Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta

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1 Questão São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 00 g de manteiga,.00 kcal; kg de queijo,.00 kcal; uma banana, 80 kcal. a) Qual o valor calórico de uma refeição composta por duas fatias de pão integral, um copo de 00 ml de leite, 0 g de manteiga, fatias de queijo, de 0 g cada uma, e duas bananas? b) Um copo de leite integral contém 8 mg de cálcio, o que representa % do valor diário de cálcio recomendado. Qual é esse valor recomendado? a) A refeição é composta de: fatias de pão integral: 55 kcal 0 kcal; 550 kcal 00 m de leite: 00 ml 0 kcal; 000 ml 00 kcal 0 g de manteiga: 0 g 70 kcal; 00 g fatias de queijo com 0 g cada: 00 kcal 0g 8 kcal; 000 g bananas: 80 kcal 60 kcal. Logo o valor calórico da refeição é: kcal b) O valor diário de cálcio recomendado é: 8 mg % 00% 800 mg Questão A quantia de R$.80,00 deverá ser dividida entre pessoas. Quanto receberá cada uma, se: a) A divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? b) A divisão for feita em partes inversamente proporcionais a 5, e 0? a) Sejam, y e z as partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7, respectivamente. Como + y + z 80, temos: y z + y + z y z reais y 0 reais z 8 reais b) Sejam, y e z as partes inversamente proporcionais a 5, e 0, respectivamente. Então: 5 y 0 z + y + z 80 y 5 z reais y 800 reais z 60 reais Questão O custo de uma corrida de tái é constituído por um valor inicial Q 0, fio, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,5, e que em outra corrida, de,8 km, a quantia cobrada foi de R$ 7,5. a) Calcule o valor inicial Q 0. b) Se, em um dia de trabalho, um taista arrecadou R$ 75,00 em 0 corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia? a) Sendo C o valor da corrida e sabendo que varia proporcionalmente à distância D percorrida, então eiste uma constante k R tal que C Q 0 k D C Q0 + k D. Para uma distância percorrida de,6 km, o custo é R$ 8,5 e para,8 km é R$ 7,5. Então:

2 matemática 8,5 Q0 + k,6 Q0 8,5,6 k 7,5 Q0 + k,8 0,8k Q0,75 k,5 b) Em 0 corridas o taista irá arrecadar 0 vezes o valor inicial Q 0 mais o valor proporcional à distância percorrida. Logo, 0,75 +,5 D 75 D 0 km. Questão Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado cujos lados medem 0 cm cada. Suponha que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente, no ponto M, ao lado oposto AB. a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M. b) Calcule o raio da circunferência C. a) Como M pertence ao lado AB, cuja distância a CD é 0 cm, a altura do triângulo CDM relativa ao lado CD mede 0 cm. Assim, a sua área é CD cm. b) Consideremos a figura a seguir, que mostra o quadrado ABCD e a circunferência C de centro O e raio R. Observe que OM AB pois a circunferência é tangente ao lado AB no ponto M. No triângulo retângulo OND, ON MN OM 0 R, OD ReDN 0 5 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OND, R (0 R) + 5 R 00 0R + R + 5 R 6,5 cm. Questão 5 Dois navios partiram ao mesmo tempo, de um mesmo porto, em direções perpendiculares e a velocidades constantes. Trinta minutos após a partida, a distância entre os dois navios era de 5 km e, após mais 5 minutos, um dos navios estava,5 km mais longe do porto que o outro. a) Quais as velocidades dos dois navios, em km/h? b) Qual a distância de cada um dos navios até o porto de saída, 70 minutos após a partida? a) Sejam v > v as velocidades dos navios, em km/h. Após 0 min h, os navios estão a distâncias v e v, em v v quilôme- tros, do ponto de partida, respectivamente. Como os navios trafegam em direções perpendiculares, a distância entre eles, trinta minutos após a partida, é v v + 5 km v + v 900. v + v Após mais 5 min h, ou seja, um total de h h + h, um dos navios está,5 km mais longe do porto do que o outro. Assim, v v +,5 v v + 6. Logo: v v (v + 6) + v 900 v v + 6 v v + 6 v + 6v 0 v km/h v v + 6 v 8 km/h 70 b) Como 70 min 60 h 9 h, os navios estão 9 respectivamente a v 9 08 km e 9 9 v 8 8 km do porto de saída. Questão 6 Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra a figura a seguir.

3 matemática a) Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N. b) Calcule o comprimento do segmento NB. a) Seja R o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABN. Aplicando a lei dos senos a esse triângulo, AB o sen 0 R R R km. b) Seja m ( NBC ) α. Logo m (NBA) 50 o α e, no triângulo ABN, m (NAB) o o o 80 0 (50 α) α. Aplicando a lei dos senos ao ABN, NB senα NB senα. E no triângulo retângulo BNC, cosα NB NB cosα. Desse modo, senα cosα tgα. Como 0 < α < 90 o, α5 o o e NB sen 5 km. Questão 7 Um capital de R$.000,00 é aplicado a uma taa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. [Se necessário, use log 0 0,0 e log 0 0,77]. a) O capital (c) acumulado através de uma aplicação de R$.000,00 a uma taa anual de 8%, após n anos, é dado por c 000( + 0,08) n. Logo o capital acumulado após anos é c 000 (,08) R$.996,80. b) Seja n N o número mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial ci 0. Assim c > c i n n c i (,08) > c i (,08) > n log 08 > log 00 n log 0 > log n ( log + log log 0) > log 0,0n > 0,0 n > 9. Logo o número mínimo de anos necessários é 0. Questão 8 A função y a + b + c, com a 0, é chamada função quadrática. a) Encontre a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A(0, ), B(, ) e C(, ). b) Dados os pontos A( 0, y 0 ), B(, y ) e C(, y ), mostre que, se 0 < < eseos pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta, então eiste uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C. a) Seja y a + b + c a função quadrática em questão. Como (0; ), ( ; ) e (; ) pertencem ao gráfico dessa função: a 0 + b 0 + c c a ( ) + b ( ) + c a b +c a + b + c a + b + c a b 0 c Assim, a função quadrática cujo gráfico passa por esses três pontos é y +. b) Eiste uma única função quadrática y a + b + c cujo gráfico passa pelos pontos não alinhados A ( 0 ; y 0 ), B ( ; y )ec( ; y ) se, e somente se, o sistema linear em a, b e c y0 a0 + b0 + c y a + b + c y a + b + c 0 a + 0 b + c y0 a + b + c y a + b + c y ( )

