a k. x a k. : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i 2 = 1 z : módulo do número z z: conjugado do número z M m n
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- Gonçalo Leveck Sousa
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1 ITA MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,...} : conjunto dos números reais [a, b] = {x ; a x b} [a, b[ = {x ; a x < b} ]a, b[ = {x ; a < x < b} A\B = {x; x A e x B} k a n = a + a a k, k n = k a n x n = a 0 + a x a k x k, k n = 0 : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i = z: módulo do número z z: conjugado do número z M m n (): conjunto das matrizes reais m n det A: determinante da matriz A A t : transposta da matriz A A : inversa da matriz inversível A P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a): número de elementos do conjunto finito A Arg z : argumento principal de z \ {0}, Arg z [0,π[ f o g: função composta das funções f e g f. g: produto das funções f e g Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
2 E Considere as afirmações abaixo relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C). III. (A\B) (B\A) = (A B)\(A B). Destas, é (são) falsa(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e III. e) nenhuma. As demonstrações são imediatas para os casos em que um dos conjuntos, A, B ou C, for vazio. As demons - trações seguintes são para os casos em que nenhum deles é vazio. I. Verdadeira, pois x A B x A e x B A negação de (x A e x B) é (x A ou x B). II. Verdadeira, pois para qualquer elemento x: x A (B C) x A e x (B C) (x A e x B) ou (x A e x C) x (A B) ou x (A C) x (A B) (A C) III. Verdadeira, pois x (A \ B) (B \ A) x (A\ B) ou x (B\ A) x A e x B x (A B) e x (A B) ou x B e x A x (A B) e x (A B) x (A B) \ (A B) ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
3 C Considere conjuntos A, B e C (AB). Se AB, AC e BC são os domínios das funções reais definidas por ln (x π), x x π + 6x 8 e, respectivamente, pode-se afirmar 5 x que a) C = ]π, 5[. b) C = [, π]. c) C = [, 5[. d) C = [π, 4]. e) C não é intervalo. Considerando que A, B e C (A B), temos: ) De n (x π), tem-se x π > 0 x > π e, portanto, A B = {x x > π} ) De x + 6x 8, tem-se x + 6x 8 0 x 4 e, portanto, A C = {x x 4} ) De x π x π, tem-se 0 5 x 5 x (x π). (5 x) 0 e x 5 π x < 5 e, portanto, B C = {x x x < 5} Agora, observe o seguinte diagrama: 4 5 AB AC BC Desse diagrama, conclui-se que [; 5[ C. Se x [ π; [ [5; + [ pertencesse a C, este valor de x pertenceria a A C ou a B C, o que não ocorre. Assim sendo, C = [; 5[ ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
4 E Se z é uma solução da equação em, z z + z + = ( + i) i, pode-se afirmar que a) i(z z) < 0. b) i(z z) > 0. c) z [5, 6]. d) z [6, 7]. e) z + > 8. + ) ( + i) i = + + = i + i + = = i = i z ) ( i) = ( i) 6 = 64. i 6 = 64. i = 64 ) Se z = x + yi, com x, y, então x + yi x + yi + x + y = 64 (x + y ) + yi = 64 x + y = 64 e y = 0 x = ± 8 e y = 0 4) Os valores de z que satisfazem a equação são 8 e 8 5) Se z = 8, então z + = 8 + > 8 z 8 6) Se z = 8, então z + = 8 > 8 z 8 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
