Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana.

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1 Cevianas: Baricentro, Circuncentro, Incentro e Mediana. 1. (Ita 014) Em um triângulo isósceles ABC, cuja área mede 48cm, a razão entre as medidas da altura AP e da base BC é igual a. Das afirmações abaixo: I. As medianas relativas aos lados AB e AC medem 97 cm; II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; III. Se α é o ângulo formado pela base BC com a mediana BM, relativa ao lado AC, então cos α, 97 é (são) verdadeira(s) a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III.. (Ita 01) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo BCA ˆ em quatro ângulos iguais. Se é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule: a) A medida da mediana em função de. b) Os ângulos CAB, ˆ ABC ˆ e BCA. ˆ. (Uem 01) Considere um triângulo ABC com medidas AB 5cm, AC cm e BC 4cm. Sejam D o ponto médio de BC e E o ponto médio de AB. Assinale o que for correto. 01) Os triângulos ABC e EBD são congruentes. 0) A área do triângulo ABC é menor do que 4 cm. 04) O triângulo EBD é obtusângulo. 08) O centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC está no interior desse triângulo. 16) A área do quadrilátero AEDC é o triplo da área do triângulo EBD. Página 1 de 10

2 4. (Ufg 01) Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indicado na figura a seguir, isto é, três círculos congruentes, com centros nos vértices de um triângulo equilátero, tinham uma reta tangente comum. Nestas condições, e considerando-se uma circunferência maior que passe pelos centros dos três círculos congruentes, calcule a razão entre o raio da circunferência maior e o raio dos círculos menores. 5. (Unesp 01) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda. Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a). b). c) 4. d) 1. e) 5. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Considere um triângulo ABC cuja base AB mede 7dm. Traçando-se uma reta t, paralela à base, ela determina sobre os lados AC e BC, respectivamente, os pontos D e E. Sabe-se que DC mede 14dm, BE mede 8dm e DE mede 18dm. 6. (G1 - ifal 01) Assinale a alternativa verdadeira. a) O triângulo ABC é equilátero, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência. b) O triângulo ABC é um polígono regular, logo, ele pode ser inscrito em uma circunferência. c) O triângulo ABC é escaleno, mesmo assim ele pode ser inscrito em uma circunferência. d) O raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 9 dm. e) O apótema da circunferência circunscrita ao triângulo ABC mede 4,5 dm. Página de 10

3 7. (G1 - col.naval 011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e o baricentro será a) 5k b) 4k c) 4k 5 d) k e) k 8. (Ufc 00) Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros ABC e A'B'C' que possuem o mesmo baricentro, tais que AB A'B', AC A'C' e BC B'C'. Se a medida dos lados de ABC é igual a cm e a distância entre os lados paralelos mede cm, então a medida das alturas de A'B'C' é igual a: a) 11,5 cm b) 10,5 cm c) 9,5 cm d) 8,5 cm e) 7,5 cm 9. (Ufpi 000) No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é: a) 10 9 b) 9 8 c) 7 6 d) 4 e) Página de 10

4 10. (Pucrj 1999) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1cm em que O é o ponto de encontro das alturas. Quando mede o segmento AO? 11. (Pucmg 1997) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio cm. AD é altura do triângulo. Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é: a) b) 5 c) d) 5 e) 6 1. (Ufpe 1996) Na figura a seguir o triângulo ABC é equilátero com lados de comprimento cm. Os três círculos C 1, C e C têm raios de mesmo comprimento igual a 1 cm e seus centros são os vértices do triângulo ABC. Seja r > 0 o raio do círculo C 4 interior ao triângulo ABC e simultaneamente tangente aos círculos C 1, C e C. Calcule 9(1 + r). Página 4 de 10

5 1. (Unirio 1996) Na figura anterior, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede m.; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD, respectivamente. Quantos rolos de fita adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da figura, se cada rolo possui 1m de fita? a) 18 b) 0 c) d) 4 e) (Ufpe 1995) Seja r o raio, em cm, da circunferência inscrita em um triângulo retângulo com catetos medindo 6cm e 8cm. Quanto vale 4r? 15. (Unitau 1995) O segmento da perpendicular traçada de um vértice de um triângulo à reta suporte do lado oposto é denominado: a) mediana. b) mediatriz. c) bissetriz. d) altura. e) base. 16. (Unicamp 1991) Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como indica a figura adiante, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em termos de r para que isso seja possível. Página 5 de 10

