Um jogo consiste num dispositivo eletrônico na forma de um círculo dividido em 10 setores iguais numerados, como mostra a figura.

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1 MATEMÁTICA Um jogo consiste num dispositivo eletrônico na forma de um círculo dividido em setores iguais numerados, como mostra a figura. Em cada jogada, um único setor do círculo se ilumina. Todos os setores com números pares têm a mesma probabilidade de ocorrer, o mesmo acontecendo com os setores com números ímpares. Além disso, a probabilidade de ocorrer o número é o dobro da probabilidade de ocorrer o número 4. Denotando por p(i) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer o número i, determine: a) p() e p(4). b) a probabilidade de, numa jogada, ocorrer um número primo maior ou igual a. Sendo p(ímpar) e p(par), respectivamente, a probabilidade de ocorrer um número ímpar e um número de par, numa jogada, temos: p(ímpar) + p(par) = p(ímpar) = p(ímpar) = p(par) p(par) = a) p() =. p(ímpar) =. = p(4) =. p(par) =. = b) A probabilidade de, numa jogada, ocorrer um número primo maior ou igual a é p = p() + p() + p(5) + p(7) = = = =. = 5 5 Respostas: a) p() = e p(4) = 5 5 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

2 b) 7 5 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

3 A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre uma região plana, que gira em torno de um eio vertical perpendicular à região. Se denotarmos a medida em radianos do ângulo AÔB por θ, a área irrigada, representada pela parte cinza do setor circular, será uma função A, que dependerá do valor de θ, com θ π. Se OA = m e AC = m, determine: a) a epressão matemática para a função A(θ). b) o valor de θ, em graus, se a área irrigada for de 8 m. (Para facilitar os cálculos, use a aproimação π =.) a) ) A área S OAB do setor circular OAB é tal que θ S OAB =. π θ = π ) A área S OCD do setor circular OCD é tal que S OCD = θ π. π 4 = 8θ ) A epressão matemática para a função que fornece a área irrigada, em metros quadrados, é: θ 5θ A(θ) = 8θ =, com θ em radianos e θ π. 5θ 6 b) A(θ) = 8 = θ= rad. 5 Em graus, tem-se: θ =. =. = 64 5 π 5 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

4 Respostas: a) A(θ) = b) 64 5θ UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

5 Considere os números compleos w = i e z = ( + i). Determine: a) z e (w. z + w), onde z indica o conjugado de z. b) z e w. Mostre que a seqüência (, z, w, zw, w ) é uma progressão geométrica, determinando todos os seus termos e a sua razão. Sendo w = i e z = + i tem-se: a) z = ( + i) = + i + i = i w. z + w = (i). ( i) + (i) = = 4. ( i) + i = 4 + 6i b) z = + = w = + = zw = z. w = w = w = 4 A seqüência (; z ; w ; zw ; w ) é equivalente a (; ; ; ; 4). Trata-se de uma progressão geométrica de razão q =, pois =, a n + a n n {;;;4} e com a n termo da seqüência. Respostas: a) z = i e w. z + w = 4 + 6i b) z =, w =. A seqüência é (;; ;;4) que é uma progressão geométrica de razão. UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

6 4 Considere a matriz A = 6 6 a) Determine todos os números reais λ para os quais se tem det (A λi) =, onde I é a matriz identidade de ordem. b) Tomando λ =, dê todas as soluções do sistema (6 λ) y = + (6 λ) y = y + ( λ) z = a) Se A = 6 e λi = então A λi = Portanto: 6 6 λ 6 λ λ λ λ λ det (A λi) = 6 λ 6 λ λ = ( λ ). [(6 λ) 9] = λ = ou (6 λ) = 9 λ= ou 6 λ = ± λ = ou λ = ou λ = 9 b) Se det(a λi) = λ = ou λ = ou λ = 9 então, para λ =, temos: 6 λ 6 λ λ Assim sendo, o sistema homogêneo (6 λ) y = (6 λ) y + z = + (6 λ)y = + (6 λ)y + z = y + ( λ)z = y + ( λ)z = é determinado e a única solução é =, y =, z =. Respostas: a) λ = ou λ = ou λ = 9 b) (;;) UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