5 4 C Os argumentos principais das soluções da equação em z, iz + z + (z + z) i = 0, pertencem a π π π 5π a),. b), π π π π π 7π c),. d),, π 7π e) 0,, π. 4 4 iz + z + (z + z) i = 0 Se z = a + bi, tem-se: i(a + bi) + (a bi) + (a + bi + a bi) i = 0 ai b + a bi + 4a i = 0 (4a + a b) + (a b )i = 0 4a + a b = 0 (I) e a b = 0 (II) a De (II), tem-se: b = (III) De (I) e (III), tem-se: a + 8a + = 0 a = ou a = 6 Portanto: ) a = b = z = i 5π cujo argumento é θ = ) a = b = z = i π π cujo argumento pertence ao intervalo, 4 De () e (), conclui-se que os argumentos principais das soluções da equação pertencem ao intervalo 5π π,. 4 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
6 5 D Considere a progressão aritmética (a, a,..., a 50 ) de razão d Se a n = 0 + 5d e a n = 4550, então n = n = d a é igual a a). b) 6. c) 9. d). e) 4. ) Se (a, a, a,, a n, ) for uma progressão aritmética de razão d, então a 0 = a + 9d e a 50 = a + 49d 0 ) a n = 0 + 5d n = a + a + 9d. 0 = 0 + 5d a + 9d = + 5d a + 4d = 50 a + a + 49d ) a n = = 4550 n = a + 49d = 8 4) De () e (), temos: a + 49d = 8 d = 4 d a = a + 4d = a = 7 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
7 6 D Sejam f, g: tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações: I. f. g é ímpar, II. f o g é par, III. g o f é ímpar, é (são) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) todas. f( x) = f(x) e g( x) = g(x), pois f e g são respectiva - mente funções par e ímpar. I. Verdadeira. f( x). g( x) = f(x). ( g (x)) = f(x). g(x) f. g é ímpar. II. Verdadeira. (fog) ( x) = f[g( x)] = f[ g(x)] = f[g(x)] = (fog)(x) fog é par. III. Falsa. (gof) ( x) = g[f( x)] = g[f(x)] = (gof)(x) gof é par. ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
8 7 B A equação em x, arctg (e x π + ) arccotg =, x \{0}, e x 4 a) admite infinitas soluções, todas positivas. b) admite uma única solução, e esta é positiva. c) admite três soluções que se encontram no intervalo 5,. d) admite apenas soluções negativas. e) não admite solução. π π Com < a < e 0 < b < π, temos: ) a = arc tg (e x + ) tg a = e x + ) b = arc cotg cotg b = e x e x tg b = π ) a b = tg (a b) = tg (π/4) 4 e x e x tg a tg b + tg a. tg b e x = tg a tg b = + tg a. tg b Se, na equação: (e x e x + ) = + (e x + ). e x fizermos e x = y, resulta: y y (y + ) = + (y + ). y y e x y + y y + = y + y y + y y + y y = 0 (y + ). (y + y ) = 0 + y = ou y = ou y = Como y > 0, a única possibilidade e + y = Portanto: e x = x = log > 0 e Dessa forma, a equação admite uma única solução, e esta é positiva. e x e x e x ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
9 8 C Sabe-se que o polinômio p(x) = x 5 ax + ax, a, admite a raiz i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I. Quatro das raízes são imaginárias puras. II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e III. e) II e III. ) i é raiz + i é raiz p(i) = i 5 a. i + a. i = 0 a = ) a = p(x) = x 5 + x x = x (x + ) (x + ) p(x) = (x + )(x ) = (x + ).(x ). (x + x + ) ) p(x) = 0 x + = 0 ou x = 0 ou x + x + = 0 x = + i ou x = i ou x = ou x = + i ou x = i Portanto, I) F ; II) F e III) V ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
10 9 A 5 Um polinômio real p(x) = a n x n, com a 5 = 4, n = 0 tem três raízes reais distintas, a, b e c, que satisfazem o sistema a + b + 5c = 0 a + 4b + c = 6. a + b + c = 5 Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p(l) é igual a a) 4. b). c). d) 4. e) 6. ) a + b + 5c = 0 a + 4b + c = 6 a + b + c = 5 a + b + 5c = 0 b c = 6 c = a = b = c = ) As raízes de p(x) = 0 são r =, r =, r =, r 4 =, r 5 = ) 5 p(x) = a n x n, com a 5 = 4 n = 0 p(x) = 4(x ) x. (x + ) p() = 4( ).. ( + ) = 4 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