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [A] [I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo ABC mede 1 1 (ABC) BC AP 48 BC BC BC 4 Logo, AP 1 8cm. BC 1cm. 48cm e que AP BC, vem Como P é ponto médio de BC, é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo APC, que AB AC 10cm. Portanto, sendo M o pé da mediana relativa ao lado AC, tem-se 1 BM (AB BC ) AC 1 (10 1 ) cm. [II] Falsa. De fato, sendo G o baricentro do triângulo ABC, temos AG AP 1 8cm. [III] Falsa. Sabendo que BM 97 cm, vem obtemos BP 6 9 cos α. BG BG BM cm. Assim, do triângulo BGP, Página 6 de 10

7 Resposta da questão : Considere a figura. Seja P o ponto diametralmente oposto ao ponto C e H o pé da perpendicular baixada de C sobre AB. É fácil ver que ACB BPC e AHC CBP (pois CP é diâmetro). Logo, ACH BCP e, portanto, o diâmetro CP contém a mediana do triângulo ABC relativa ao vértice C e o circuncentro O do triângulo ABC. Além disso, como O é a interseção da mediana relativa ao vértice C e da mediatriz de AB, segue que M O, com M sendo o ponto médio do lado AB. Por conseguinte, o triângulo ABC é retângulo em C. AB a) Como o triângulo ABC é retângulo em C, temos CM. b) Sendo I o pé da bissetriz por C, considere a figura. Sejam ACH HCI ICM MCB α. Logo, ACB 4α 90 4α α 0'. Portanto, BAC 90 ACH e 90 0' 67 0' ABC 90 BAC ' 0'. Página 7 de 10

8 Resposta da questão : =. [01] Incorreto. Como DE é uma base média do triângulo ABC, é fácil ver que os triângulos ABC e EBD são semelhantes, com razão de semelhança igual a. [0] Correto. Pela Fórmula de Heron, temos (ABC) cm. [04] Correto. Como ABC e EBD são semelhantes, basta mostrar que ABC é obtusângulo. De fato, AB BC AC 5 4. [08] Incorreto. Do item [04] sabemos que ABC é obtusângulo. Portanto, segue-se que o circuncentro de ABC não está no seu interior. [16] Correto. Do item [01], temos (ABC) 4. (EBD) Daí, como (ABC) (EBD) (AEDC), segue que (AEDC) (EBD). Página 8 de 10

9 Resposta da questão 4: Na figura abaixo, H 1, H e H são os pontos em que os círculos de centros A,B e C tangenciam a reta. Seja O o centro do círculo circunscrito ao triângulo ABC. É fácil ver que BH1 AH BH1 AM, com M sendo o ponto médio do lado BC. Logo, pela propriedade da mediana, obtemos 4 OA AM BH 1, ou seja, o raio do círculo maior é igual a 4 do raio dos círculos menores. Resposta da questão 5: [A] Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. Resposta da questão 6: [C] O triângulo ABC é escaleno, pois seus lados possuem medidas diferentes e qualquer triângulo pode ser inscrito numa circunferência. O centro dessa circunferência é o circuncentro do triângulo, ou seja, o ponto de encontro das mediatrizes dos lados. Página 9 de 10

10 Resposta da questão 7: [E] Seja ABC um triângulo acutângulo isósceles. Sejam O, G e H, respectivamente, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro. Como a distância do baricentro ao ortocentro é o dobro da distância do baricentro ao circuncentro, segue que GH OG k OG k OG. OH GH OG k Resposta da questão 8: [B] Resposta da questão 9: [D] Resposta da questão 10: AO = cm Resposta da questão 11: [A] Resposta da questão 1: 1 Resposta da questão 1: [E] Resposta da questão 14: 48 Resposta da questão 15: [D] Resposta da questão 16: R = r Página 10 de 10