EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência)

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1 EXERCÍCIOS DE REVISÃO MATEMÁTICA II GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA (Ponto, reta e circunferência) ************************************************************************************* 1) (U.F.PA) Se a distância do ponto A(m, 1) ao ponto B(4, 0) é de unidades, qual é o valor de m? (Resp. : 4 ± 7 ) ) (U.E.CE) Dois vértices opostos de um quadrado estão nos pontos A(, -4) e B(9, -4). Calcule a soma das abscissas dos outros dois vértices. (Resp. : 1 ) ) (U.F.MG) Calcule a área de um quadrado que tem como vértices opostos os pontos A(4, 8) e B(-, ). (Resp.: 6 ) 4) No triângulo de vértices A(1, 6), B(-, ) e C (-1, -4), calcule a medida da mediana AM. (Resp. : 58 ) 5) No triângulo isósceles ABC, AB = AC e M é o ponto médio do lado BC. Se A = (, ), M = (-, -1) e P = (k, 1 ) é o ponto de interseção das medianas do triângulo ABC, então, qual é o valor de k? (Resp. : ) 6) Os pontos A(, -4), B(-, -8) e P(a, b) são de uma mesma reta, tais que P é interno ao segmento AB. Se AP mede a terça parte de PB, calcule a soma a+b. (Resp. : a + b = -4 ) 7) O ponto P(m, n) é interno ao segmento de extremidades A(0, 6) e B(6, 4). Se AP corresponde à terça parte de AB, calcule a soma m + n. (Resp. : m + n = ) 8) Dados os pontos A(8, 11), B(-4, -5) e C(-6, 9), determine as coordenadas do centro da circunferência que inscreve o triângulo ABC. [Resp. : (, ) ] 9) Se o ponto de coordenadas dadas pelo par ordenado (4 m, -m - 5 ) é do quarto quadrante do Plano Cartesiano, determine os valores possíveis de m. (Resp. : -5 < m < )

2 10) Determine x de modo que o triângulo de vértices A(4, 5), B(1, 1) e C(x, 4) seja retângulo em B. (Resp. : x = - ) 11) (V. UNIF. RS) - Determine a ordenada do ponto onde se interceptam as retas r e s da figura abaixo. (Resp. : 5 9 ) 1) (PUC MG/.000) Os pontos A(1, ), B(0, ) e C(a, 1) pertencem ao grá fico de uma função linear. Qual é o valor da abscissa do ponto C? (Resp. : -1 ) 1) (PUC MG /99) Na figura, o ângulo de vértice B é reto. Calcule a abscissa do ponto C. (Resp. : 5 )

3 14) (PUC MG /.000 ) Os pontos (, 4) e (501, 000) pertencem ao gráfico de uma função função linear.determine a interseção desse gráfico com o eixo das ordenadas. (Resp. : (0, -4) 15) (PUC MG / 000) Se o ponto P(7, b) pertence à mediatriz do segmento de extremos A(, -1) e B(4, 6), determine o valor de b. (Resp. : b = ) 16) (PUC MG / 1999) - A interseção da reta s com o eixo das ordenadas é o ponto M(0, b). A reta s passa pelos pontos A(6, ) e B(-, 6).Calcule o valor de b. 1 (Resp. : ) ) (PUC MG / 1999) Os pontos A e B do eixo x têm abscissas e, respec- tivamente. Calcule a abscissa do ponto médio do segmento AB. 65 (Resp. : ) 1 18) (U.F.MG / 1998) A reta r é paralela à reta de equação x y 10 = 0. Se um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y = x 4 tem abscissa 1, obtenha a equação da reta r. (Resp. : x y 6 = 0 ) 19) (U.F.MG / 1999) Na figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são (6, 10) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas x de equações y = + 14 e y = 4x -. Determine as coordenadas do ponto B. y A B C D x [Resp. : B = (8, 18)

4 0) (U.F.MG / 1999 a Etapa) Sejam r e s as retas de equações 6x + 5y = 0 e y = x +, respectivamente. a) No plano Cartesiano, trace as retas r e s e indique suas interseções com os eixos Coordenados. b) Calcule a área do triângulo limitados pelo eixo dos y e pelas retas r e s. (Resp. : a) interseções com os eixos : a reta r intercepta em (5, 0) e (0, 6) e a reta s intercepta em (-, 0) e (0, ) b) área do triângulo : 7 0 ) 1) (PUC/MG 000) Na figura, um ponto P(x, y), da reta r, se move entre os pontos A e B. Qual é o menor valor que a ordenada de P assume? (Resp. : 0,75) ) (PUC/MG 000) Os pontos A(1, ), B(0, ) e C(a, 1) pertencem ao gráfico de uma função linear. Qual é a abscissa do ponto C? (Resp. : a = -1 ) ) (PUC/MG 1999) O triângulo da figura tem o lado AB sobre a reta x y + = = 0 e o lado BC sobre a reta x + y 6 = 0. Calcule a área do triângulo ABC. y B A O C x (Resp. : 4,5 )

