A 1. Na figura abaixo, a reta r tem equação y = 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0. estão na reta r, sendo B 0

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1 MATEMÁTICA FUVEST Na figura abaixo, a reta r tem equação y = x + no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B 0, B, B, B 3 estão na reta r, sendo B 0 = (0,). Os pontos A 0, A, A, A 3 estão no eixo Ox, com A 0 = O = (0, 0). O ponto D i pertence ao segmento A i B i, para i 3. Os segmentos A B, A B, A 3 B 3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B 0 D, B D, B D 3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre B i e B i+ é igual a 9, para 0 i. Nessas condições: a) Determine as abscissas de A, A, A 3. b) Sendo R i o retângulo de base A i A i+ e altura A i+ D i+, para 0 i, calcule a soma das áreas dos retângulos R 0, R e R. a) Se a reta (r) tem equação y =. x +, então seu coeficiente angular é m = tg θ =. Considerando o triângulo retângulo B 0 D B, temos: tg θ = = B 0 B = 9 B D B 0 D B D + B 0 D = B 0 B B D = 6 e B 0 D = 3. A partir das informações do enunciado, como B 0 D = B D = B D 3 = OA = A A = A A 3 = 3, visto que os triângulos B 0 D B, B D B e B D 3 B 3 são congruentes, conclui-se que as abscissas de A, A e A 3 são, respectivamente, 3, 6 e 9. FUVEST - ª FASE - JAN/009

2 b) Sendo OB 0 =, A B = + 6 e A B = +, a soma das áreas dos retângulos R 0, R e R, resul - ta: R 0 + R + R = 3. ( ) = = 3. (3 + 8) = Respostas: a) 3, 6 e 9 b) FUVEST - ª FASE - JAN/009

3 Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:. O ponto O pertence ao segmento PQ.. OP =, OQ =. 3. A e B são pontos da circunferência, AP PQ e BQ PQ. Assim sendo, determine: a) A área do triângulo APO. b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C. c) A área da região hachurada. a) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo APO, temos: = (AP) + AP = 3. Assim, a área do triângulo APO é: 3. 3 S APO = = b) º) Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triân - gulo BQO, temos: = ( ) + (BQ) BQ = e portanto B ^OQ = 5, pois BQ = OQ =. FUVEST - ª FASE - JAN/009

4 º) No triân gulo APO, temos: tg A ^OP = 3 A ^OP = 60 e portanto A ^OB = 80 A ^OB = 75. 3º) Sendo C e C, respectivamente, as medidas do menor e maior arcos determinados por A e B em C, temos: 75 5π C =. π. = e π C = π. = 6 9π 6 c) A área S da região hachurada é: S = S APO + S BQO + S setor AOB = 5π = + + = 3 5π = + + = π 6 3 5π Respostas: a) b) e 6 9π 6 c) π 6 FUVEST - ª FASE - JAN/009

5 3 Considere o sistema de equações nas variáveis x e y, dado por x + m y = 0 mx + (m )y = 0 Desse modo: a) Resolva o sistema para m =. b) Determine todos os valores de m para os quais o sis - tema possui infinitas soluções. c) Determine todos os valores de m para os quais o siste - ma admite uma solução da forma (x, y) = (α, ), sendo α um número irracional. a) Para m = o sistema passa a ser x +.. y = 0.. x + (. ). y = 0 x + y = 0 x + y = 0, cujas soluções são x + y = 0 do tipo (k; k), k. b) O sistema possui infinitas soluções se, e somente se, m D = = 0. (m ) m 3 = 0 m (m ) m 3 8m + = 0 m 3 m + = 0 (m )(m + m ) = m =, m = ou m = c) Para que o sistema homogêneo admita solução da forma (x; y) = (α; ), sendo α um número irracio - nal, o sistema deverá ser possível e indeter minado. Os possíveis valores de m para que isso ocorra são os obtidos no item b. Assim, vejamos: Para m = a solução não é da forma (α; ) com α irracional, pois α +.. = 0 α = que é racional. ± 5 Para m = a solução é da forma (α; ) com α irracional, desde que ± 5 α +.. = 0 ± α = α= que é irracional. Respostas: a) V = {(k; k), k} b), ou 3 ± 5 FUVEST - ª FASE - JAN/009

6 + 5 5 c) ou FUVEST - ª FASE - JAN/009

7 O triângulo ABC da fi - gura ao lado é eqüilátero de lado. Os pontos E, F e G pertencem, respecti - vamente, aos lados AB, AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos A ^FE e C ^GF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine: a) A área do triângulo AFE em função de x. b) O valor de x para o qual o ângulo F ^EG também é reto. a) No triângulo AFE, temos: tg 60 = EF x EF 3 = EF = x 3 x Assim, a área do triângulo AFE é: (AF). (EF) x. x 3 S AFE = = = x 3 b) º) Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AFE, temos: (AE) = (AF) + (EF) = x + (x 3) AE = x e portanto, BE = AB AE BE = x º) Se FE^G é reto, então GE^B = 60 e portanto, o triângulo GEB é equilátero. Assim, EG = BE = x. 3º) No triângulo FEG, temos: EF 3 x 3 tg 30 = = EG 3 x 3 x 3 = 3x 3 x = x Respostas: a) 3 b) 5 5 FUVEST - ª FASE - JAN/009

