Escola Secundária Gabriel Pereira. Nome: N.º: Ano Turma

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1 Escola Secundária Gabriel Pereira FICHA DE EXERCÍCIOS Nº MATEMÁTICA A Rectas e Planos Nome: Nº: Ano Turma 1) Determina uma equação vectorial e cartesianas da recta que passa em A,1, 4 11) paralela ao vector u 5,, 1) paralela à recta de equações x y 1 z ; 1 1 u 4,, w 1,,0 1) perpendicular aos vectores e ; e é: ) Seja r, a recta definida pelas equações: x y z ) Determina uma equação cartesiana do plano que passa no ponto,,4 e é perpendicular à recta ) Em que ponto se intersectam a recta e o plano anteriores? ) Averigua se P,5, é ou não ponto da recta 4) Determina a de forma que 8 a,, a seja ponto da recta ) São dados os pontos: A0,1, ; B 1,0, ; C 1,,0 e D 0,0,5 Determina: 1) as equações cartesianas da recta r que contém A e é paralela ao vector BC ) uma equação cartesiana do plano que contém A e é perpendicular a CD ) uma equação cartesiana do plano que contém A e é paralelo a BC e CD 4) Considera os planos e, sendo : x y z 0 e : x y 1, IR 41) Determina de modo que os planos sejam perpendiculares 4) Escreve uma equação do plano paralelo a que contém o ponto A,0,1 5) Considera a família de planos definida por x y z 4, IR 51) Qual o plano desta família que passa no ponto A, 1,? 5) Mostra que todos os planos da família intersectam o eixo Oy no mesmo ponto 5) Determina de modo que o vector normal do plano seja perpendicular à recta de equação x, y,z 1,, 1,1,4, IR Qual é, nesse caso, a posição da recta em relação ao plano?

2 6) Seja o plano de equação 5x y z 61) Define por uma equação vectorial a recta perpendicular a e que passa pelo ponto de intersecção de com o eixo Oy 6) Para cada número real, a equação x 5 y z 0 representa um plano 61) Mostra que, qualquer que seja, e são perpendiculares 6) Diz, justificando, se existe IR tal que seja plano mediador do segmento OA, sendo O a origem do referencial e A1,,1 7) Dado u,5,0 num referencial o n 0,e,e,e 1 71) Indica dois vectores perpendiculares a u e não colineares 7) Calcula o ângulo de u com e 1 (aproximado à centésima do radiano) 7) Escreve uma equação do plano u e que intersecta Oy em 0,1,0 74) Dados os planos : x y z 1 e : y z 1 determina a posição relativa de, e : 8) Considera os planos : 8x y z 5 0, : x y z 1 0 e a recta 81) Investiga qual é a posição da recta r relativamente a y 5 z r : x 8) Determina uma equação cartesiana do plano perpendicular a r e que passa pelo ponto de r com abcissa 1 8) Determina IR de modo que os planos e sejam perpendiculares 84) Mostra que para todo o IR a recta s definida por x 1 y não é paralela ao plano 9) Considera o plano de equação x z ) Escreve as equações cartesianas da recta r que passa no ponto P 0,,1 e é perpendicular a 9) Determina de modo que a recta s definida por x 1 5 y z, com 0 9) Determina a intersecção da recta t definida por z x 1 y com o plano, seja paralela ao plano 10) No referencial o n Oxyz está representado um cubo de faces paralelas aos planos coordenados O centro da face ABCD é a origem das coordenadas GF 101) Determina as coordenadas de DG e GF 10) Determina um vector perpendicular simultaneamente a DG 10) Escreve uma equação cartesiana do plano que contém os pontos D, G e F e

3 11) Observa a figura 111) Determina uma equação vectorial e cartesianas da recta que passa pelo ponto A e é paralela a BC 11) Determina um vector perpendicular ao plano definido por AE e EF 11) Escreve uma equação do plano da face ABFE 114) Escreve uma equação do plano AFD 115) Determina o ângulo das rectas EF e FD 1) Considera o prisma hexagonal regular representado num referencial o n Oxyz Sabe-se que: os pontos A, B e C pertencem à base inferior do prisma, a qual está contida no plano xoy e tem por centro a origem do referencial; os pontos D, E, F e G pertencem à base superior do prisma, a qual está contida no plano de equação z 1 ; o ponto C tem coordenadas 0,4,0 11) Mostra que o ponto B tem coordenadas 1,,0 e aproveita este resultado para justificar que o ponto G tem coordenadas 1,,1 (NOTA: O lado de um hexágono regular é igual ao raio da circunferência circunscrita ao hexágono) 1) Mostra que a recta DG pode ser definida pela condição x y 4 z 1 1) Determina a intersecção da recta DG com o plano que contém a face ABFE do prisma 1) Considera, num referencial o n Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xoy BC é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy O ponto C tem coordenadas 0, 5,0 O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas 4,,0 A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro 11) Justifica que a recta AC é perpendicular à recta AB 1) Escreve uma equação vectorial da recta r 1) Justifica que AC é um vector perpendicular ao plano ABD Determina uma equação deste plano

