Soluções das Questões de Matemática dos Concursos de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos CFS-B

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1 Soluções das Questões de Matemática dos Concursos de dmissão ao Curso de Formação de Sargentos CFS-B Questão 51 Concurso 011/1 Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4 cm cada um. Se os triângulos BC e DCE são equiláteros, a área do triângulo BDE é E B C a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 altura h do triângulo BDE é a mesma do triângulo CDE que é equilátero, veja a figura abaixo: E D 4 cm h 4 cm B 4 cm M 4 cm h Calculando sen ( 60 ) teremos: 4 h 4 h cm área do triângulo DE pode ser calculada como: BD h SDE 8 SDE SDE 8 cm 1 C 60 D

2 Opção C Questão 5 O número de anagramas da palavra SOLEIR que começam com vogal é a) 70. b) 780. c) 860. d) 880. Há 4 maneiras de começar por vogal, e como são 7 letras, temos o seguinte: T T 4 70 T 880 anagramas Opção D Questão 5 O raio da base de um cone equilátero mede cm, o volume desse cone em a) 4 π. b) 8 π. c) 4π. d) 18π. cm é Por definição, um cone equilátero é aquele em que a seção transversal é um triângulo equilátero, veja a figura abaixo: B M cm Como BC é equilátero o ângulo em C vale 60 e podemos calcular M (CM é o raio da base) pela expressão: M tg ( 60 ) M M 6 cm O volume de um cone é expresso por: 1 V π r h Daí 1 V π ( ) 6 V 4 π cm Questão 54 parábola y x intercepta a circunferência de centro em ( ) C Opção C 0,0 e raio nos pontos a) ( 1,1) e (,4 ). b) ( 1,1) e ( 1,1 ). c) (,4) e (,4 ). d) (,4) e ( ) 1,1.

3 Primeiro vamos escrever a equação de uma circunferência com centro em ( x 0,y 0 ) e raio R : ( x x ) ( ) 0 + y y0 R Do enunciado temos que ( x,y ) ( 0,0) e que R, então: 0 0 Usando a equação da parábola ( y x ) ( ) x + y : ( ) x + x 4 x + x 0 Fazendo x M teremos: M + M 0 O que nos dá: ± M1 M1 M1 1 ( ) M M M1 M Como x M : M 1 x 1 x ± 1 Ou M x x R Da expressão da parábola: ( ) ( ) x 1 y 1 y 1 1,1 y x x 1 y ( 1) y 1 ( 1,1) Questão 55 Se a e b são arcos do º quadrante tais que ( b) sen a + é a) ( + ) 4. b) ( ) c) 1 sen a e cos b, então ( + ) 1 4. d) ( ) 4. Sabemos que: Então: sen x + cos x 1 sen a + cos a cos a ± 1 cos a ± cos a 1

4 Como a está no º quadrante, o cosseno será negativo logo Fazendo o mesmo procedimento para b: sen b + cos b 1 sen b sen b ± 1 sen b ± 4 4 cos a. sen b ± Como b está no º quadrante, o seno será positivo logo sen b. O seno de uma soma pode ser calculado através da expressão: sen a + b sena cos b + senbcos a Usando esta expressão: ( ) 1 sen ( a + b) + 6 sen ( a + b) sen ( a + b) 4 Questão 56 Os números que expressam as medidas em, cm ou em cm, do lado, da superfície e do perímetro do quadrado, dados nessa ordem, formam uma P.. O lado desse quadrado, em cm, mede a) 5. b) 5. c) 4. d) P.. descrita pelo enunciado é: ( L,L,4L) Em qualquer P.. temos que: L + 4L L L 5L 0 L 0 L ( L 5) 0 5 L 5 0 L 5 Como zero não convém, temos que L cm. Opção 4