5 4) (PUC/MG 000) - O raio da circunferência de equação x + y x + y + c = 0 mede unidades de comprimento. Nessas condições, calcule o valor da cons- tante c. (Resp. : ) 5) (PUC/MG 99) A interseção da reta s com o eixo das ordenadas é o ponto M(0, b). A reta s passa pelos pontos A(6, ) e B(-,6). Calcule o valor de b. 1 (Resp. : b = ) 4 8 6) (PUC/MG 99) os pontos A e B do eixo x têm abscissas e, respecti vamente. Calcule a abscissa do ponto médio do segmento AB. 65 (Resp. : ) 1 7) (PUC/MG 000) - Qual é a medida do raio da semicircunferência de equação 1 y = 9-4x? (Resp. : ) 8) (U.F.MG/1998) A reta r é paralela à reta de equação x y 10 = 0. Se um dos pontos de interseção de r com a parábola de equação y = x 4 tem abscissa 1,determine a equação da reta r. (Resp. : x y 6 = 0 ) 9) (U.F.V /1997) Calcule a distância do centro da circunferência de equação x 4x + y 8y + 11 = 0 ao ponto (, 4). (Resp. : 1 ) 0) (U.F.J.F./000) Calcule a medida do raio e as coordenadas do centro da circunferência de equação x + y 4x + 6y 1 = 0. [Resp. : raio = 5 e centro = (, -) ] 1) (U.F.J.F./000) - Sendo A, B e C os vértices de um triângulo de coordenadas (1, ), (5, 5) e (8, 9), respectivamente, classifique o triângulo ABC quanto à medida dos lados e diga se ele é retângulo. (Resp. : isósceles e não-retângulo) ) (U.F.U. / 1999) Determine a equação da circunferência inscrita no triângulo formado pelas retas, cujas equações são y = 0, y = x e y = - x +. (Resp. : x + y 6x y + = 0)

6 ) (U.F.V. /1997) Determine a área do retângulo de área máxima, localizado no primeiro quadrante, com dois lados nos eixos cartesianos e um único vértice na reta y = -x + 8. (Resp. : 8 ) 4) (U.F.V. /1997 adaptada) Calcule a área do triângulo limitado pelas retas de equações y = -x + 5 e y = x e pelo eixo das abscissas. (Resp. : 1 ) 5) (U.F.V. / 1997) Calcule a distância do centro da circunferência de equação x 4x + y 8y + 11 = 0 ao ponto (, 4). (Resp. : 1 ) 6) (U.F.MG /1998 aberta) Na figura, a circunferência tangencia a reta de equação y = x no ponto de abscissa x = e tangencia também o eixo x. Determine o raio e as coordenadas do centro da circunferência. [Resp. : Raio = 5(1 5) e centro : ( 5, 5(1-5) ) 7) (U.F.MG/97 a Etapa) Os pontos A = (, 0) e B = (0, 4) são extremos de um diâmetro da circunferência C. a) Determine a equação da circunferência C. b) Seja r a reta que passa pelo centro da circunferência C e que é perpendicular à Reta AB. Determine os pontos de interseção de C e r. [Resp. : a) x + y x 4y = 0 b) (, ) e (-1, 1) ] 8) (F.C.M.MG/98) Os pontos A = (a, 0), B = (0, a), C = (-a, 0) e D = (0, -a), em que a > 0, são vértices de um quadrado de área 50. Obtenha a equação da reta que contém os vértices A e B. (Resp. : x + y 5 = 0 )... 9) (U.F.V/99 ) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao quadrado que tem uma das diagonais sobre a reta y = x + e um dos vértices no ponto (, 1). (Resp. : (x 1) + (y ) = 8 )

7 40) (U.F.V./1998 ) Se a reta de equação ( + k)x + (k )y + = 0 passa pelo ponto P(, ), calcule o valor de k. (Resp. : k = 5 ) 41) (E.F.E.I/1998) Achar a equação da reta que é perpendicular à reta x y + 5 = 0 e passa pelo ponto P(, -). (Resp. : y = x ) 4) (E.F.E.I/1998) Achar a menor dist6ancia da origem dos eixos coordenados até a circunferência de equação x + y 4x 4y + 4 = 0. (Resp. : ( -1) 4) (U.F.MG/000) - Um triângulo isósceles ABC tem como vértices da base os pontos A = (4, 0) e B = (0,6). O vértice C está sobre a reta y = x 4. Calcule a inclinação da reta que passa pelos vértices B e C. (Resp. : 17 7 ) 44) (PUC/MG 1997) As retas y = x + 1 e x = formam, com os eixos coordena - dos, o trapézio OABC. Calcule a área desse quadrilátero. (Resp. : 4 ) 45) (PUC/MG 1997) - Calcule a medida da área do quadrilátero ABCD da figura. (Resp. : 1 )

8 46) ( FUVEST/99) Uma reta r determina, no primeiro quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os eixos Ox e Oy. Se a área desse triângulo é 18, determine a equação da reta r. (Resp. : x + y = 6 ) 47) ( FUVEST/99) Uma reta passa pelo ponto P = (, 1) e é tangente à circunferên cia de centro C = (1, 1) e raio 1 num ponto T. Calcule a medida do segmento PT. (Resp. : ) 48) (Newton de Paiva/99) - A reta r passa pelo ponto A(-, 1) formando com os eixos 1 coordenados um triângulo de área. Seja B o ponto de interseção da reta r com o eixo x e C o ponto de coordenadas (, ). Determine as possíveis equações para a altura relativa ao lado BC no triângulo ABC. (Resp. : 4x y 10 = 0 ou x y 1 = 0) 49) (EsPCEX/1999) Um triângulo eqüilátero ABC é inscrito num círculo trigonométrico de raio unitário, conforme a figura abaixo. Calcule as coordenadas dos vérti- A, B e C. 1 1 [Resp. : A = (, ), B = (-1, 0) e C = (, - ) ] 50) Calcule a distância a) do ponto A(-, 4) à reta de equação y = -x + 4; b) da origem do sistema cartesiano à reta de equação x 4y + 8 = 0. c) entre as retas de equações x + y 4 = 0 e y = x 1. Resp. : a) 10/5 b) 8/5 c) 10 51) Considere as retas de equações x 4y + = 0 e x 4y - = 0, que contém dois lados opostos de um quadrado. Calcule o lado, o perímetro e a área do quadrado. Resp.: lado = 1, perímeero = 4 e área = 1....

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