8 5 A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é. Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. ) a 7 a = 3 a. q 6 a. q = 3 a. q (q 5 ) = 3 a. (q 5 ) = 3 q a ) S 5 = (q 5 ) = q 3) De ) em ), tem-se: 3 = q q 6 = 0 q = 3 ou q = q (q ) ) Se q < 0 então q = 5) Em ), tem-se:. (( ) 5 3 ) = a = ( ) 6) a = a. q a =. ( ) = a 3 = a. q a 3 =. ( ) = 3 7) a + a + a 3 = + = Respostas: a) b) 3 FUVEST - ª FASE - JAN/009

9 6 Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 0 garra - fas de vinho de um lote constituído por garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas. a) De quantas maneiras é possível escolher 0 garrafas desse lote? b) De quantas maneiras é possível escolher 0 garrafas do lote, sendo garrafas da Espanha, da Itália e da França? c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 0 garrafas do lote, haja exatamente garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países? O lote de garrafas é formado por garrafas de vinho espanhol, 5 de vinho italiano e 6 de vinho francês. Assim sendo: a) O número de maneiras de escolher 0 garrafas deste lote de 5 garrafas é: 5! C 5,0 = = = !0! b) O número de maneiras de escolher da Espanha, da Itália e da França é: C,. C 5,. C 6, = = 50 c) O número total de maneiras de escolher exata - mente da Itália e pelo menos de cada uma dos outros países é C 5, (C 0,6 ) = 5. (0 ) = 05 A probabilidade pedida é, pois: = 3,8% Respostas: a) 3003 b) 50 c) 3,8% 73 FUVEST - ª FASE - JAN/009

10 7 No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A = ( 5, ) e é tangente à reta t de equação x 3y = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim: a) Determine as coordenadas do ponto P. b) Escreva uma equação para a circunferência C. c) Calcule a área do triângulo APQ. a) m t = /3 t AP m AP = 3/ A equação da reta AP é dada por: 3 y = (x + 5) 3x + y + = 0 O ponto P é a intersecção das retas (t) e AP, logo: x 3y = 0 3x + y + = 0 x = y = P ( ; ) b) O raio da circunferência é a distância do ponto A à reta (t), então: 0 3 r = r = A equação da circunferência é: (x + 5) + (y ) = 5 c) O ponto Q é a intersecção do eixo x com a reta t: x 3y = 0 x = / Q (/; 0) y = 0 y = 0 A área do triângulo A( 5; ), P( ; ) e Q (/; 0) é: FUVEST - ª FASE - JAN/009

11 5 / 0 A APQ = = 5 5 = = = 6,5(ua) Respostas: a) P( ; ) b) (x + 5) + (y ) = 5 c) A APQ = 6,5(ua) FUVEST - ª FASE - JAN/009

12 8 Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x + mx +. Nessas condições: a) Determine, em função de m, as coordenadas do vérti - ce da parábola de equação y = f(x). b) Determine os valores de m para os quais a imagem de f contém o conjunto {y : y }. c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y : y } e, além disso, f é crescente no conjunto {x : x 0}. d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y, o único valor de x 0 tal que f(x) = y. Se f(x) = x + mx + então b m ) x V = = a m y V = = 8 = a. 8 m ) Im(f) = y / y 8 m 3) Im(f) {y / y } 8 m m + 0 m ou m ) Im(f) = {y / y } 8 m = m = ou m = m 5) f é crescente em {x / x 0} 0 m 0 6) De ) e 5) tem-se m = f(x) = x + x + Para y e x 0 tem-se f(x) = y x + x + = y x + x + y = 0 x = x = y +.( y). FUVEST - ª FASE - JAN/009

13 m Respostas: a) ; 8 m b) m ou m c) m = d) x = y FUVEST - ª FASE - JAN/009

14 9 π Seja x no intervalo 0, satisfazendo a equação 3 tg x + sec x =. Assim, calcule o valor de 5 π a) sec x. b) sen x +. a) Se x 0; e sec x = + tg x, temos:, tg x +. sec x = 5 sec x = + sec x sec 9 6 x = +. sec x +. sec x 5 5. sec 6 3 x +. sec x = sec x = = 5 b) Sendo sec x = 5, temos cos x = e 5 sen x =. 5 Portanto: π sen x = = = π π π = sen x. cos + cos x sen = =. +. = = = FUVEST - ª FASE - JAN/009

15 5 Respostas: a) b) FUVEST - ª FASE - JAN/009

16 0 A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que AB = CD = 3 AD = BC = AE = BE = CE = DE = AP = DQ =. Determine: a) A medida de BP. b) A área do trapézio BCQP. c) Volume da pirâmide BPQCE. a) Sendo θ a medida do ângulo agudo BA^E, no triân - gulo EAB, tem-se: = + 3 e no triângulo PAB, tem-se:.. 3. cos θ cos θ = 3 (BP) = cos θ FUVEST - ª FASE - JAN/009

17 Assim: (BP) 3 = +. (BP) = 8 BP = 0 b) Sendo h a altura do trapézio isósceles BCQP e S a sua área, tem-se: = º) h h =, pois h > 0 h = 9 6 º) S = c) (BC + QP). h Assim: 3 ( + ). S = S = 9 6 Sendo M e N os pontos médios dos segmentos BC e QP, respectivamente, tem-se: FUVEST - ª FASE - JAN/009

18 3 3 3 MN = h = 3, EM = e EN =. = Assim, pode-se concluir que o triângulo NME é retângulo em N, pois (EM) = (EN) + (NM), uma vez que = + e, portanto, EN é a al - tu ra da pirâmide BPQC, pois EN é perpendicular ao PQ. Logo, o volume V dessa pirâmide é dado por: 9 3 V =. S. EN =.. = Respostas: 0 a) unidades de comprimento 9 b) unidades de área c) unidades de volume 6 FUVEST - ª FASE - JAN/009