5 Questão 57 Curso Mentor Seja r a maior raiz da equação x ( x + ) ( x 1) 0. Se m é a multiplicidade de r, então r m é igual a a) 6. b) 5. c) 4. d). s raízes da equação são, 0 e 1. Esta última tem multiplicidade. ssim: r m Opção D Questão 58 Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então a + b c é igual a M N b a R O c Q P a) 150. b) 10. c) 100. d) 90. Como o hexágono é regular, MP é diâmetro do círculo e o triângulo MPR é retângulo em R, logo a 90. Para calcular b, precisamos descobrir quanto vale o ângulo interno de um hexágono regular. O ângulo interno de um polígono regular pode ser calculado pela expressão: ( n ) 180 ai n Fazendo n 6 teremos: ( 6 ) 180 ai ai 10 6 O ângulo interno de um hexágono regular mede 10, MP é bissetriz do ângulo M, então b 60 e c 0. Então: a + b c a + b c 10 Questão 59 Sejam as retas r e s de equações y x e y x +. tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é a) 0. b) 1. c). d). 5

6 tangente do ângulo entre duas retas y ax + b e y cx + d pode ser calculada usando a expressão abaixo: c a tgθ 1 + c a Usando os dados do problema: Questão 60 tgθ 1 + ( ) 5 tgθ tgθ 1 θ 45 5 O número de valores inteiros de x para os quais se verifica a inequação a) três. b) seis. c) cinco. d) quatro. x < 7x 6 é inequação pode ser escrita como: x 7x + 6 < 0 Calculando as raízes: ( 7) ± ( 7) x1 x1 6 x x x 1 Como sabemos, toda parábola do tipo y ax + bx + c tem o sinal contrário ao de a entre as raízes. Logo os valores inteiros de x devem pertencer ao intervalo: S 1,6 ( ) Há, portanto, 4 valores inteiros, são eles:,, 4 e 5. Opção D Questão 61 Na figura, B e CD são cordas tais que P medida de B, em cm, é C PB, CD 10 cm, e B CP PD, a P D Sejam os triângulos PCB e PD: a) 6. b)7. c) 8. d)9. 6

7 C B P D Os ângulos em D e B são iguais, pois subentendem o mesmo arco C. Os ângulos em e em C são iguais, pois subentendem o mesmo arco BD. Portanto os triângulos PCD e PD são semelhantes, daí: CP + PD 10 PD + PD 10 5PD 0 PD 6 O que nos dá CP 4. Pela semelhança obtida: PD P PB PC 6 PB PB 4 Logo P 4 e ( ) 4 PB PB 1 PB B 6 cm Opção Questão 6 Se o polinômio P ( x) ax x bx é divisível por ( x ) ( x + 1), então o valor de a + b é a) 10. b) 8. c) 7. d) 5. s raízes de ( x ) ( x + 1) são também raízes de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x. Então: P a b 0 7a b 0 9a b 10 Temos então o sistema: Somando as equações: Substituindo em uma delas: Logo a + b 10. P 1 a b 0 a + b 6 9a b 10 a + b 6 8a 16 a b 8 Opção Questão 6 Para dar 10 voltas completas em volta de um jardim circular, uma pessoa percorrerá 198 m. Considerando π,14, a medida em metros, do diâmetro desse jardim é a) 70. b) 65. c) 58. d) 5. 7