7 5 Considere função dada por f() = + + m +. a) Quando m = 4, determine os valores de para os quais f() =. b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f() = m + não tem solução real. f() = + + m. + f() =. + m. + f() =. ( ) + m. ( ) + a) m = 4 f() =. ( ) 4. ( ) + = 4 ± = = ou = 6 = ou = b) f() = m +. ( ) + m. ( ) + = m +. ( ) + m. ( ) m = Fazendo = y resulta a equação y + m. y m =. Essa equação não tem soluções reais se, e somente se, suas raízes y e y não são reais ou se ambas forem reais negativas. I) As raízes y e y não são reais = m + m < < m <. II) Para que as raízes y e y sejam ambas reais e m negativas devemos ter, y + y = m e y. y = que se verifica apenas para m =. Concluímos, então, que < m. Respostas: a) = ou = b) < m UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

8 6 Considere as funções f() = e g() = log, para >. a) Represente, num mesmo sistema de coordenadas retangulares, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são =, =, = 4 e = 8. b) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação < log, e justifique por π que < log π. f() = a) g() = log f() / 4 g() b) < log < < 4 π Sendo: < π < 4 < log π UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

9 7 Na figura, ABCD é um retângulo, BD = 6 cm, a medida do ângulo A^BD é α = º, a medida do ângulo A^ED é β e = BE. Determine: a) a área do triângulo BDE, em função de. b) o valor de, quando β = 75. a). 6. sen S BDE = = b) sen 5 = sen( )= = sen 6. cos 45 + cos 6. sen 45 = 6 + =. +. = 4 Da Lei dos Senos, temos: 6 = sen 45 sen 5 6 = = = 6( ) Respostas: a) cm b) 6( ) cm UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

10 8 Considere a circunferência + (y ) = 4 e o ponto P(, ). a) Encontre uma equação da reta que passe por P e tangencie a circunferência num ponto Q de abscissa positiva. b) Determine as coordenadas do ponto Q. y +(y-) =4 t C(,) Q P(;-) a) PQC é retângulo: PQ = 5 = PQ = Então tg α = cotg α = tg θ = cotg α = m t = A equação da reta t é: y + = y 6 = b) UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

11 PQC ~ QMC = = 5 5 y 6 = y = Então: Q ; 5 5 Respostas: a) y 6 = 6 b) Q ; 5 5 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

12 9 Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é π dada pela epressão h(t) =,5 + sen (t 6), onde o tempo t é dado em segundos e a medida angular em radianos. a) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = ). b) Determine as alturas mínima e máima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período). a) A altura, em metros, em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = ), é dada por: π h() =,5 + sen ( [ 6)] = =,5.. sen ( ) = =,5 +. sen ( ) =,5 +. ( ) = =,5 5 = 6,5 π 6 π 6 b) Sendo h e H, respectivamente, as alturas (em metros) mínima e máima que seu amigo alcança, T o tempo (em segundos) gasto em uma volta completa, tem-se: º) h =,5 +. ( ) =,5 =,5 º) H =,5 +. (+) =,5 + =,5 º) T é o período da função h(t) π 4π Assim: T = = = 4 π π Respostas: a) 6,5 metros. b) altura mínima:,5 metro altura máima:,5 metros período: 4 segundos UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

13 Um recipiente tampado, na forma de um cone circular reto de altura 8 cm e raio 6 cm, contém um líquido até a altura de 5 cm (figura ). A seguir, a posição do recipiente é invertida (figura ). Sendo R e r os raios mostrados nas figuras, a) determine R e o volume do líquido no cone em cm (figura ), como múltiplo de π. b) dado que r = 9, determine a altura H da parte sem líquido do cone na figura. (Use a aproimação 9 9/.) a) O B 6 Q P R A N C 9 V 6 M D º) Da semelhança dos triângulos retângulo PAV e OBV, tem-se: R 5 = R = º) Sendo V L o volume, em centímetros cúbicos, do líquido no cone da figura, tem-se: V L =. π. R. 5 =. π = 5π b) Da semelhança dos triângulos retângulos NCQ e MDQ, tem-se: H 9 = H = Respostas: H. 9 H 7 UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/

14 a) R = 5 cm e V L = 5π cm 7 b) H cm UNESP - (Prova de Ciências Eatas) Dezembro/