11 0 E 5 Considere o polinômio p(x) = a n x n com coefi - n = 0 cientes a 0 = e a n = + ia n l, n =,,..., 5. Das afirmações: I. p( ), II. p(x) 4 ( + + 5), x [, ], III. a 8 = a 4, é (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. Observemos que: a 0 = a = + i. a 0 = i a = + i. a = + i. ( i) = + i a = + i. a = + i. ( + i) = i a 4 = + i. a = + i. (i) = desta forma, a n é igual a, ( i), ( + i) ou i, conforme n seja do tipo 4k, 4k +, 4k + ou 4k +, com n, respectivamente. I) Falsa, pois 5 p( ) = a n ( ) n = a 0 a + a n = 0 a + a 4 a 5 = [ ( i) + ( + i) i] + + [ ( i) + ( + i) i] [ ( i) + ( + i) i] = 0 II) Verdadeira Observe que x [ ; ] x n [ ; ] x n a n. x n a n e 5 p(x) = a n x n = n = 0 = a 0 x 0 + a x + a x + + a 5 x 5 a 0 x 0 + a x + a x + + a 5 x 5 = = a 0.x 0 + a.x + a.x + + a 5.x 5 a 0 + a + a + + a 5 = = 4(a 0 + a + a + a ) = 4. ( ) = = 4( + + 5), pois a 0 = =, a = i =, a = + i = 5, a = i = III) Verdadeira, pois a 8 = + ia 7 = + i. ( + ia 6 ) = + i a 6 = = + i ( + ia 5 ) = i i( + ia 4 ) = a 4 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
12 B A expressão ( + 5) 5 ( 5) 5 é igual a a) 605. b) c) 75. d) e ) ) +5 5 = ) 5 5 = ) = = = = = ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
13 A Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a a). b). c) d). e) Se a probabilidade de um refletor ser aceso é, a de não ser aceso é. Assim sendo, a probabilidade pedida é: 4 5 C 6,4.. + C6,5.. = 4 = = = ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
14 D Considere a matriz A = a 0 0 a a 4 0 a a 5 a 6 M (), em que a 4 = 0, det A = 000 e a, a, a, a 4, a 5 e a 6 formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão a d > 0. Pode-se afirmar que é igual a d a) 4. b). c). d). e). a a ) det A = 0 a 4 a 5 = a. a 4. a 6 = a. 0. (a + 5d) = 000 a. (a + 5d) = 00 ) a 4 = a + d = 0 a = 0 d ) (0 d) (0 d + 5d) = 00 d 5 ± 5 + 5d 00 = 0 d = 6 d = 5, pois d > 0 a a 6 4) a = 0 d = 0. 5 = 5 a 5) Se a = 5 e d = 5, então = d ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
15 4 C Sobre os elementos da matriz x x x x 4 A = y 0 y 0 0 y 0 0 y 4 0 M 4x4 () sabe-se que (x l, x, x, x 4 ) e (y, y, y, y 4 ) são duas progressões geométricas de razão e 4 e de soma 80 e 55, respectivamente, Então, det(a l ) e o elemento (A ) valem, respectivamente, a) e. b) e. 7 7 c) e. d) e. 7 7 e) e. 7 ) (x, x, x, x 4 ) é uma progressão geométrica de razão e x + x + x + x 4 = 80 Logo: x + x + 9x + 7x = 80 x = (x, x, x, x 4 ) = (, 6, 8, 54) ) (y, y, y, y 4 ) é uma progressão geométrica de razão 4 e y + y + y + y 4 =55 Logo: y + 4y + 6y + 64y = 55 y = (y, y, y, y 4 ) = (,, 48, 9) ) det A = = =. ( ) = 0 0 =. ( ).. ( ) = (88 6) = ) det (A ) = = det A 7 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
16 5) Interpretando o elemento (A ) como sendo o elemento b da matriz inversa de A, temos: cofator do elemento a de A b = = det A ( ) = = = = = ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
17 5 A 6 α α O valor da soma sen sen, para todo α, é igual a a) cos α cosα. b) sen α sen α. α α c) cos cos d) cos α cos α. α e) cos cosα. 79 Lembrando que cos (a + b) cos (a b) = = sen a. sen b, temos: α α α α cos + cos = α α = sen. sen α α α α cos cos = sen. sen α α sen. sen = = cos α cos α n n Desta forma: sen α. sen α = 6 = cos α cos α = α α α = cos cos α + cos cos + 9 α α α α + cos cos + cos cos α α α α + cos cos + cos cos = = cos α cos α 6 n = n = n n n n n n 79 n = n n n n n n 79 4 n n n n n n ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
