exemplo: x + 0y 3 = 0 x = 3 é uma equação da reta s representada a seguir. c = 0, ou seja, ax + by = 0. Nesse caso, para todo a IR* e b IR*, o par ordenado (0,0) satisfaz a equação: a. 0 + b. 0 = 0. Desse modo, quando a equação não tem termo independente, a reta passa pela origem. Exemplos: As retas de equações: 3x 2y = 0 x + 7y = 0 Passam pelo ponto (0,0) Vamos usar o Winplot para verificar.

9 Equação Reduzida da Reta Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = ax + c, onde x e y são os pontos pertencentes à reta, a é o coeficiente angular da reta e c o coeficiente linear. Essa forma reduzida da equação da reta expressa uma função entre x e y, isto é, as duas variáveis possuem uma relação de dependência. Utilizando a equação geral acima, 2x y 1 = 0 podemos transformá-la em equação reduzida, basta isolarmos o y. y = 2x 1

10 O coeficiente angular a representa a inclinação da reta em relação ao eixo das abscissas x e o coeficiente linear c representa o valor numérico por onde a reta passa no eixo das ordenadas y. Posições relativas entre duas retas Retas concorrentes Se duas retas são concorrentes, seus coeficientes angulares são diferentes, e viceversa.

11 Exemplo: r: 2x y 1 = 0 e s: 4x + 3y 17 = 0 Retas perpendiculares Se duas retas são perpendiculares distintas, o coeficiente angular de uma é o oposto do inverso do coeficiente angular da outra, e vice-versa. Exemplo: Observe as retas y = 5x + 10 e y = 1 x 100 5

12 Retas paralelas (distintas) Se duas retas são paralelas distintas, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são diferentes, e vice-versa. Exemplo: r: 3x y 2 = 0 e s: 6x 2y + 5=0 Retas coincidentes Se duas retas são paralelas coincidentes, seus coeficientes angulares são iguais e seus coeficientes lineares são iguais, e vice-versa. Exemplo: r: 3x y + 7 = 0 e s: 6x 2y + 14 = 0

13 Atividades 1- Utilizando o Winplot, verifique por quais dos pontos A(-2,-5), B(-1,4), C(2,- 1 5 ), D(3,1) e E(-1, 19 5 ) passa a reta de equação 6x 5y 13 = 0. Resolução: Digite todos os pontos no software, em seguida a equação sugerida e verifica quais pontos pertence a esta reta.

14 Podemos verificar através das cores que os pontos A, C e D pertencem à reta. Podemos ainda incluir as grades para melhor visualização. Clique em abrirá as opções: Clique em Grade e surgirá uma nova caixa

15 Selecione retangular e em seguida aplicar. Referências IEZZI, Gelson. [et al]. Matemática: ciências e aplicações. V. 2, ensino médio. 6. ed. São Paulo: Saraiva, SODRÉ, Ulysses. Geometria Plana: Geometria Analítica Plana. Disponível em:< Acesso em: 17/05/2015 UNIP/Objetivo. Posição Relativa de Duas Retas - Equação do Feixe de Retas. Disponível em: < 2F2Yd2%2Bzzv%2F29umTApxi0Q%3D%3D> Acesso em: 18/05/2015