1.1 UFPR Rumo Curso Pré Vestibular Assistencial - RCPVA Disciplina: Matemática Professor: Vinícius Nicolau 04 de Novembro de 2014

Transcrição

1 Sumário 1 Questões de Vestibular UFPR Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão s Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questão Questões de Vestibular 1.1 UFPR Questão 1 O motivo de uma pessoa ser destra ou canhota é um dos mistérios da ciência. Acredita-se que 11% dos homens e 9% das mulheres são canhotos. Supondo que 48% da população brasileira é constituída de homens, e que essa crença seja verdadeira, que percentual da população brasileira é constituído de canhotos? Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 1

2 (a) 9,60 %. (b) 9,96 %. (c) 10,00 %. (d) 10,40 %. (e) 10,56 % Questão 2 Qual é o número mínimo de voltas completas que a menor das engrenagens deve realizar para que as quatro flechas fiquem alinhadas da mesma maneira novamente? (a) 14 voltas. (b) 21 voltas. (c) 57 voltas. (d) 60 voltas. (e) 84 voltas Questão 3 Um kit para impressão vem com oito cartuchos de tinta, de formato idêntico, para impressora. Nesse kit há dois cartuchos de cada uma das quatro cores diferentes necessárias para uma impressora caseira (ciano, magenta, amarelo e preto). Escolhendo aleatoriamente dois cartuchos desse kit, qual a probabilidade de se obter duas cores distintas? (a) 6 7. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 2

3 (b) (c) (d) (e) Questão 4 Um círculo, com centro na origem do plano cartesiano, é tangente à reta de equação y = 2x + 2. Qual é o raio desse círculo? (a) 2. (b) (c) 2. (d) 2 5. (e) Questão 5 O ângulo de visão de um motorista diminui conforme aumenta a velocidade de seu veículo. Isso pode representar riscos para o trânsito e os pedestres, pois o condutor deixa de prestar atenção a veículos e pessoas fora desse ângulo conforme aumenta sua velocidade. Suponha que o ângulo de visão A relaciona-se com a velocidade v através da expressão A = kv + b, na qual k e b são constantes. Sabendo que o ângulo de visão a 40 km/h é de 100, e que a 120 km/h fica reduzido a apenas 30, qual o ângulo de visão do motorista à velocidade de 64 km/h? (a) 86. (b) 83. (c) 79. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 3

4 (d) 75. (e) Questão 6 Um tanque para armazenamento de produtos corrosivos possui, internamente, o formato de um cilindro circular reto com uma semiesfera em cada uma de suas bases, como indica a figura. Para revestir o interior do tanque, será usada uma tinta anticorrosiva. Cada lata dessa tinta é suficiente para revestir 8 m 2 de área. Qual o número mínimo de latas de tinta que se deve comprar para revestir totalmente o interior desse tanque? (Use π = 3, 14). 6 m 2 m (a) 3 latas. (b) 4 latas. (c) 5 latas. (d) 7 latas. (e) 10 latas Questão 7 Num laboratório, sensores são colocados no topo de dois pistões para analisar o desempenho de um motor. A profundidade do primeiro pistão no bloco do motor pode ser descrita, de maneira aproximada, pela expressão H 1 = 12 cos(2πt/60), e a profundidade do segundo, pela expressão H 2 = 12sen (2πt/60), sendo t o tempo medido em milissegundos a partir do acionamento do motor. Quanto tempo levará para que os pistões estejam na mesma profundidade, pela primeira vez, após o acionamento do motor? Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 4

5 (a) 5 milissegundos. (b) 7,5 milissegundos. (c) 10 milissegundos. (d) 22,5 milissegundos. (e) 45 milissegundos Questão 8 Um retângulo no plano cartesiano possui dois vértices sobre o eixo das abscissas e outros dois vértices sobre a parábola de equação y = 4 x 2, com y > 0. Qual é o perímetro máximo desse retângulo? (a) 4. (b) 8. (c) 10. (d) 12. (e) Questão 9 Duas escadas foram usadas para bloquear um corredor de 2,4 m de largura, conforme indica a figura ao lado. Uma mede 4 m de comprimento e outra 3 m. A altura h, do ponto onde as escadas se tocam, em relação ao chão, é de aproximadamente Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 5

