Soluções das Questões de Matemática do Concurso de Admissão ao Curso de Formação de Oficiais da Academia da Força Aérea AFA

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1 Soluções das Questões de Matemática do Concurso de Admissão ao Curso de Formação de Oficiais da Academia da Força Aérea AFA Questão Considere a função quadrática f : A Concurso 00/0 do vértice são iguais. Se f ( x) 0, x A ( q p) é igual a B de raízes x = ou x = 3, cujas coordenadas x p,q, então e f é função crescente [ ] a) 3 b) c) d) 4 Como a função f é quadrática de raízes e 3, podemos escrevê-la da seguinte forma: f x = a x x 3 O que nos dá: f ( x) = ax 4ax + 3a Em uma parábola do tipo f ( x) = Ax + Bx + C, calculando o x do vértice teremos: B ( 4a) Portanto as coordenadas do vértice são xv = xv = xv = A a,. Como a parábola é sempre positiva temos que a é negativo e a mesma só existe entre as raízes. Veja graficamente: f ( x) 3 Notamos que a função é crescente de x = a x x q p =. =, logo Opção C Questão Classifique em (V) verdadeiro ou (F) falso cada item abaixo, onde a R x a I) = x + a x R x a II) se < e a > 0, então { x R x < 0 ou x > a} x a

2 III) se a > 0 e x < a, então Curso Mentor x a < 0 Tem-se a sequência correta em a) F-V-F b) F-V-V c) V-F-V d) F-F-V Analisando cada uma das assertivas: I) Falsa. Basta um contra-exemplo. Se x = a, teremos 0 que é uma indeterminação. 0 II) Verdadeira. Veja que só há dois casos possíveis, se a > 0 : a) x é positivo: < x > a x a b) x é negativo: <, x R x a III) Verdadeira. Partindo da expressão Temos: x a < 0 x x < a < a Com a maior do que zero podemos desconsiderar o módulo: x < a * Opção B Questão 3 Um médico, apreciador de logaritmos, prescreveu um medicamento a um de seus pacientes, também apreciador de logaritmo, conforme a seguir. Tomar x gotas do medicamento α de 8 em 8 horas. A quantidade de gotas y diária deverá ser calculada pela fórmula log8 y = log 6 3 Considerando log = e log 3 = 0,48, é correto afirmar que log x é um número do 0 intervalo a)[ 6,7 [ b)[ 4,5 [ c) [ 5,6 [ d) [ 3,4 [ Da fórmula dada pelo médico podemos escrever: y = 8 Sabemos que loga b a = b, então: log log 6 3log 6 log 6 y = y = y = y = 6 Como são 6 gotas em 4 horas, serão 7 gotas a cada 8 horas. Assim x vale 7. Agora calculamos: log 7 = log 9 8 Usando a mudança de base: log 9 8 log 9 + log 8 log 3 + log 0,48 + 0,3 = = = log log log 0,3

3 0,96 + 0,6,56 = = 5, 0,3 0,3 Opção C Questão 4 Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas y ( reais) nº de bolsas confeccionadas Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender a) no mínimo bolsas b) exatamente 3 bolsas c) pelo menos bolsa d) no mínimo 4 bolsas Para funções do º grau do tipo ser calculado pela expressão: Onde ( x,y ) e 0 0 x f x = ax + b, o valor do coeficiente angular a, pode y y a = x x 0 0 x,y são pontos distintos quaisquer das retas. Deve-se lembrar que o coeficiente linear b, é o ponto onde a reta corta o eixo y. A partir disso, temos as funções: f ( x) = x a a 80 0 g ( x) = x Como queremos que o faturamento seja maior do que o custo: f x > g x 0x > 8x + 0 x > 0 5 x > 6 Portanto, basta vender uma única bolsa e essa condição já será atendida. Opção C 3

4 Questão 5 Curso Mentor Uma vinícola armazena o vinho produzido em um tanque cilíndrico (reto) com sua capacidade máxima ocupada. Esse vinho será distribuído igualmente em barris idênticos também cilíndricos (retos) e vendidos para vários mercados de uma cidade. Sabe-se que cada mercado receberá barris de vinho, com altura igual a 5 da altura do tanque e com diâmetro da base igual a 4 do diâmetro da base do tanque. Nessas condições, a quantidade x de mercados que receberão os barris (com sua capacidade máxima ocupada) é tal que x pertence ao intervalo a) 0 < x < 0 b) 0 x < 40 c) 60 x < 80 d) 40 x < 60 O volume de um cilindro reto pode ser calculado pela expressão: D V = πr h V = π h 4 Onde D é o diâmetro da base. Seja, então, V o volume do tanque de vinho e v o volume de cada barril. Cada mercado receberá v. Calculando v: Então v: Assim, cada mercado receberá 40 D 4 h D v = π v = π h v = V 40 do total do tanque, logo 40 mercados receberão o vinho. Opção D Questão 6 Se α = , então a) α pode ser escrito na forma α = k, k Z b) α ( R N ) c) α ( Q Z) ( R Q ) d) ( Z Q) ( R N ) α Calculando α : α = α = α = + 4 α = α = α = Assim α é par e pode ser escrito na forma k.