4 matemática é possível e determinado e a 0. Isso ocorre quando os determinantes A, da matriz incompleta, e A a, da matriz obtida de A substituindo-se a ª coluna de A pelos termos independentes, são ambos não nulos. Temos A 0 0 ( 0)( 0)( ) 0 y0 0 0 y0 e A a y y 0, pois y y os pontos A, B e C não estão alinhados. Logo, como A 0e A a 0, o sistema ( ) é possível e determinado, com a A a A 0. Portanto os valores de a, b e c são unicamente determinados e, desse modo, eiste uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos A, B e C. Questão 9 Com as letras, y, z e w podemos formar monômios de grau k, isto é, epressões do tipo p q r y z w s, onde p, q, r e s são inteiros não-negativos, tais que p+ q + r + s k. Quando um ou mais desses epoentes é igual a zero, dizemos que o monômio é formado pelas demais letras. Por eemplo, y z é um monômio de grau 7 formado pelas letras y e z [nesse caso, p s 0]. a) Quantos monômios de grau podem ser formados com, no máimo, letras? b) Escolhendo-se ao acaso um desses monômios do item (a), qual a probabilidade dele ser formado por eatamente duas das letras? a) O número de monômios de grau com no máimo letras é igual ao número de soluções da equação p + q + r + s, com p, q, r e s inteiros não negativos. Logo, como a equação + k + n n k possui raízes inteiras não negativas, eistem + k monômios.! b) Há 6 maneiras de escolhermos duas dentre as quatro letras. Determinadas as duas letras, digamos a e b, eistem monômios formados por elas nas condições do problema: ab, a b, a b. Portanto a probabilidade pedida é Questão 0 Um número compleo z + iy, z 0, pode ser escrito na forma trigonométrica: z ( z cos θ + i sen θ ), onde z + y, cos θ/ z e sen θy/ z. Essa forma de representar os números compleos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de números compleos, em virtude da fórmula de De Moivre: k k [ z ( cos θ + i sen θ)] z ( cos kθ + i sen kθ) que é válida para todo k Z. Use essas informações para: a) Calcular ( + i ). b) Sendo z + i, calcular o valor de 5 + z + z + z z. a) Seja z + i. Então z ( ) + e, sendo θ o argumento principal de z: cos θ π θ 6 sen θ Logo z π cos + i π sen e, utilizando a fórmula de De Moivre, ( + i) z 6 6 π π cos + i sen 6 6 cos π + i sen π 6 6

5 matemática 5 (cos π + i sen π ) 096. b) z i cos + i sen π + π Como (; z; z ; z ;...; z 5 ) é uma PG de primeiro termo a, razão q z e 6 termos, 6 5 q + z + z + z z a q 6 z. z Pela fórmula de De Moivre, 6 6 π π z cos + i sen π π cos 6 + i sen 6 cos π + i sen π e 5 + z + z + z z 0. Questão A figura a seguir apresenta um prisma reto cujas bases são heágonos regulares. Os lados dos heágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 0 cm. A, 0 cm A 5cm Como o plano passa pelos pontos A, C e A e CD // AA, D pertence ao plano (ACA ). Sendo o prisma reto, esse plano determina no prisma a secção retangular ACDA. Já que cada ângulo interno de um heágono regular vale 0, pela lei dos o (6 ) 80 o 6 cossenos no ABC, temos o (AC) cos0 (AC) 5 AC 5 cm. Desse modo a área da secção AA CD é cm. Questão B 5cm D C A, 0cm A 5cm a) Calcule o volume do prisma. b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A. a) Como a partir do centro de um heágono regular podemos dividi-lo em seis triângulos eqüiláteros congruentes, o volume do prisma é: cm b) Consideremos a figura a seguir: C Para resolver equações do tipo + a + + b + a + 0, podemos proceder do seguinte modo: como 0 não é uma raiz, divide-se a equação por e, após fazer a mudança de variáveis u +, resolve-se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se Re > 0, então u. a) Ache as raízes da equação b) Encontre os valores de b Rpara os quais a equação + b + 0 tem pelo menos uma raiz real positiva. a) Se u +, então u +. Dividindo a equação por : + + 0

6 matemática u u + 0 u u + 0 ± i + u ou u ou ou + V + i, i, ( é raiz dupla) b) Seja t u. Vamos demonstrar inicialmente que R e > 0 u t 0: u + u + 0 ( ) c Como P > 0, eiste R e > 0 satisfazendo ( ) se, e somente se, a a b S > 0 0 u > 0 u t 0. u 0 Considerando agora a equação dada: + b b 0 u u + b 0 ( u ) + ( u ) + b 0 t + t + b 0 Assim, a equação dada tem pelo menos uma raiz real positiva se, e somente se, a equação t + t + b 0 tem pelo menos uma raiz não negativa. Como a soma das raízes dessa equação do º grau é, basta que o produto seja menor ou igual a zero, ou seja, b 0 b.