8 O comprimento de uma circunferência é dada por: C π r Teremos então, para 10 voltas: π r 198 r r 70 10π Opção Questão 64 cuba de uma pia tem a forma de um semi-esfera de dm de raio. capacidade dessa pia é π litros. a) 1 b) 14 c) 16 d) 18 O volume de uma esfera é dada pela expressão: 4 V π r semi-esfera tem metade deste volume, portanto: 4 π V e Ve π Ve 18π Deve-se lembrar que decímetros cúbicos são iguais a litros. Opção D Questão 65 Considere o Polígono de Frequência e a Ogiva, ambos representativos de uma distribuição de frequência com classes. s abscissas dos pontos que orientam as construções do Polígono e da Ogiva são, respectivamente, os e os (as) das classes. () limites superiores - frequências absolutas (B) pontos médios - frequências absolutas (C) pontos médios - limites superiores (D) limites superiores pontos médios Vamos às definições de cada uma: Polígono de frequências: É um gráfico de linhas de uma distribuição de frequências. sua construção é feita tal que no eixo das abscissas (x) estão os pontos médios de classe, e no eixo das ordenadas (y) podemos ter a freqüência absoluta f (polígono de freqüências absolutas), ou a freqüência relativa f r (polígono de freqüências relativas). Ogiva: é um gráfico representativo de frequências acumuladas. sua construção é feita tal que no eixo das abscissas (x) estão os limites superiores de classe, e no eixo das ordenadas (y) podemos ter a freqüência absoluta acumulada F (ogiva de freqüências absolutas), ou a freqüência relativa acumulada F r (ogiva de freqüências relativas). Opção C 8

9 Questão 66 Sejam as matrizes Curso Mentor e B. O valor de ( det ) ( detb ) é a) 4. b). c) 1. d). Calculando o determinante da matriz : det det 6 Calculando o determinante da matriz B: det B 18 0 det 18 det detb teremos: Calculando ( ) ( ) 6 18 Opção D Questão 67 No triângulo, o menor valor que x pode assumir é x cm 7 cm 60 8 cm a) 4. b). c). d) 1. plicando a lei dos cossenos sobre o ângulo de 60 : 7 x + 8 8x cos x x x 8x Solucionando esta equação, encontramos: x ou x 5 O menor destes valores é, portanto, x. Observação: Embora pareça impossível haver dois valores para x, eles realmente são possíveis, veja a figura abaixo, onde traçamos um círculo com centro em e raio igual a 7: 9

10 5 cm 7 cm cm 7 cm 8 cm Questão 68 O perímetro da base de um prisma quadrangular regular é 8 cm. Se a altura desse prisma é cm, então sua área total em cm é a). b) 4. c) 6. d) 8. Como a base do prisma é um quadrado a aresta da base mede 8 a a 4 Como sabemos a altura do prisma, basta somarmos as áreas das 4 faces laterais retangulares e das duas bases quadradas paralelas. Veja a figura abaixo: cm cm cm Portanto: Total cm S + 4 S cm Total Opção Questão 69 Na figura, O é o centro da circunferência e P é tangente a ela, em P. se PO ˆ 0 e O 1 cm, então a medida do raio da circunferência em cm é P O 10

11 a) 8. b)8. c) 6. d)6. O triângulo PO é retângulo em P e OP é o próprio raio da circunferência. Então: OP sen0 O 1 OP 1 OP 6 cm Opção C Questão 70 O número complexo z ( a 4) + ( b 5) i será um número imaginário puro se a) a 4 e b 5. b) a 4 e b 5. c) a 4 e b 5. d) a 4 e b 5. Para que um número seja imaginário puro, sua parte real deve ser nula e sua parte imaginária deve ser não nula, então: a 4 0 a 4 E Questão 71 b 5 0 b 5 razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo 0 < b 1 é a) 1 4. b) 1. c) 4. d). Solução 1: Fazendo a divisão que o problema propõe: logb 16 logb 4 Usando a propriedade de mudança de base, percebemos que esta divisão representa o seguinte: logb 16 log4 16 log4 4 log4 4 logb 4 Solução : Basta aplicar uma das propriedades do logaritmo: logb 16 logb 4 logb 4 logb 4 logb 4 logb 4 Opção D Questão 7 Considere a distribuição: Idade de 90 pacientes de um hospital go/009 Idades Número de Pacientes