6 (a) 1,15 m. (b) 1,40 m. (c) 1,80 m. (d) 2,08 m. (e) 2,91 m. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 6

7 1.2 s Questão 1 Vamos considerar que a população brasileira total é x pessoas. Assim, a população de homens é 0, 48 x e a população de mulheres é 0, 52 x. Do enunciado, tiramos as informações de que 11% dos homens são canhotos e 9% das mulheres são canhotos. Ou seja, 0, 11 0, 48 x são homens e canhotos; 0, 09 0, 52 x são mulheres e canhotos. Logo, a quantidade total de pessoas canhotas é 0, 11 0, 48 x + 0, 09 0, 52 x 0, 0528 x + 0, 0468 x 0, 0996 x que representa 9,96% da população total brasileira. Voltar para a Questão Questão 2 Primeiro, perceba que estamos considerando sempre voltas completas da primeira engrenagem, a de 7 dentes. Observe que, a cada volta da primeira engrenagem, as outras engrenagens andam 7 posições. Para voltar ao alinhamento inicial, a segunda engrenagem precisa andar 20 n posições e a terceira engrenagem 30 m posições, sendo n e m números inteiros. Assim, devemos encontrar a quantidade x de voltas para que a segunda engrenagem ande 20 n posições e a terceira ande 30 m. Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 7

8 Ou seja, x = 20 n e x = 30 m. Isso significa que x deve ser tanto um múltiplo de 20 quanto de 30. Como queremos saber o número mínimo de voltas para que as engrenagens voltem ao alinhamento inicial, x deve ser o mínimo múltiplo comum entre 20 e 30. Logo, são necessárias 60 voltas completas da primeira engrenagem para conseguir novamente o alinhamento inicial. Voltar para a Questão Questão 3 Considere uma das quatro cores de cartuchos do kit, por exemplo a preta. A probabilidade de o primeiro cartucho retirado ser dessa cor é 2, e a probabilidade de o segundo cartucho 8 retirado ser de uma cor diferente é 6. Ou seja, a probabilidade, de escolhendo aleatoriamente 7 dois cartuchos desse kit, obter duas cores distintas, para este caso, é Como temos quatro casos, a probabilidade P de se obter duas cores distintas escolhendo aleatoriamente dois cartuchos desse kit é P = = 6 7 Voltar para a Questão Questão 4 Como o círculo possui centro na origem, a equação reduzida é x 2 + y 2 = r 2. Visto que o círculo é tangente a reta y = 2x + 2, só há um ponto em comum. Ou seja, o sistema abaixo possui uma única solução: Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 8

9 x 2 + y 2 = r 2 y = 2x + 2 Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos: x 2 + (2x + 2) 2 = r 2 x 2 + 4x 2 + 8x + 4 = r 2 5x 2 + 8x + (4 r 2 ) = 0 Utilizando a fórmula de Bháskara para resolver a equação do 2, temos que x = 8 ± 8 2 4(5)(4 r 2 ) 2 5 Visto que só podemos encontrar um valor para x, deve ocorrer que 8 2 4(5)(4 r 2 ) = 0. Assim, 8 2 4(5)(4 r 2 ) = (4 r 2 ) = r 2 = 0 20r 2 = 16 r 2 = r 2 = 4 5 Como r é uma medida, 4 r = 5 = Voltar para a Questão 4 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 9

10 1.2.5 Questão 5 De acordo com o enunciado, quando a velocidade é 40 km/h o ângulo de visão é 100 e quando a velocidade é 120 km/h o ângulo de visão é 30. Assim, podemos montar o sistema 100 = k 40 + b 30 = k b Multiplicando a primeira equação por 3 obtemos 300 = k b. Subtraindo a segunda equação pela nova equação, temos que = k b (k b) 270 = 2b b = 135 Substituindo o valor de b na segunda equação, 30 = k = k 120 k = 7 8 Portanto, para determinar o ângulo de visão à uma velocidade de 64 km/h, basta fazer A = A = 79 Voltar para a Questão 5 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 10