5 Questão 7 5 Opção A De um dos lados de uma avenida retilínea, estão dispostos alguns postes nos pontos P, P,..., P i, i N Do outro lado dessa mesma avenida estão dispostas algumas árvores nos pontos A, A,..., A j, j N Sabe-se que: PP PP i = 3 dam = 63 dam ( PP,PP 3,... ) é uma progressão aritmética finita de razão 3 AAj = PP i ( AA,AA 3,... ) é uma progressão geométrica finita de razão i = j Com base nessas informações, é correto afirmar que a maior distância entre duas árvores consecutivas é, em dam, igual a a) 63 b) 6 c) 8 d) 3 Como ( PP,PP 3,... ) é uma P.A. de razão 3: ( 3,6,9,...,P i Pi ). A distância do poste até o poste i será dada pela soma dos termos desta P.A. Calculando a soma teremos: ( i i ) ( i i ) 3 + P P n 3 + P P n Sn = = 63 Escrevendo o último termo em função do primeiro: P P = 3 + n 3 P P = 3n i i i i Substituindo na expressão da soma: 3 + 3n n = 6 3n + 3n 6 = 0 n + n 4 = ± 4 n n n 6 ( 4) = = = n = 69 3 n = n = n = 7 O último termo então fica A P.A. é P P = 3n P P = 8 i i i i 3,6,9,,5,8, havendo, portanto, 7 postes. O que nos dá i = 7. Sabemos que ( 3 ) d,d,4d,...,3d, onde d é a A A,A A,... é uma P.G. de razão : distância entre a primeira e a segunda árvore. A distância da árvore até a árvore j será dada pela soma dos termos desta P.G. Calculando a soma teremos: ( 6 ) ( 6 d d ) S = = 63 d = Podemos escrever a P.G.: (,,4,8,6,3 )

6 Como prova real: teremos, então, para Aj A j : A A = 3 A A = 3 j j j j Opção D Questão 8 O número complexo z = a + bi é vértice de um triângulo equilátero, como mostra a figura abaixo. Im b 0 θ a É correto afirmar que o conjugado de z tem afixo que pertence ao a) 3º quadrante. b) º quadrante. c) º quadrante. d) 4º quadrante. Solução : Como o triângulo é equilátero temos θ = 60. Assim z pode ser escrito na forma trigonométrica como sendo: Usando a fórmula de Moivre: O conjugado então seria: Re z a b cos 60 isen 60 = + + z a b cos 60 isen 60 = + + z = a + b cos 60 isen 60 Usando a seguinte relação trigonométrica: sen x = sen x Teremos: Usando a relação: Teremos: Mas, Daí: z = a + b cos 0 + isen 0 cos ( x) = cos ( x) z = a + b cos 0 + isen 0 0 = 40 z = a + b cos 40 + isen 40 Portanto, afixo está no 3º quadrante. Solução : Todo número complexo pode ser escrito na forma: 6

7 z = i z e θ Onde θ é o argumento do número complexo. No nosso caso: Elevando ao quadrado: i60 z = a + b e z = a + b e i0 i O conjugado de z = z e θ é dado pela expressão: Então: Portanto: z = i z e θ i0 z = a + b e z = a + b e i40 Opção A Questão 9 Considere o gráfico da função real p : A B y = p x 0 a b a c r x c r Analise as alternativas abaixo e, a seguir, marque a FALSA. p x 0 x R x < 0 ou c x r a) { } b) Existe um único x A tal que p ( x) = c) p p p p ( p ( r) ) = p p p ( p r ) ( ( )) ( ( )) d) Im ( p) = { r} ] c,c] c Vamos analisar cada alternativa: a) Verdadeira. O gráfico está abaixo do eixo das abscissas para valores de x tais que x R x < 0 ou c x r ; { } b) Falsa. Para dois valores de x temos ordenada igual a c: ( 0,c ) e c) Verdadeira. Basta calcular a composição a partir do gráfico dado: ( ( ( ( )))) = p p p ( p ( r) ) p p p p p r ( ) 7 b,c.