12 frequência relativa da terceira classe dessa distribuição é a) 40%. b) 5%. c) 0%. d) 5%. terceira classe é aquela com idades anos. O total de pacientes nesta classe é 7 de um total geral de 90, logo: 7 P P 0, P 0% 90 Opção C Questão 7 Seja M ( 4, a ) o ponto médio do segmento de extremidades (,1 ) e B ( b,5 ). ssim o valor de a + b é a) 8. b) 6. c) 4. d). O ponto médio de um segmento de extremos ( x 1,y 1 ) e ( ) expressão: Então: Igualando as coordenadas E Portanto Questão 74 x + x y + y M, b M ( 4,a ) M, + b 4 b 8 b a a a + b 8 função definida por y m ( x 1) + x, m R, será crescente se 1 B x,y é calculado pela a) m 0. b) m > 1. c) 1 < m < 1. d) 1 < m 0. Opção Para que uma função do 1º grau seja crescente, devemos ter seu coeficiente angular positivo. Desenvolvendo a expressão dada para a função, teremos: y m x 1 + x y mx m + x Daí ( ) y mx x m + y x ( m 1) m +

13 m 1 > 0 m > 1 Questão 75 Formato, tamanho e cor são as características que diferem as etiquetas indicadoras dos produtos de uma loja. Se elas podem ter formatos, tamanhos e 5 cores, o número máximo de preços distintos dos produtos da loja é a) 4. b) 0. c). d) 40. Utilizamos para resolver este problema o princípio fundamental da contagem: T 5 T 0 etiquetas Questão 51 Concurso 010/ Se o triângulo CDE é semelhante ao triângulo BC, o valor de a b é: x a D B E b x C a) 0 b) 45 c) 60 d) 90 Como BC é retângulo temos que: x + x 90 x 0 Como BC é semelhante a CDE ou a 90 ou b 90 : 1) Se a 90 então a + b + x 180 b b 60 ) Se b 90 então a + b + x 180 a a 60 Para ambos os casos teremos: a b Opção Questão 5 aresta lateral de uma pirâmide triangular regular mede 5 m e a aresta da base, 6 m. área lateral dessa pirâmide em m, é: 1

14 a) 0 b) c) 4 d) 6 s faces laterais são formadas por três triângulos iguais aos da figura abaixo: 5 h Calculando h: área lateral então fica: 5 h + h 5 9 h 16 h SLateral SLateral 6 m Opção D Questão 5 Seja a P.G. ( a,b,c ). Se 7 a + b + c e abc 1, então o valor de a + c é: 6 a) 8 b) 1 c) 5 6 d) 1 6 Para uma P.G. de três termos podemos escrevê-los em função do termo central: x,x,xq q Onde x é o termo central e q é a razão da P.G. partir disso, conhecendo-se o produto dos termos: x x xq 1 x 1 x 1 q Usando agora a soma dos termos: ( 1) + ( q) q 6 1 q q 7 q 6 6 6q 6q 7q 6q + 1q

15 q q1 q1 1 ± q q 1 Há, portanto, duas sequências possíveis:, 1, e, 1, soma pedida fica então: 1 a + c + a + c 6 Opção D Questão 54 Quando dadas em cm, as medidas dos lados do trapézio BCD são expressas por números consecutivos. ssim o valor de x é: x cm B D x + cm C a) 1 b) c) d) 4 Como os lados são números consecutivos, eles serão dados por: x,x + 1,x +,x + Traçando uma reta BE paralela a D a partir de B temos a figura abaixo: x B x + 1 x + D x E C Da figura temos que D BE e o triângulo BCE é retângulo em E, assim: ( x + ) ( x + 1) + ( ) x + 4x + 4 x + x x + 4 x + 10 x 6 x 15 Opção C

16 Questão 55 Curso Mentor Os salários mensais, em reais, dos 4 funcionários de uma empresa são O salário mensal mediano dessa empresa, em reais, é a) 100 b) 110 c) 10 d) 10 mediana, por definição, é o número que se encontra na posição central de uma distribuição ordenada. Se o número de termos é ímpar, a mediana é o próprio termo; se é par, é a média aritmética dos termos final da primeira metade e inicial da segunda metade. No problema em questão, temos uma distribuição ordenada e o número de fatores é par. mediana então fica: Md Md 10 Opção C Questão 56 Numa circunferência a soma das medidas de dois arcos é 15. Se um desses arcos mede 11π rad a medida do outro é: 1 a) 150 b) 15 c) 100 d) 75 Primeiro convertemos o arco que está em radianos para uma medida em graus, utilizando uma regra de três simples: π π x 1 11π 180 x x 165 1π Como a soma é 15, basta fazer a diferença: Opção Questão 57 o calcular C, obtém-se: a)! b) 4! c) 5! d) 6! 16