11 1.2.6 Questão 6 Precisamos determinar a área total A t da superfície do sólido da figura. Essa área é a soma das áreas das superfícies esféricas das duas semi-esferas, A 1, e da área lateral do cilindro circular reto, A 2. Lembrando que a área da superfície esférica de uma esfera de raio r é 4πr, temos que a área A 1 das superfícies esféricas das duas semi-esferas de raio 1 é A 1 = π 1 = 4π. Como o raio da circunferência da base do cilindro mede 1, a área A 2 = 6 2 π1 = 12π. Assim, A t = A 1 + A 2 A t = 4π + 12π A t = 16π = 16 3, 14 A t = 50, 24 Ou seja, a área total a ser revestida é 50,24 m 2. Como cada lata de tinta é suficiente para revestir 8 m 2, serão necessárias pelo menos 7 latas. Voltar para a Questão Questão 7 Os pistões estarão na mesma posição quando ocorrer H 1 = H 2 ( ) ( ) 2πt 2πt 12 cos = 12sen ( ) ( ) 2πt 2πt cos = sen Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 11

12 e isso só acontece quando o ângulo é da forma π 4 + kπ. Como é pedido a primeira vez que isso acontece, consideramos o ângulo π 4. Assim, 2πt 60 = π 4 t = 60π 2π4 = 7, 5 Voltar para a Questão Questão 8 Vamos nomear os pontos descritos no enunciado conforme abaixo: y = 4 x 2 B C A D Considere que a medida de AB é c, sendo que 0 < c 4. Observe que a reta y = c contém o lado BC, interceptando a parábola nos pontos B e C. Assim, resolvendo o sistema abaixo, podemos determinar as abscissas de B e C: y = 4 x 2 y = c c = 4 x 2 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 12

13 x 2 = 4 c x = 4 c ou x = 4 c Logo, as coordenadas dos vértices do retângulo são: A = ( 4 c, 0) B = ( 4 c, c) C = ( 4 c, c) D = ( 4 c, 0) Temos que a distância de B a C é 2 4 c e de C a D é c. Logo, o perímetro P do retângulo é P = 2c c e quando c = 3 temos o perímetro máximo 10. Voltar para a Questão Questão 9 Nomeando os elementos da figura, temos: D C E h A F B Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 13

14 Como os triângulos ABC e ABD são retângulos, podemos usar o Teorema de Pitágoras para determinar as medidas de AC e de BD. Para o triângulo ABC, 3 2 = 2, AC 2 AC = 1, 8 Para o triângulo ABD, 4 2 = 2, BD 2 BD = 3, 2 Observe a figura abaixo: C E h A F B Note que os triângulos ABC e FBE são semelhantes. Portanto, Agora, observe essa outra figura: h FB = 1, 8 2, 4 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 14

15 D E h A F B Note que os triângulos ABD e AFE são semelhantes. Logo, h AF = 3, 2 2, 4 E, também, observe que AF + FB = 2, 4. Assim, temos o seguinte sistema: h FB = 1, 8 2, 4 h AF = 3, 2 2, 4 2, 4h 1, 8 = FB 2, 4h 3, 2 = AF AF + FB = 2, 4 AF + FB = 2, 4 Logo, somando as duas primeiras equações, temos que 2, 4h 1, 8 + 2, 4h 3, 2 = AF + FB Substituindo pela terceira, 2, 4h 2, 4h + 1, 8 3, 2 = 2, 4 ( h 2, 4 1, 8 + h ) = 2, 4 3, 2 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 15

16 h 1, 8 + h 3, 2 = 1 3, 2h + 1, 8h 1, 8 3, 2 = 1 5h = 5, 76 h = 1, 152 1, 15 Voltar para a Questão 9 Voltar para o Sumário MAT A- Questões de Vestibular p. 16