8 ( ( ( ( )))) = ( ( )) p ( p ( p ( a) )) = p ( p ( a) ) p p ( a) = p p a p p p p r p p p r ( ) d) Verdadeira. Basta projetar o gráfico sobre o eixo das ordenadas e teremos a imagem de p como sendo: Questão 30 Im ( p) = { r} ] c,c] Opção D Na figura abaixo têm-se quatro círculos congruentes de centros O, O, O 3 e O 4 e de raio igual a 0 cm. Os pontos M, N, P e Q são pontos de tangência entre os círculos e A, B, C, D, E, F, G, H são pontos de tangência entre os círculos e a correia que os contorna. A B H O 4 M O C Q N G O P O 3 D F E Sabendo-se que essa correia é inextensível, seu perímetro, em cm, é igual a π + 4 a) ( π + ) b) ( π + ) c) ( π + ) d) É fácil perceber que: Com relação aos arcos Logo o perímetro será: AB = CD = EF = GH = R = 0 cm BC + DE + FG + HA = π r = 0 π cm p = π p = 0 ( π + 4 ) cm Opção D Questão 3 Um colecionador deixou sua casa provido de R$ 5,00, disposto a gastar tudo na loja de miniaturas da esquina. O vendedor lhe mostrou três opções que havia na loja, conforme a seguir. 5 diferentes miniaturas de carros, custando R$ 4,00 cada miniatura; 8

9 3 diferentes miniaturas de livros, custando R$,00 cada miniatura; diferentes miniaturas de bichos, custando R$ 3,00 cada miniatura. O número de diferentes maneiras desse colecionador efetuar a compra das miniaturas, gastando todo o seu dinheiro, é a) b) 5 c) 4 d) 90 Como ele deve gastar todo o dinheiro ele só poderá fazer das seguintes maneiras: Caso : Comprando: miniatura de carro + miniatura de livro; 5! miniatura de carro: C5, = C5, = 5 4!! 3! miniatura de livro: C3, = C3, = 3!! Caso : Comprando: miniatura de bicho + miniaturas de livros;! miniatura de bicho: C, = C, =!! 3! miniatura de livro: C3, = C3, = 3!! Somando as possibilidades de compra (caso + caso ): T = T = Opção A Questão 3 Considere que I) em uma urna encontram-se p bolas vermelhas e q bolas azuis; II) duas bolas são retiradas dessa urna, sucessivamente e com reposição. Sabe-se que x é a variável que indica o número de bolas azuis observadas com as retiradas, cuja distribuição de probabilidade está de acordo com a tabela a seguir. x 0 P ( x ) 0,36 0,48 0,6 Nessas condições, é correto afirmar que a) a probabilidade de se observar no máximo uma bola azul é 64% b) se p = 8, então q = c) se p = 6, então q = 9 d) p + q é necessariamente menor ou igual a 00 Sendo A as bolas azuis e V as bolas vermelhas, as possibilidades de saída da urna são: A A 0,36 A V 0,48 V A V V 0,6 A probabilidade de saírem duas bolas azuis é: 9

10 q q q q Pq = Pq = = 0, 36 q = ( p + q) 0, 6 p + q p + q p + q p + q A probabilidade de saírem duas bolas vermelhas é: p p p p Pp = Pp = = 0,6 p = ( p + q) 0, 4 p + q p + q p + q p + q Dividindo uma equação pela outra: Analisando as opções: a) Falsa. É 48%. Basta olhar a tabela. b) Falsa. Se p = 8, q = 7. c) Verdadeira. Se p = 6, q = 9. d) Falsa. q = 0,6p + 0,6q q = 3p Opção C Questão 33 As circunferências λ e λ da figura abaixo são tangentes interiores e a distância entre os centros C e C é igual a cm λ λ C C Se a área sombreada é igual à área não sombreada na figura, é correto afirmar que o raio de λ, em cm, é um número do intervalo a), 5 b) 5, c), d) 3 5, 0 Seja R o raio da circunferência λ e R o raio da circunferência λ. Temos então que: R R = Do enunciado: Então ( R ) ( R ) ( R ) π π = π ( R ) = ( R ) R = R Substituindo uma equação na outra: R R = R = R 0,4 Opção D

