para x = 111 e y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) 1 e) 214 Resolução Assim, para x = 111 e y = 112 teremos x + y = 223.

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1 MATEMÁTICA d Um mapa está numa escala : , o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de de unidades. Se no mapa a distância entre duas cidades é de cm, então a distância real entre elas é de: a) 400 km b) cm c) cm d) 400 km e) m Se o mapa está na escala de : então a distância de cm entre duas cidades corresponde a uma distância real de cm, ou seja, 400 km. b O valor de 4 y 4 para = e y = é: y + y y a) 5 b) c) d) e) 4 4 y 4 ( + y ). ( + y). ( y) = y + y y ( + y ). ( y) = = + y. Assim, para = e y = teremos + y =. d Paula digita uma apostila em horas, enquanto Ana o faz em horas. Se Paula iniciar o trabalho, digitando nos primeiros 50 minutos, o tempo necessário para Ana terminar a digitação da apostila é: a) 0 minutos b) 90 minutos c) 95 minutos d) 05 minutos e) 0 minutos Seja T o trabalho de digitar a apostila, e o tempo, em minutos, necessário para Ana terminar a digitação iniciada por Paula. Tem-se que: Paula digita T em horas e portanto Ana digita T em horas e portanto T 0 T 80 T T Assim sendo, = T 0 80 por minuto. por minuto. 50 T + T = 60 T = 05, pois T 0. 4 d Num grupo de 400 pessoas, 70% são não-fumantes. OBJETIVO MACKENZIE (º Dia - Grupos IV, V e VI) Dezembro/00

2 O número de fumantes que devemos retirar do grupo, para que 80% das pessoas restantes sejam não-fumantes, é: a) 5 b) 40 c) 45 d) 50 e) 55 I) O número de não-fumantes do grupo inicial é de 70% de 400 pessoas = 80 pessoas. II) Seja o número de fumantes que devemos retirar deste grupo. Para que o número de não-fumantes passe a ser de 80% das pessoas restantes, devemos ter: 80 = 80% (400 ) = 50 5 a Se > e f()=, então f(f(+ )) é igual a: a) + b) c) d) + e) Sendo f() = e >, temos: + + I) f(+) = = II) f(f(+)) = = = e A figura mostra o gráfico da função f() = a + b + c, sendo o seu mínimo. Se g() = f (), então f () + g () vale: a) 6 b) c) d) 6 e) 9

3 A partir do gráfico do enunciado concluímos que f() = a. ( 0). ( ) e sendo o seu mínimo temos: f() = a. (). ( ) = a = Logo: f() =.. ( ) = Como g() = f() = ( ) g() = + 5 Portanto: f() + g() = (. ) + ( + 5. ) = 9 7 c A melhor representação gráfica dos pontos (, y) do plano, tais que ( y). ( + y) < 0, é a parte sombreada da alternativa:

4 y > 0 e + y < 0 (I) ( y) ( + y) < 0 {ou y < 0 e + y > 0 (II) As soluções do sistema (I) são representadas por: As soluções do sistema (II) são representadas por: Então, as soluções da inequação dada são representadas por: 8 a Se = 4 y+ e 7 y = 9, então y vale: a) 5 b) 4 c) d) e) = 4 { y+ 7 y = 9 = y + { y = 9 { y = 9 = y + { y = 7 = Logo: y = 5

5 9 e Se log m 5 = a e log m =b, 0 < m, então log é igual a: b a) b) b a c) a 5b a a d) e) a b b Se log m 5 = a e log m = b, 0 < m, m 5 log m log m log m 5 então log 5 = = = m 5 log m m b a = = a b 0 c Na igualdade log b = log b 7+ log b Iog b, vale: a) 7 b) 9 c) d) 6 e) log b =. log b 7 + log b log b log b = log b ( ) + log b log b log b = log b ( 9. 4 ) log b = log b = c Os comprimentos de uma seqüência de circunferências estão em progressão aritmética de razão. Os raios dessas circunferências definem uma: a) progressão aritmética de razão b) progressão aritmética de razão c) progressão aritmética de razão d) progressão geométrica de razão

