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1 ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço a ela reservado. Não basta escrever apenas o resultado final: é necessário mostrar os cálculos ou o raciocínio utilizado. Questão Emumasalaháumalâmpada,umatelevisão [TV]eumaparelhodearcondicionado[AC]. O consumo da lâmpada equivale a / do consumo da TV e o consumo do AC equivale a 0 vezes o consumo da TV. Se a lâmpada, a TV e o AC forem ligados simultaneamente, o consumo total de energia será de,05 quilowatts por hora [kwh]. Pergunta-se: a) Se um kwh custa R$0,0, qual será o custo para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados por horas por dia durante 0 dias? b) Qual é o consumo, em kwh, da TV? a) Para manter a lâmpada, a TV e o AC ligados horas por dia, durante 0 dias, simultaneamente, o custo será:,05 0 0,0 50,0 reais b) Seja c o consumo da TV. Desse modo, o consumo da lâmpada é c e o do AC é 0c. Uma vez que o consumo total dos três ligados simultaneamente é,05, temos: c + c 0c,05 c 0,0 + Portanto a TV consome 0,0 kwh em hora e 0,0 0 0,8 kwh no período apresentado. Obs.: o uso das unidades físicas no enunciado do problema está errado: a unidade correta do consumo por hora (potência consumida) é kw, enquanto kwh é unidade de consumo total (energia consumida). Questão Sabe-se que o número natural D, quando dividido por, deia resto r N e que o mesmo número D, quando dividido por 7, deia resto r. a) Qual é o maior valor possível para o número natural r? b) Se o primeiro quociente for igual a e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D. Pelas condições dadas, eistem q N eq N tais que: D q + r, com 0 r < D 7 q + r, com 0 r < 7 0 r 8 a) Temos que r 8. Vamos mostrar que, de fato, eistem q e q tais que r 8: D q + 8 q 7 q 8 D 7 q + 6 D 7 q + 6 Podemos, então, verificar que q eq 5 satisfazem as condições anteriores, ou seja, o maior valor possível para o número natural r é 8. + r 5 b) D r D r D Questão Um triângulo eqüilátero tem o mesmo perímetro que um heágono regular cujo lado mede,5 cm. Calcule: a) O comprimento de cada lado do triângulo. b) A razão entre as áreas do heágono e do triângulo. a) Seja a medida do lado do triângulo equilátero. Como o perímetro do triângulo é o mesmo do heágono regular de lado,5 cm, temos: 6,5 cm

2 matemática b) Um heágono regular de lado,5 cm pode ser dividido em seis triângulos equiláteros de lado,5 cm. Logo a razão entre as áreas do heágono e do triângulo equilátero de lado cm é: 6 Questão Sejam a e b números inteiros e seja N(a, b) a soma do quadrado da diferença entre a e b com o dobro do produto de a por b. a) Calcule N(, ). b) Calcule N(a, a) e diga qual é o algarismo final de N(a, a) para qualquer a Z. Temos: N(a, b) (a b) + ab a + b a) N(, ) + 0 b) Para qualquer a Z temos N(a,a) a + + (a) 0a, que é um múltiplo de 0. Então o algarismo final de N(a, a) é zero. Questão 5 Entre todos os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a cm, apenas um deles é eqüilátero e apenas um deles é retângulo. Sabe-se que um dos catetos do triângulo retângulo mede 8 cm. a) Calcule a área do triângulo eqüilátero. b) Encontre o raio da circunferência circunscrita ao triângulo retângulo. Já que num triângulo retângulo a hipotenusa é um diâmetro da circunferência circunscrita, seu raio é 5 cm. Questão 6 Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, eceto a última, ele tenha gasto 6,5 minutos e para resolver todas as questões, eceto as duas últimas, ele tenha gasto,5 minutos. Calcule: a) O número total de questões da referida prova. b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova. A seqüência formada pelos tempos gastos, em minutos, para resolver as questões, na ordem, é uma progressão geométrica de razão. Sejam a o termo inicial e n o número de termos da seqüência. Os tempos gastos para resolver todas as questões, eceto a última, e todas as questões, eceto as duas últimas, são as somas dos n en primeiros termos da progressão, ou seja: n a 6,5 a n a,5 n 8 a) O número de questões da prova é n 8. b) O tempo necessário para que o aluno resolva todas as questões da prova é 8 7,5 minutos. a) Dentre os triângulos cujos lados têm como medidas números inteiros e perímetro igual a cm, aquele que é equilátero tem lado de medida 8 8 cm e área 6 cm. b) No caso do triângulo retângulo, se um dos catetos mede 8 cm e a hipotenusa mede, o outro cateto mede 8 6, e então 8 + (6 ) 0 cm. Questão 7 A função L() ae b fornece o nível de iluminação, em lues, de um objeto situado a metros de uma lâmpada. a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a metro de distância da lâmpada recebe 60 lues e que um objeto a metros de distância recebe 0 lues.