17 Por definição, o arranjo de n termos tomados p a p é dado por: p n! n n p! Então: ( ) ( ) 10! 10! 10! 7! Por definição, a combinação de n termos tomados p a p é dada por: p n! Cn n p!p! Então: Finalmente: C ( ) ( ) 10! C 10! 10!! 7!! ! 7!!! C 7! 10! C Opção Questão 58 Seja a inequação x 1. soma dos números inteiros que satisfazem esta inequação é: a) 8 b) 7 c) 5 d) 4 Para uma inequação modular temos sempre que: x a a x a plicando ao enunciado: x 1 x x + 1 x 4, 1,0,1,,,4. Cuja soma é igual Os números inteiros que satisfazem a equação são { } a 7. Questão 59 Na figura, H é altura do triângulo BC, assim o valor de x é: 50 x 0 B S H C a) 0 b) 15 c)10 d) 5 Como BH é retângulo em H temos que: 50 + x

18 x 10 Opção C Questão 60 O inverso do número complexo z a) i i é z b) 1 c) d) i 1 O inverso do número complexo z i é dado pela expressão z que precisa ser i racionalizada. Sendo assim: 1 i i i i z z z z i i 4 i 4 1 ( ) ( ) Opção Questão 61 Um setor circular cujo arco mede 15 cm tem 0 cm de área. medida do raio deste setor em cm é: a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 Fazendo uma regra de três simples e direta temos: πr cm πr cm Fazendo esta conta: 15 cm 0 cm r π 0 πr 0 πr 15 r 4 cm r π 15 Opção Questão 6 No triângulo OB, OB 5 cm ; então B, em cm, é igual a: 0 45 B O a) 6 b) 8 c) 5 d) 6 Pela lei dos senos temos que: plicando no problema: sen ˆ B senbˆ 18

19 Substituindo os valores: Curso Mentor B OB sen45 sen0 B 5 1 B 5 Opção C Questão 6 Sejam f e g duas funções reais inversas entre si. Se f ( x) x, então ( ) a) 0 b) 1 c) d) g 1 igual a: Solução 1: Como as funções são inversas entre si, a imagem de uma será o domínio da outra e vice-versa. ssim, basta substituir o valor 1 na função f no lugar de y: 1 x x x 1 Solução : Podemos achar a inversa g: f x x Então: Fazendo x 1: ( ) y x x y y x + y ( ) g x x + 1 g ( 1) + g ( 1) 1 x + Questão 64 Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais, tal que f x 1 f x f 0 0 f é igual a ( + ) ( ) +. Se ( ), então ( ) a) 9 b) 10 c) 11 d) 1 Pela definição da função, fazendo x 0 teremos: f f 0 + f f 1 Então: ( ) ( ) ( ) ( ) f ( 1 + 1) f ( 1) + f ( ) + f ( ) 9 Opção Questão 65 diagonal de um cubo de aresta a 1 mede cm e a diagonal da face de um cubo de aresta a mede cm. ssim a1 a em cm é igual a a) 6 b) c) 6 d) 19

20 Dado um cubo de aresta a temos que a diagonal da face é dada por a e a diagonal do cubo é dada por a. ssim para o cubo de aresta a 1: a1 a1 a1 Para o cubo de aresta a : a a a Portanto o produto a1 a é 6. Opção C Questão 66 O valor do cos15 é a) b) + c) d) + Podemos pensar no cosseno da diferença: cos a b cos a cos b + sen a sen b ssim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos 15 cos ( ) cos ( ) cos 60 cos 45 + sen60 sen45 1 cos cos Como podemos ver nenhuma das opções corresponde a nossa resposta. Porém precisamos ver se algum dos radicais duplos corresponde ao que encontramos. Por definição se um radical puder ser separado em radicais simples ele será como abaixo: + C C ± B ±, C B Pegando a opção b) para testar:, B C C 1 ( ) ( + ) ( ) Racionalizando: ( + ) Finalmente: 0