18 6 B 4π Se os números reais α e β, com α + β =, 0 α β, maximizam a soma sen α + sen β, então α é igual a π π π 5π 7π a). b). c). d). e). 5 8 α + β α β ) sen α + sen β = sen cos 4π α + β = α β sen α + sen β = cos = π = cos α π ) sen α + sen β =. cos α é máximo para α π = 0 α = π ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
19 7 A Considere as circunferências C : (x 4) + (y ) = 4 e C : (x 0) + (y ) = 9. Seja r uma reta tangente interna a C e C, isto é, r tangencia C e C e intercepta o segmento de reta O O definido pelos centros O de C e C de C. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede 5 a) 5. b) 45. c) 6. d). e) 9. As circunferências C : (x 4) + (y ) = 4 e C : (x 0) + (y ) = 9 têm centro e raio, respectivamente: O (4, ), r = e O (0, ), r =. A partir do enunciado, temos o seguinte gráfico, com: ) O O = (0 4) + ( ) = 0 ) O T = r = ) O T = r = 4) T T é a distância entre os pontos de tangência. Considerando o triângulo O AO retângulo em A, temos: AO + AO = O O (Teorema de Pitágoras) Como O O = 0, AO = r + r = 5 e O A = T T, conclui-se que: T T + 5 = 0 T T = 75 T T = 5. ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
20 8 D Um cilindro reto de altura 6 cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilindro, em cm, é igual a a) π π π 6. b). c) d) π 6 π. e). 9 V D F h r H A E C 6 B Sejam H e h as medidas, em centímetros, das alturas dos tetraedros regulares VABC e VDEF. Assim: H = = 6 e h = H = 6 = Sendo a medida, em centímetros, da aresta do tetraedro VDEF, temos: h = = = A medida r, em centímetros, do raio da base do cilindro é da altura do triângulo equilátero DEF. Assim, r =. =. = Logo, o volume V do cilindro, em centímetros cúbicos, é: V = π r. 6 6 π 6 = π.. = 9 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
21 9 E Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano xoy, sendo B = (,) e C = (5,5). Das seguintes afirmações: I. A se encontra sobre a reta y = x +, 4 45 II. A está na intersecção da reta y = x + com 4 8 a circunferência (x ) + (y ) = 5, III. A pertence às circunferências (x 5) + (y 5) = 5 7 e + (y ) 75 x =, 4 é (são) verdadeira(s) apenas a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. C(5,5) M B(,) ) O ponto médio do segmento BC é ) O ponto A pertence à mediatriz do segmento BC 7 cuja equação é y =. x 4 45 y = x ) d AB = d BC (x ) + (y ) = (x ) + (y ) = 5 4) d AM = 5 7 x + (y ) = 5) A está na intersecção da reta de equação 45 y = x + com a circunferência de equação (x ) + (y ) = 5 e a afirmação II, 4 8 portanto, é verdadeira. 6) O ponto A também pertence à circunferência de equação 7 + (y ) 75 x = e a afirmação III, pois, 4 também é verdadeira. A(x,y) 7 M, 75 4 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
22 7 75 ) x- + (y-) = 4 ) A C(5,5) M B(,) A y = - 4 x (x-) +(y-) = 5 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
23 0 B Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm. Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto médio do segmento CD, então a área do triângulo MND, em cm, é igual a a). b). c) d). e). 8 9 DM é altura do triângulo equilátero ABD, e portanto,. DM = = cm No triângulo retângulo MND, temos: (MN) + (ND) = (DM) (MN) + = MN = cm Assim, a área S do triângulo MND, em centímetros quadrados, é:. MN. ND S = = = 8 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
