II - Teorema da bissetriz

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1 I - Teorema linear de Tales Se três ou mais paralelas são cortadas por duas transversais, então os segmentos determinados numa transversal têm medidas que são diretamente proporcionais às dos segmentos correspondentes determinados na outra. 1. Quatro alamedas paralelas ligam a Avenida 9 de Julho à Rua Pamplona como mostra a figura. Uma pessoa que anda pela Rua Pamplona percorre 1650m entre as esquinas da primeira e da ultima alameda. Determina os comprimentos em metros de cada uma das quadras determinadas por estas quatro alamedas na Rua Pamplona, sabendo que estas quadras, na Avenida 9 de Julho têm respectivamente 240m, 300m e 450m de comprimento. 2 UFSM. A crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscarem alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observando a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede: A) 33m B) 38m C) 43m D) 48m E) 53m II - Teorema da bissetriz A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos de medidas diretamente proporcionais às medidas dos lados adjacentes. 3. Sendo BP uma bissetriz interna do triângulo ABC de lados AB=12 cm, BC=15 cm e AC=9 cm. Determine as medidas dos segmentos AP e PC. 4. Determine a medida da diagonal de um pentágono regular cujo lado mede 2 cm. 1

2 III - Teoremas da base média A base média de um triângulo é paralela e mede a metade da base do triângulo. A base média de um trapézio é paralela e mede a média aritmética das bases do trapézio. 5. Unindo-se os pontos médios dos catetos de um triângulo retângulo obtemos um segmento de reta com a medida do: A) diâmetro do círculo inscrito no triângulo. B) diâmetro do círculo circunscrito ao triângulo. C) perímetro do círculo inscrito no triângulo. D) raio do círculo circunscrito ao triângulo. E) raio do círculo inscrito no triângulo. 6 Enem. Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: A) 144 B) 180 C) 210 D) 225 E) 240 IV - Teorema do baricentro do triângulo 7. Na figura, M e N são pontos médios dos lados BC e AC do triângulo. Sabendo que AB = 10 cm, AP = 6 cm e BN = 21 cm. Determine as medidas dos seguintes segmentos: a) PM b) AM c) PN d) BP e) MN O baricentro divide cada mediana do triângulo em dois segmentos, sendo que o maior tem o dobro do tamanho do menor. V Teorema da potência de d ponto A potência de um ponto em relação a uma circunferência é constante 8. A figura ao lado apresenta uma circunferência que passa pelos pontos A, B, C, D e T. Sabe-se que M é o ponto médio da corda AB e pertence à corda CD. Além disso, a reta r, que intercepta a reta AB no ponto P, é tangente à circunferência no ponto T. Então, conhecendo-se as medidas MC= 5 cm, MD= 5 5 cm e PT = 12 cm, determine as medidas dos segmentos AB e AP. 2

3 VI - Teorema da razão de semelhança Se duas figuras geométricas forem semelhantes, então a razão entre as medidas dos segmentos correspondentes nessas figuras será igual a uma constante k, a razão entre suas áreas será igual a k 2, e se representarem sólidos semelhantes, então a razão entre os volumes desses sólidos será igual a k 3. Sólido 1 ~ Sólido 2 9. A distribuidora de alimentos shine on box oferece refeições para viagem em embalagens cúbicas de três tamanhos. A aresta da maior delas, chamada de tamanho família, mede o dobro da aresta da menor delas, que é chamada de porção individual. Supondo que a porção individual seja honesta, ou seja, que alimente de fato uma única pessoa com apetite normal, determine quantas pessoas, com apetite normal, a refeição tamanho família deve alimentar. A) 4 pessoas B) 6 pessoas C) 8 pessoas D) 10 pessoas E) 12 pessoas 10. Na década de setenta, não havia pista de dança sem um globo espelhado, que é na verdade, uma esfera plástica revestida de pedaçinhos de espelho quadrados. Considere dois desses globos. Um completamente cercado por 500 pedacinhos de espelho, e outro menor com apenas 320. Se os pedacinhos usados em ambos são do mesmo tamanho, então qual é o número inteiro mais próximo da razão entre os seus volumes? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Um cálice de cristal com a forma de um cone contém exatamente 5 ml de água. Sabendo que a água no interior do cálice atinge apenas um quarto de sua altura então, o volume de água necessário para se completar a capacidade total do cálice é: A) 20 ml B) 50 ml C) 200 ml D) 320 ml E) 450 ml 12 Unifesp. Você tem dois pedaços de arame de mesmo comprimento e pequena espessura. Um deles você usa para formar o círculo da figura I, e o outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura II. Se S é a área do círculo maior e s é a área de um dos círculos menores, a relação entre S e s é dada por: A) S = 3s B) S = 4s C) S = 6s D) S = 8s E) S = 9s 3