3 matemática b) Considerando que um objeto recebe 5 lues, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto. b a 0 L() 60 ae 60 a) L() 0 b b ae 0 e a 0 b n n b b) L() a e 0. Logo L() m. 8 Questão 8 Dada a equação polinomial com coeficientes reais 5 + a 0: a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número compleo + i seja uma das raízes da referida equação. b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine as outras duas raízes da mesma equação. a) Como os coeficientes da equação polinomial são reais, z + i é raiz da equação se, e somente se, z i é raiz da equação. Pela relação entre coeficientes e raízes, sendo a outra raiz: ( 5) ( + i) + ( i) + Portanto 5 + a 0 a 5. b) V { + i, i,} Questão Considere o conjunto dos dígitos {,,,..., } e forme com eles números de nove algarismos distintos. a) Quantos desses números são pares? b) Escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha eatamente dois dígitos ímpares juntos? a) Um número de nove algarismos distintos não nulos é par se, e somente se, o seu algarismo das unidades é par (,, 6 ou 8) e os outros 8 algarismos são uma permutação dos algarismos restantes. Logo há 8! números pares nas condições do problema. b) Digamos que I representa um número ímpar e P representa um número par. Um número escolhido dentre os do item a tem eatamente dois dígitos ímpares juntos se, e somente se, ele tem uma das seguintes formas IIPIPIPIP, IPIIPIPIP, IPIPIIPIP, IPIPIPIIP. Os números ímpares e pares podem ser colocados em qualquer ordem nos espaços reservados para eles. (5!!) Assim, a probabilidade pedida é Questão 0 8! Os pontos A, B, C e D pertencem ao gráfico da função y /, > 0. As abcissas de A, B e C são iguais a, e, respectivamente, e o segmento AB é paralelo ao segmento CD. a) Encontre as coordenadas do ponto D. b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos segmentos AB e CD passa também pela origem. a) Um ponto pertencente ao gráfico da função y é da forma t; t. Assim, A ;, B ; e C ;. Seja D d;, d d. Como as retas AB e CD são paralelas, têm o mesmo coeficiente angular, ou seja: d d d Logo D ;.

4 matemática b) Os pontos médios de AB e CD são + ; + + ; + 5 ; 5 e ;. A reta que pas- sa por esses dois pontos admite equação 5 5 y 5 y 5 6 e, portanto, passa pela origem (0; 0). Questão Dado o sistema linear homogêneo: [cos( α) + sen( α)] + [sen( α)] y 0 [cos( α)] + [cos( α) sen( α)] y 0 a) Encontre os valores de α para os quais esse sistema admite solução não-trivial, isto é, solução diferente da solução y 0. b) Para o valor de α encontrado no item (a) que está no intervalo [0, /], encontre uma solução não-trivial do sistema. a) O sistema homogêneo dado admite solução não trivial se, e somente se, o determinante de sua matriz incompleta é nulo, ou seja, cosα + senα senα 0 cosα cosα senα cos α sen α senαcosα cos α sen α tg α α + k, k Z k α + 8, k Z b) Dentre os valores de α encontrados no item anterior, o que está no intervalo 0; é 8. Nesse caso, o sistema é equivalente a: cos + sen + sen y cos sen sen cos sen y cos + sen sen y 0 8 cos + sen + ( )y 0 ( )y cos y 0 Logo, assumindo U R, o conjunto verdade do sistema é V {(( )α; α), α R}. Uma solução não trivial do sistema é, por eemplo, ( ; ). Questão O quadrilátero conveo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente,,, e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. a) Calcule o raio R da circunferência. b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm. a) Considere a figura a seguir:

5 matemática 5 Como BD é lado comum aos triângulos ABD e BCD, aplicando a lei dos co-senos aos dois triângulos, temos + cos(80 α) o cosα cosα. Então cm. 7 De sen α cos α, senα. Usando agora a lei dos senos no triângulo BCD: R R 66 cm senα 8 b) O volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e que tem altura 5 cm é: R cm

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