Trigonometria. Relação fundamental. O ciclo trigonométrico. Pré. b c. B Sabemos que a 2 = b 2 + c 2, dividindo os dois membros por a 2 : a b c 2 2 2

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1 Trigonometria Relação fundamental C b a A c B Sabemos que a = b + c, dividindo os dois membros por a : a b c = + a a a sen + cos = Temos também que: b c senα= e cosα= a a Como b tgα= c, concluímos que: sen tg cos Ainda podemos escrever: sen = cos = cos (90 0 ) O ciclo trigonométrico O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio, com o seu centro localizado na origem ( 0,0 ) do sistema de coordenadas cartesianas no plano. Podemos associar um ponto ( x,y ) sobre a circunferência e a esse ponto arcos, medidos a partir da intersecção ( 0, ) do semi-eixo positivo Ox, denominado origem do ciclo. A partir do ponto ( 0, ) podemos percorrer arcos na circunferência que serão orientados conforme a convenção: Sentido anti-horário positivo e Sentido horário negativo Se o percurso tiver mais de uma volta, ainda assim você deverá chamá-lo de arco. Como o raio da circunferência mede, o comprimento do arco é numericamente o seu valor em radianos profalexandreassis@hotmail.com

2 Arcos côngruos Definição: Dois arcos são côngruos quando suas medidas diferem de um múltiplo de 360 = radianos. Logo a expressão geral dos arcos côngruos a x é dada por: x + k se x estiver em radianos e x + k.360, se x for medido em graus, com k inteiro. Exemplos de arcos côngruos: 80 e e ou seja, 45 e -755 / e / /4 e 3/4 3. Seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico P P B O x P A (i) O segmento orientado OP indica o cosseno de x. cos x > 0 o ponto P está à direita do ponto O máximo = cos x < 0 o ponto P está à esquerda do ponto O mínimo = - cos x = 0 se os pontos O e P forem coincidentes (ii) O segmento orientado OP indica o seno de x sen x > 0 o ponto P está acima do ponto O máximo = sen x < 0 o ponto P está abaixo do ponto O mínimo = - sen x = 0 se os pontos O e P forem coincidentes (iii) A tangente do ângulo x é a medida algébrica do segmento AB tgx = AB O ponto B é a intersecção do prolongamento do raio OP com a reta tangente. Se o ponto P estiver no eixo das ordenadas (y), não existe a tangente portanto devemos ter: x + k,k tgx > 0 o ponto B está acima de A tgx < 0 o ponto B está abaixo de A tgx = 0 o ponto B está no eixo das abscissas Observe, na tabela as propriedades dos arcos complementares como no exemplo: sen0 = cos80 = 0,74 cos45 = sen55 = 0,707 sen5 = cos65 = 0,43 profalexandreassis@hotmail.com

3 graus seno cosseno 0 0, ,087 0, ,74 0, ,59 0, ,34 0, ,43 0, ,500 0, ,574 0, ,643 0, ,707 0, cosseno seno graus Obs.: Desde que um número seja não nulo, é possível calcularmos o seu inverso. Importante: O inverso de um número tem o mesmo sinal do valor inicial. sen30 = = sen30 - cos = = - 3 cos 3 tg35 = - = - tg35 Secante de um ângulo A secante de um ângulo x é o inverso do cosseno do mesmo ângulo. Para que exista o inverso de um número ele não deve ser nulo. Logo: Ex: cos60 = / então, sec60 = cos0 = então, sec0 = cos = - então, sec = - cos90 = 0 então, sec90 não existe secx = cosx cosx 0 x k + Interpretação geométrica da secante Vamos seguir a linha de raciocínio de extrair os conceitos básicos do triângulo retângulo e depois generalizar. Por semelhança de triângulos, vamos verificar que a secante é em módulo a medida da hipotenusa OB. É possível utilizar outro segmento, fazendo outro tipo de construção geométrica porém, o entendimento torna-se mais difícil e o processo é trabalhoso. profalexandreassis@hotmail.com 3