11 Questão 34 Curso Mentor Considere as funções reais f e g tal que f ( x) = x + e que existe a composta de g com f dada por é a) sobrejetora. g x b) tal que c) par. gof x = x +. Sobre a função g, é INCORRETO afirmar que ela 0, x R d) crescente se x [, + [ Não conhecemos a função g ( x ), mas temos que: Ou seja, Fazendo x + = M, teremos ( ) = ( + ) g f x x ( + ) = ( + ) g x x g ( M) = ( M) g ( M) = M g ( x) = x Repare que conhecemos a função g ( x ), mas nada podemos afirmar sobre ela com relação a domínio e imagem. Considerando uma função g : R R teremos que a opção correta seria a A. Uma vez que esta função não é sobrejetora. Uma função sobrejetora é aquela que obedece o seguinte: x x g x g x Sem Opção Questão 35 Sobre o polinômio A ( x ), expresso pelo determinante da matriz INCORRETO afirmar que a) não possui raízes imaginárias. b) a soma de suas raízes é igual a uma de suas raízes. P x = x + c) é divisível por d) não possui raízes comuns com B ( x) = x x x, é x x Calculando o determinante encontramos: x 3 det x = x + x x + x x x x Portanto 3 A ( x) = x + x x Por observação vemos que é raiz do polinômio, pois A ( ) = 0. Então, efetuando a divisão de A ( x ) por x teremos:

12 Podemos então reescrever A ( x ) : A parcela Então + x x + x x + 3x + 3x x 3x + 3x x x x x x 3 = ( + + ) ( ) A x x 3x x x + 3x + pode ainda ser escrita como (basta calcular suas raízes): x + 3x + = x + x + A ( x) = ( x ) ( x + ) ( x + ) Agora analisando cada item vemos que a única afirmativa falsa é a D, pois B ( x ) possui raízes x = ±. Questão 36 Opção D Um quadrado de 9 cm de área tem vértices consecutivos sobre a bissetriz dos quadrantes pares do plano cartesiano. Se os demais vértices estão sobre a reta r, que não possui pontos do 3º quadrante, é INCORRETO afirmar que a reta r a) possui o ponto P (, ) b) pode ser escrita na forma segmentária. c) tem coeficiente linear igual a 3 d) é perpendicular à reta de equação x y = 0 Questão 37 Considere o conjunto A = { 0,,,3 } e a função f : A A tal que f ( x) = x +, se x 3 A soma dos valores de x para os quais ( fofof ) ( x) = 3 é a) b) 4 c) 3 d) 5 f 3 = e O domínio de f só possui 4 valores, podemos então verificar quais as imagens da função composta para estes valores: ) x = 0 ) x = 3) x = 4) x = 3 ( ( )) f f f 0 = f f = f = 3 ( ( )) f f f = f f = f 3 = ( ( )) f f f = f f 3 = f = ( ( )) f f f 3 = f f = f = 3

13 Então só há dois valores para os quais ( fofof ) ( x) = 3. Estes valores são 0 e 3, cuja soma é 3. Questão 38 Opção C Três amigos Samuel, Vitória e Júlia, foram a uma lanchonete. Samuel tomou guaraná, comeu esfirras e pagou 5 reais. Vitória tomou guaranás, comeu esfirra e pagou 4 reais. Júlia tomou guaranás, comeu esfirras e pagou k reais. Considerando-se que cada um dos três pagou o valor exato do que consumiu, é correto afirmar que a) o guaraná custou o dobro da esfirra. b) cada esfirra custou reais.. c) os três amigos juntos, consumiram 6 reais. d) Julia pagou 8 reais pelo que consumiu. Seja g o preço de um guaraná e e o preço de uma esfirra. De acordo com o enunciado temos: g + e = 5 g + e = 4 g + e = k Da primeira equação temos: Logo, substituindo na segunda: Calculando g: Finalmente, calculando k: Questão 39 Sendo 3 4 a 0 c g = 5 e ( 5 e) + e = 4 0 4e + e = 4 3e = 6 e = g = 5 g = + = k k = a = 70, o valor de 3 b 3 b 7 0 b + 3c a) 0 b) 0 c) 70 d) 80 Usando a regra de Laplace vamos calcular o determinante: 3 4 a 3 a = b = 70 3 b 0 c 0 c é Opção B 3

14 3 a 70 3 b = 70 c 3b a 9c = 0 c 70 a + 3b + c = Calculando o outro determinante 4 3 a 3 a = ( ) 3 b = 9 ( b + 3c) b + 3a + ( b + 3c) 3 b 0 b + 3c 7 0 b + 3c [ ] = 9b + 7c b + 3a + b + 6c = 3a + 9b + 33c = 3 a + 3b + c O resultado é, portanto, Opção A Questão 40 O período da função real f definida por f ( x) a) π b) π = sen3x + senx cos 3x + cos x π c) 4 é igual a d) π Podemos nesta questão usar a transformação da soma em produto: p + q p q senp + senq = sen cos E p + q p q cos p + cos q = cos cos Então: 3x + x 3x x sen cos sen3x + senx sen x cos x f ( x) = f ( x) = f ( x) = cos3x + cos x 3x + x 3x x cos x cos x cos cos f x = tg x Quando multiplicamos o argumento de uma função trigonométrica por seu período cai π a metade. Sabemos que o período de tgx é π, logo f ( x ) tem período. Opção B 4