6 e) progressão geométrica de razão Seja (C n ) = ( r ; r ; ; r n ; r n + ;...), n *, a seqüência dos comprimentos das circunferências de raios r ; r ;...; r n ; r n+ ;... respectivamente. Como (C n ) é uma progressão aritmética de razão, temos: r n+ r n = r n+ r n = (constante) e portanto a seqüência (r n ) = (r ; r ;...) dos raios é uma progressão aritmética do razão. d Se P() = + a + a, a 0, tem apenas uma raiz real, então o resto R da divisão de P () por é tal que: a) < R < b) 0 < R < 4 c) < R < 48 d) 8 < R < e) < R < I) Se P() = + a + a, a 0, admite uma única raiz real, que é = 0, então + a + a = 0 deve ter raízes compleas e portanto < 0. = a 4a < 0 0 < a < 4 pois o gráfico de, é: II) Sendo R o resto da divisão de P() por então R = P () = 6a + 8 Dos itens (I) e (II), tem-se que: 8 < R < a Para 0 < <, a soma das raízes da equação sec = tg + é igual a : a) b) c) d) e) 4 sec = tg + } tg tg = 0 sec = + tg tg = 0 ou tg = No ciclo trigonométrico, tem-se:

7 Para 0 < < : V = { },, 5 A soma das raízes da equação dada é V = = e 4 Se cos ( ) + = sen, então pode ser: a) b) c) d) e) 4 4 Como cos ( + /) = cos. cos / sen. sen / = = sen então: cos ( + /) = sen sen = sen sen + sen = 0 sen = 0 ou sen = No ciclo, tem-se: Um possível valor de é. 5 b

8 m + y = 0 O sistema { + my = 0 a) é impossível, se m = 0 b) tem mais de uma solução, se m = c) tem solução única, se m = d) admite apenas solução nula, qualquer que seja m e) admite mais de uma solução, qualquer que seja m Como o sistema { m + y = 0 + my = 0 é homogêneo, teremos: I) Sistema possível e determinado 0 m 0 m e m II) Sistema possível e indeterminado = 0 m = 0 m = ou m = Portanto, o sistema tem mais de uma solução, se m =. 6 m m m m b Considere a seqüência (,,..., 7), de números primos maiores que e menores que 40. Escolhidos ao acaso dois deles, a probabilidade de serem ímpares consecutivos é: 5 4 a) b) c) d) e) 66 A seqüência dos números primos, entre e 40, é: B = {,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7} Eistem 5 pares de dois primos ímpares consecutivos em B: (; 5), (5; 7), (; ), (7; 9) e (9; ) Eistem C, = 66 duplas de elementos de B 5 Então a probabilidade procurada é P = 66 7 a Considere a reta r que passa pelo ponto (, ) e é tangente à circunferência de centro na origem e raio. A reta r encontra o eio vertical num ponto de ordenada: a) 4 b) c) d) e)

9 O ponto A ( ; ) pertence à circunferência + y = 4. Como m = e OA r, OA então m r = A equação de r é: y = ( ) y = + 4 Para = 0 tem-se y = 4 8 b Na figura temos r//r e s//s. Então, para todo a >, o valor da abscissa é: a) a b) a c) (a + ) d) a + e) a + De r // r tem-se a semelhança dos triângulos OPQ e

10 OP OQ ORS, e portanto = (I) OR OS De s // s tem-se a semelhança dos triângulos OQR e OQ OR OST, e portanto = (II) OS OT Das proporções (I) e (II) tem-se OP OR a = = = a, pois a > OR OT a 9 d No triângulo ABC da figura, o lado BC mede 4,5 e o lado do quadrado DEFG mede. A altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC, mede: a) 7,5 b) 8,0 c) 8,5 d) 9,0 e) 9,5 Seja h a altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC. Os triângulos ABC e AFE são semelhantes pois o ângulo A^ é comum e AF^E AB^C. Assim, h = 4,5h,5 = h h 4,5,5h =,5 h = 9,0

11 0 e Um cilindro reto C tem altura igual ao diâmetro da base e um cilindro C, também reto, tem altura igual a oito vezes o diâmetro da base. Se a razão entre os volumes de C e de C é, então a razão entre os respectivos raios é: 7 a) b) c) d) e) Sejam V e V os volumes dos cilindros C e C respectivamente. Do enunciado, temos: V (R = ). h = V 7 (R ). h 7 (R ). R = R = 8 R ( ) = (R 7 R 7 R ). 6R

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