4 P P B O x P A OB OA sec x OP OP cos x sec x cos x OBS.: i. O sinal da secante é o mesmo do cosseno. ii. Ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo OAB, temos: + tg x = sec x A cotangente e a cossecante de um ângulo A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente do mesmo ângulo cotgx = tgx tgx 0 x k,k Consequência: senx cosx tgx = cotgx = cosx senx A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo cossecx = senx senx 0 x k,k Resumo das relações trigonométricas (0) sen x cos x (0) tg x sec x (03) cotg x cos sec x senx (04) tgx,cos x 0 cos x (05) sec x,cos x 0 cos x profalexandreassis@hotmail.com 4

5 cos x (06) cot gx,senx 0 tgx senx (07) cos sec x,senx 0 senx Função seno A cada número real x podemos associar outro número real y = sen x. sen x existe para todo x real, logo, o domínio da função é IR o máximo valor de sen x é e o mínimo é, então, o conjunto imagem da função é { y IR / - < y < } Esboço do gráfico: x sen x 0 0 / 0 3/ - 0 Função cosseno A cada número real x podemos associar outro número real y = cos x. cos x existe para todo x real, logo, o domínio da função é IR o máximo valor de cos x é e o mínimo é, então, o conjunto imagem da função é { y IR / - < y < } Esboço do gráfico: x cos x 0 / 0-3/ 0 profalexandreassis@hotmail.com 5

6 Função tangente A tangente do ângulo x é a medida algébrica do segmento AB tgx = AB O ponto B é a intersecção do prolongamento do raio OP com a reta tangente. Se o ponto P estiver no eixo das ordenadas (y), não existe a tangente portanto devemos ter: x + k,k Domínio da função: { x IR / x + k,k } Conjunto imagem IR Veja alguns valores do primeiro quadrante ângulo tangente ângulo tangente 0 0,000 50,9 5 0,087 55,48 0 0,76 60,73 5 0,68 65,45 0 0,364 70, , , , , ,700 85, , ,90 45, Não existe tg x > 0 o ponto B está acima de A tg x < 0 o ponto B está abaixo de A tg x = 0 o ponto B está no eixo das abscissas Esboço do gráfico profalexandreassis@hotmail.com 6

7 Adição de arcos, arco duplo e arco metade Observe a tabela a seguir dos valores notáveis de seno, cosseno e tangente. Note que: seno cosseno tangente sen ( ) = sen 60 é diferente de sen 30 + sen 30 = + = = sen90 sen ( ) = sen 90 = é diferente de sen 30 + sen 60 = + 3 = Fórmulas da soma e da diferença de dois arcos (0) Seno da soma Ex: sen( ) = sen30.cos45 + sen45.cos30 sen a + b = sen acosb + sen b cosa (0) Seno da diferença sen a - b = sen acosb - sen b cosa Ex: sen(90 - x) = sen90.cosx - senx.cos90 (03) Cosseno da soma cos a + b = cos acosb - sena cosb Ex: cos( + x) = cos.cosx sen.senx (04) Cosseno da diferença cos a - b = cos acosb + sena cosb Ex:cos( - ) = cos.cos + sen.sen profalexandreassis@hotmail.com 7

8 (05) Tangente da soma tg a tg b tga b tg a tg b Ex: Se tg45 = e tg37 =3/4 (valor aproximado), qual o valor de tg8? tg45 + tg37 tg8 = tg = - tg45.tg37 + tg8 = = = 7 Observação: tg8 = 7, (06) Tangente da diferença tg a tg b tga b tg a tg b Exemplo: Obs.: tg tg - tgα 0 - tgα tg - α = = + tg.tgα + 0.tgα - α = -tgα - Fórmulas de arcos duplos Em (0), (03) e (05), a = b = x e assim, no lugar de a + b teremos x + x = x Sendo sena + b = sen acosb + sen b cosa podemos escrever: Logo temos: senx = senx cosx + sen x cosx senx = senx cosx Realizando o mesmo procedimento e com o auxílio da relação fundamental, sen x + cos x =, podemos escrever: senx = senx cosx cosx = cos x sen x cosx = cos x cosx = sen x tgx tgx = tg x profalexandreassis@hotmail.com 8