4 14) No referencial o n Oxyz está representada uma pirâmide quadrangular regular ABCDV O vértice V é um ponto do semi-eixo positivo Oz 141) Sabendo que o volume da pirâmide é 96, mostra que V 0,0,8 14) Escreve as equações cartesianas para as rectas que contêm as arestas da base 14) Escreve as equações cartesianas para as rectas que contêm as arestas laterais 15) Considera a figura junta Na pirâmide de base rectangular, o centro da base é a origem das coordenadas 151) Determina a equação dos planos: 1511) BCV ; 151) ABV 15) Determina uma equação da recta de intersecção dos planos BCV e ABV 16) Na figura está representada, em referencial o n Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular A base da pirâmide está contida no plano de equação z 4 O vértice A pertence ao eixo Oz O vértice B pertence ao plano yoz O vértice D pertence ao plano xoz O vértice C tem coordenadas 4,4,4 A altura da pirâmide é 6 161) Mostra que uma condição que define a recta DE é z 4 x 4 y 16) Determina uma equação do plano que passa no ponto B e é perpendicular à recta DE 16) Determina a área da secção produzida na pirâmide pelo plano xoy 17) Considera o sólido formado por duas pirâmides regulares quadrangulares iguais, cuja aresta da base mede 4cm, conforme ilustra a figura A base ABCD pertence ao plano xoy, EFGH pertence ao plano z 10, AB / / EF / /Oy e os centros das bases pertencem ao eixo Oz 171) Indica as coordenadas dos pontos A, B, G e H 17) Determina a amplitude do ângulo formado pelas rectas EH e BH 17) Escreve umas equações cartesianas da recta AG

5 174) Escreve uma equação do plano ABV 175) Escreve uma equação do plano perpendicular à recta AG e que contenha o ponto V 18) Num referencial o n O,i, j, B 0,1,, os pontos A, 1,0 e são extremos de uma aresta de um cubo O plano mediador de AB é designado por 181) Mostra que o plano pode ser definido pela equação x y z 0 18) O ponto C de coordenadas,,1 pode ser o centro do cubo? Justifica 18) Escreve equações cartesianas dos planos que contêm as faces do cubo e são perpendiculares à aresta AB 184) Admite que o centro do cubo é a origem do referencial Escreve uma equação cartesiana do plano tangente no ponto A à superfície esférica circunscrita ao cubo 19) A embalagem de certo gelado é uma superfície esférica de equação referencial o n x y z 1 em 191) O bordo da tampa obtém-se seccionando a superfície esférica por um plano / / xoy e de cota positiva; sabendo que o bordo tem perímetro, qual a equação de? 19) Mostra que A,,0 pertence à superfície esférica dada e determina B de modo que AB seja diâmetro 19) Calcula de modo que o plano y x z seja perpendicular ao plano mediador de AB SOLUÇÕES: x, y,z,1 4 5,,, IR e x y z 4 5 x, y,z,1, 4 1 1,,, IR e x y 1 z x, y,z,1, 4 4,,5, IR e x y z ) 1) 1) 1) x y z 1 0 ),,4 ) P não é ponto da recta 4) a 6 y 1 z 1) x 0 ) x y 5z 7 0

6 ) x y z ) 4) x y z 51) 9 sendo o plano definido por 9 x y z 4 0,,0 5) 5) A recta é paralela ao plano 61) x, y,z 0,,0 5,1,, IR 61), 5,1 5,1, 0, IR 6) Não; teria que ser OA / / n 1 e nesse caso não passa no ponto médio de OA 71) Por exemplo: v 0,0,1, v 5,,0, v 5,,1 7) 1,19rad 7) x 5 y ) Os três planos não têm nenhum ponto em comum; intersectam-se dois a dois segundo rectas paralelas 81) r está contida em 8) x y z 4 0 8) 4 4 z 1 91) x y 9) 7 4 9),, ) DG 4,0,4 e GF 0,4,0 10) 1,0,1 10) x z 111), x, y,z 4,1,0 4,,, IR e x 4 y 1 z u,,0 11) 11) x y ) y z ) Cerca de 7º 4' 11'' 1) 1, 10,1 1) r : x, y,z 0,5,0 0,0,1, IR 1) x y 10 0

7 14) AB : y z 0 ; BC : x z 0 ; CD : y z 0 e DA : x z 0 x y z 8 x y z 8 x y z 8 x y z 8 14) VA : ; BV : ; CV : e VD : ) 4 y z ) x z ) x y z ) x y z ) 16 cm 9 171) A,,0, B,,0, G,,10 e H,,10 17) 69,6º 17) x y z ) 5x z ) x y 5z ) Não O centro do cubo pertence ao plano mediador de AB, o que não acontece com o ponto C 18) x y z 0 e x y z 0 184) x y ) z, proposição verdadeira; B O AO,,0 19) ) 4 FIM Sílvia Batista