24 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A 0, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Sejam A, B e C conjuntos tais que C B, n(b\c) = n(b C) = 6n(A B), n(a B) = e (n(c), n(a), n(b)) é uma progressão geométrica de razão r > 0. a) Determine n(c). b) Determine n(p(b\c)). Seja n(c) = x ) C B B C = C n(b C) = n(c) = x ) n (B \ C) = n(b C) n[b (B C)] = n(b C) n[b C] = = n(c) n(b) n(c) = n(c) n(b) = 4n(C) = 4x, pois C B ) Se (n(c), n(a), n(b)) é uma progressão geo - métrica, então [n(a)] = n(c). n(b) = x. 4x n(a) = x, pois n(a) 0. 4) n(b C) = 6n(A B) x = 6n(A B) x n(a B) = 5) Desta forma, n(a B) = n(a) + n(b) n(a B) = x x = x + 4x = = x = 4 Assim, n (C) = x = 4 e n(p (B \ C)) = n(b \ C) = n(b C) =. x = =. 4 = = 4096 Respostas: a) 4 b) 4096 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
25 A progressão geométrica infinita (a, a,..., a n,...) tem razão r < 0. Sabe-se que a progressão infinita (a I, a 6,..., a 5n+,...) tem soma 8 e a progessão infinita (a 5, a 0,..., a 5n,...) tem soma. Determine a soma da progressão infinita (a, a,..., a n,...). Se (a, a, a, ) for uma progressão geométrica infinita de razão r < 0, então: ) (a, a 6, a, ) é uma progressão geométrica infinita de razão r 5 e, portanto: a = 8 r 5 ) (a 5, a 0, a 5, ) é uma progressão geométrica infinita de primeiro termo a 5 = a. r 4 e razão r 5 e, portanto: a. r 4 = r 5 ) De () e (), temos: a r 5 a. r 4 r 5 8 = = 4 r 4 r = ± r =, pois r < 0 a 4) = 8 e r =, então r 5 a + 5 = 8 a = 8 + 5) A soma dos termos da progressão geométrica infinita (a, a, a, ) é = 4 6 Resposta: 4 6 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
26 x x Analise se a função f :, f(x) = é bijetora e, em caso afirmativo, determine a função inversa f. ) Como a função g definida por g(x) = x é estritamente crescente, então x < x x < x x x < 0, x, x ) Como a função h definida por f(x) = x é estritamente decrescente, então x < x x > x x x > 0 ( x x ) < 0, x, x x ) A função f definida por f(x) = x é estritamente crescente, pois para todo x, x, tal que x < x, tem-se f(x ) < f(x ), pois x x x x f(x ) f(x ) = = = [( x x ) ( x x )] < 0 f(x ) < f(x ) 4) Se a função f é estritamente crescente, então ela é injetora. 5) Im(f) = CD(f) = f é sobrejetora. 6) Se f é injetora e sobrejetora, ela é bijetora. 7) y = x y = x x ( x ) y ( x ) = 0 x y + 4y = + 4 x = y + y + x = log (y + y + ) x 8) A função f : é definida por f (x) = log (x + x + ) Resposta: f é bijetora e f : tal que f (x) = log (x + x + ) ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
27 4 Seja f : bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa f : também é ímpar. Sendo f: bijetora e ímpar, para todo a, temos: f(a) = b f (b) = a e f( a) = b De f( a) = b, temos f ( b) = a Assim: f ( b) = a = f (b) e, portanto, f é ímpar. ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
28 5 Considere o polinômio p(x) = a n x n, com coeficien - tes reais, sendo a 0 0 e a 6 =. Sabe-se que se r é raiz de p, r também é raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade das afirmações: I. Se r e r, r r, são raízes reais e r é raiz não real de p, então r é imaginário puro. II. Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro. III. a 0 < 0. 