21 Questão 67 Seja o número complexo z igual a 1 + i, se z é o conjugado de z, então o produto z z é a) 1 b) c) d) O conjugado de um número complexo qualquer é obtido invertendo-se o sinal da parte imaginária do número complexo em questão. ssim se z 1 + i, então seu conjugado é z 1 i. O módulo de um número complexo z a + bi é dado por: z a + b Pela própria definição do módulo, vemos que calculando o que pede o enunciado, temos: Questão 68 z z ( ) 1 z z Portanto, Seja G o ponto de encontro das medianas de um triângulo cujos vértices são ( 1, ), B ( 4, 1) e C(,7 ). abscissa de G é a) 1 b) 0 c) 1 d) O encontro das medianas de um triângulo é conhecido como baricentro deste triângulo e pode ser calculado através da fórmula: x + xb + xc y + yb + yc G, Substituindo os valores dados: G, Questão 69 Sabe-se que a equação G (,1 ) 4 x x 8x 18x 9 0 Opção D + equivale a ( ) ( ) ssim a raiz de multiplicidade desta equação é a) b) 1 c) 1 d) Basta desenvolver a segunda expressão e veremos que: x 1 x 9 0.

22 ( x 1) ( x 1) ( x ) ( x + ) 0 ssim, fica fácil verificar que as raízes são 1,1, e. Questão 70 Sejam as matrizes m, B p q e C 5. Se BC, então m+n+p é igual a a) 10 b) 11 c) 1 d) 1 Para que duas matrizes possam ser multiplicadas o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda e, além disso, a matriz resultante terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Por observação, p q e m 5 Portanto: p + q + m Questão 71 Considere a circunferência de equação ( ) ( ) x + y 4 9 e uma reta r secante a ela. Uma possível distância entre r e o centro da circunferência é a) 5,67 b) 4,6 c),58 d),9 equação de uma circunferência no plano ( ) ( ) R tem sempre equação: 0 0 x x + y y r Onde x 0 e y 0 são as coordenadas do centro e r é o raio. Como a reta r é secante, devemos ter a distância do centro a reta menor do que o raio da circunferência, que de acordo com o enunciado vale. ssim a única opção se encontra na letra D. Opção D Questão 7 Para xy 0 a expressão a) y x y cos 180 xysen70 y sen90 x cos0 + b) 1 x y c) x equivale a d) y x Desenvolvendo a expressão teremos: y 1 xy 1 + y 1 E x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) xy y E E x x Opção

23 Questão 7 Seja a matriz ( aij ) Curso Mentor 0, se i j tal que a ij. soma dos elementos de é i + j, se i j a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 Escrevendo a matriz quadrada de ordem teremos: a11 a a1 a soma dos elementos é, portanto, 6. Opção C Questão 74 Se os pontos (, ), B ( 4,0 ) e ( ) número C 0,k estão alinhados, então o valor de k é um a) ímpar b) primo c) múltiplo de 5 d) múltiplo de Para que três pontos estejam alinhados devemos ter o determinante abaixo igual a zero: 1 Calculando: k k k k k 1 k 6 Opção D Questão 75 Se as frequências absolutas da 1ª a 6ª classes de uma distribuição são, respectivamente, 5, 1, 0, 0, 4 e 8, então a frequência acumulada da 4ª classe dessa distribuição é a) 68 b) 8 c) 8% d) 0% Fazendo uma tabela: Classe Frequência Frequência cumulada 1ª 5 5 ª 1 18 ª ª ª ª Opção