4 VII Relações trigonométricas no triângulo retângulo Para todo ângulo agudo de um triângulo retângulo define-se: Seno como sendo o quociente da medida do cateto oposto ao ângulo pela medida da hipotenusa do triângulo. Cosseno como sendo o quociente da medida do cateto adjacente ao ângulo pela medida da hipotenusa do triângulo. Tangente como sendo o quociente da medida do cateto oposto pela medida do cateto adjacente ao ângulo. Os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo dependem apenas da medida do ângulo, não importa qual seja a sua posição na figura ou em qual figura ele se encontre. 13 Fuvest. Um triângulo retângulo tem catetos AB = 3 e AC = 4. No cateto AB toma-se um ponto P equidistante do ponto A e da reta BC. Qual a distância AP? A) 3/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/3 E) Escreva em função das medidas a e b dos catetos do triângulo ABC, a medida do lado do quadrado inscrito como mostra a figura: a B C b A 14. A medida, em centímetros, do raio do círculo inscrito em um triângulo isósceles cuja base mede 10 cm e a altura mede 12 cm é: A) 4 B) 10/3 C) 3 D) 8/3 E) Determine a medida do lado do quadrado inscrito no triângulo retângulo como mostra a figura: 2 cm 8 cm 15. As bases de um trapézio retângulo medem 4 e 9 centímetros. Determine a medida da altura desse trapézio sabendo que suas diagonais são perpendiculares entre si. 18. A figura a seguir apresenta seis retângulos. Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e congruentes. Os ângulos HÂG e DÂE possuem a mesma medida. Determine essa medida em graus. H G F E A B C D 4

5 VIII Relações métricas no triângulo retângulo Em todo triângulo retângulo são válidas as seguintes relações de equivalência: O produto da hipotenusa pela altura relativa equivale ao produto dos catetos O quadrado da altura relativa à hipotenusa equivale ao produto entre as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. O quadrado de um cateto equivale ao produto da sua projeção ortogonal sobre a hipotenusa pela própria hipotenusa A soma dos quadrados dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa (Teorema de Pitágoras) 19. Determine a medida do raio do círculo inscrito num losango cujas diagonais medem 4 cm e 8 cm. 20. Determine o valor do raio da circunferência centrada na origem do plano cartesiano que tangencia a reta que representa o gráfico da 3 função y =- x+6. 4 IX Teorema dos senos As medidas dos lados de um triângulo qualquer são diretamente proporcionais aos senos dos seus ângulos opostos, internos ou externos. Além disso, a razão entre a medida de cada lado pelo seno do ângulo oposto é igual à medida do diâmetro da circunferência que circunscreve o triângulo O lado AB de um triângulo mede 10 6 m e os ângulos internos de vértices A e B medem respectivamente 75º e 45º. Então, o lado AC deste triângulo mede: A) 20 m B) 25 m C) 30 m D) 35 m E) 40 m 22. Assinale a alternativa que apresenta o número inteiro mais próximo da medida, em centímetros, do raio da circunferência que circunscreve um triângulo isósceles cuja base mede 10 cm e a altura mede 12 cm é: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 5

6 X Teorema dos cossenos O quadrado de cada lado de um triângulo equivale à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto entre esses lados e o cosseno do ângulo interno que eles formam. 23. Os ponteiros de um relógio analógico medem respectivamente 5 cm e 8 cm. Qual é a distância entre as extremidades dos ponteiros deste relógio, quando eles formam um ângulo de 60º? Para registrar a escritura de um terreno na forma de um quadrilátero ABCD, como mostra a figura, um agrimensor percorre os 5 km de A até B, depois os 3 km de B até C e por fim, os 7 km de C até D, e verifica que os ângulos internos de vértices B e C medem 120º. A A) 2 13 cm B) 51cm C) 5 2 cm D) 7 cm E) 4 3 cm 24. Determine as medidas dos lados dos seguintes polígonos regulares inscritos num círculo de raio unitário: a) octógono D Acontece que neste terreno há parte de uma enorme lagoa, cuja localização impede o agrimensor de percorrer a trajetória retilínea entre os pontos D e A. Mesmo assim, o agrimensor deuse por satisfeito, pois seus conhecimentos de geometria plana são suficientes para que ele determine a distância, em quilômetros, entre esses pontos. Se o agrimensor não cometer nenhum erro em seus cálculos, ele deverá encontrar um número: A) menor que 8,5 B) entre 8,5 e 9 C) entre 9 e 9,5 D) entre 9,5 e 10 E) maior que 10 7 km 5 km 120º B 120º 3 km C b) dodecágono 6

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