2.1 - Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes.

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1 Matemática Básica 09 Trigonometria 1. Introdução A palavra Trigonometria tem por significado do grego trigonon- triângulo e metron medida, associada diretamente ao estudo dos ângulos e lados dos triângulos, figuras básicas em qualquer estudo de geometria. A trigonometria é usada para resolver problemas geométricos que relacionam ângulos e distâncias. 2. Classificação dos Triângulos quanto aos lados Triângulo Equilátero: é todo triângulo que apresenta os três lados com a mesma medida. Nesse caso dizemos que os três lados são congruentes Triângulo Isósceles: é todo triângulo que apresenta dois lados com a mesma medida, ou seja, dois lados de tamanhos iguais Triângulo Escaleno: é todo triângulo que apresenta os três lados com medidas diferentes, ou seja, três lados de tamanhos diferentes. 3. Classificação dos Triângulos quanto aos ângulos Triângulo Acutângulo: é todo triângulo que apresenta os três ângulos internos menores que 90 o, ou seja, os três ângulos internos são agudos Triângulo Obtusângulo: é todo triângulo que apresenta dois lados com a mesma medida, ou seja, dois lados de tamanhos iguais. Trigonometria Página 1 de 9

2 3.3 - Triângulo Retângulo: é todo triângulo que apresenta um ângulo interno reto, ou seja, que possui um ângulo medindo 90 o. 4. Razões Trigonométricas Hipotenusa e catetos Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura. A figura representa um triângulo retângulo AB e AC são catetos BC é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto de 90º) Seno, Cosseno e Tangente Considere o triângulo retângulo BAC. Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: SENO : seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: COSSENO : Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: Trigonometria Página 2 de 9

3 TANGENTE : Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Assim: Exemplo: OBS: (1) A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim: (2) A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. (3) O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. Nunca esqueça do Teorema de Pitágoras, que diz O QUADRADO DA HIPOTENUSA É IGUAL À SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS. Assim, para o triângulo retângulo acima, a 2 = b 2 + c 2. Trigonometria Página 3 de 9

4 5. Razões Trigonométricas de 30º, 45º e 60º Considere as figuras: 5.1 Seno, Cosseno e Tangente de 30º 5.2 Seno, Cosseno e Tangente de 45º 5.3 Seno, Cosseno e Tangente de 60º Trigonometria Página 4 de 9

5 Resumindo: 6. Relação entre graus e radianos Correspondência: Exemplos: 1) Transformar 30º em radianos Solução: 180º π rad 30º x Logo: x = (30. π)/180 = π/6 rad 7. Círculo Trigonométrico O círculo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário com intervalo de [0, 2π], a cada ponto da circunferência associamos um número real. No círculo trigonométrico existem alguns ângulos notáveis, isto é, valores que estão presentes com maior frequência em situações problemas. A tabela a seguir relaciona as unidades de medida, graus e radianos. Trigonometria Página 5 de 9

6 No círculo trigonométrico trabalhamos três tipos de simetria: em relação ao eixo vertical (seno), eixo horizontal (cosseno) e em relação ao centro Seno Alguns valores envolvendo seno de ângulos são conhecidos e fáceis de aprimorar, por exemplo, sen π/6 = sen 30º = 1/2. Outro bem familiar é sen π/4 = sem 45º = 3/2. Para identificarmos o seno dos outros ângulos utilizamos a SIMETRIA VERTICAL. Observe a circunferência trigonométrica a seguir: Cosseno No caso dos cossenos vamos utilizar a SIMETRIA HORIZONTAL para determinar o cosseno dos ângulos do círculo trigonométrico: Trigonometria Página 6 de 9

7 8. Sinais do Seno e do Cosseno X Círculo Trigonométrico Seno Obs: O seno é positivo nos Cosseno e e 9. Exercícios Determine o valor de x na figura ao lado. Solução: Em relação ao ângulo de 42º, o cateto de medida x é o cateto oposto e 5cm é a hipotenusa. Desse modo, devemos usar o seno. Assim, Substituindo o valor de, tem-se que 9.2 Uma mulher cujos olhos estão a 1,5 m do solo, em um ângulo de 12º, um edifício que se encontra a 200m dela. Qual é a altura aproximada do edifício? Solução: No triângulo da figura ao lado, temos: Sendo, teremos: Esquematizando: Assim: Resposta: A altura aproximada do edifício é de 44 m. Trigonometria Página 7 de 9

8 9.3 Observe o triângulo da figura ao lado. Sendo, determinar o valor de x. Solução: Como, teremos:. Usando o teorema de Pitágoras: 10. Relações entre Razões Trigonométricas Observe que, se representarmos por x a medida de um ângulo agudo, a medida de seu complemento será representado por 90º - x. Assim: 1) 2) 3) Exercício: 4) Trigonometria Página 8 de 9

9 Trigonometria Página 9 de 9

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