6 ) p(x) = a n x n = a 0 + a x + a x + a x + a 4 x 4 + n = 0 + a 5 x 5 + x 6 tem coeficientes reais. Portanto, se α + βi é raiz, então α βi é raiz com a mesma multiplicidade. ) Se r e r, r r, são raízes reais e r é raiz não real de p, então p(r ) = 0, p( r ) = 0, p(r ) = 0, p( r ) = 0, p(r ) = 0, p( r ) = 0. ) Se r = α + βi é raiz, então α βi é raiz e se r = α βi é raiz, então α + βi é raiz. Para que α + βi, α βi, α βi, α + βi representem apenas duas raízes, então α = 0, necessariamente, e as raízes são βi, βi. 4) Considerando que se r é raiz de p, r também é raiz de p, com a mesma multiplicidade, então se r é raiz dupla de p, então r é raiz dupla de p. Se r = α + βi é a raiz dupla, então r = α βi é raiz dupla. Mas, se α + βi é raiz, então α βi é raiz e se α βi é raiz, então α + βi é raiz. Para que α + βi (dupla), α βi (dupla), α βi (dupla), α + βi (dupla) representem apenas as 4 raízes, deve-se ter α = 0 ou β = 0. 5) Considerando que se r é raiz de p, r também é raiz de p, sem a mesma multiplicidade, então um polinômio p pode ter as seguintes raízes: ( + i) (dupla); ( i) (dupla); ( i) (simples); ( + i) (simples) 6) O produto das 6 raízes de p(x) = 0 é +. Se r, r, r, r, r e r são as 6 raízes, então a 0 = r ( r ). r ( r ). r. ( r ) a 0 = (r. r. r ) 6 n = 0 a 0 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
29 7) Se r, r e r são raízes reais, então a 0 < 0. 8) Se r e r são raízes reais e r = γi, então: a 0 = (r. r. r ) = (r. r. γi) = = (r. r. γ). i a 0 = (r. r. γ) > 0 Resposta: A afirmação (I) é verdadeira. A afirmação (II) é falsa. A afirmação (III) é falsa. ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
30 6 Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de 6. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6. ) Os múltiplos de 5 compreendidos entre e 90, inclusive, são os termos da progressão aritmética (5; 0; 5; ; 90), num total de 8 termos. ) Os múltiplos de 6 compreendidos entre e 90, inclusive, são os termos da progressão aritmética (6; ; 8; ; 90), num total de 5 termos. ) Os múltiplos de 5 e 6 compreendidos entre e 90 são 0, 60 e 90. 4) Os múltiplos de 5 ou 6 compreendidos entre e 90 totalizam = 0 números. a) A probabilidade de o número desta bola ser um 0 múltiplo de 5 ou 6 é = 90 b) Dos 90 números da urna, 75 não são múltiplos de 6. A probabilidade da segunda bola retirada não ser um múltiplo de 6 é = Respostas: a) b) ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
31 7 Considere as matrizes A M 4x4 () e X, B M 4x () : a b x b A = b a 0 ; X = y ; e B = b ; z b a b w b4 a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX = B tenha solução única. b) Se a b = 0, a 0 e B = [ 4] t, encontre X tal que AX = B. a) AX = B tem solução única det A 0 a b a b b a 0 0 ( ). b a a b a b ( 4). a 0 a 0 a b x b) AX = B b a 0. y = z a b w 4 ax + y + bz + w = (I) bx + y + az = (II) y = (III) ax + y + bz + w = 4 (IV) Da equação (III), temos: y = Subtraindo-se a equação (IV) da equação (I), temos: ax y = ax = x = a Substituindo-se x e y na equação (II), temos: b b b. + + az = z = = = a a b b Substituindo-se x, y e z na equação (I), temos: b b a. + + b. + w = w = a a Como a b = 0 e a 0, temos: portanto w = 0 Respostas: a) a 0 b) X = a b 0 a b a = e ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
32 8 Considere a equação x 6 tg = 0. a) Determine todas as soluções x no intervalo [0, π[. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg x. a) (. cos x x x). + tg 6. tg = 0 ( cos x) + tg x x (. cos x). sec x sen 6. = 0 x cos x sen. cos x 6. = 0 x x cos cos x x. cos x 6. sen. cos = 0 x cos. cos x. sen x x = 0 cos. ( sen x x). sen x = 0, com cos 0. sen x. sen x + = 0 sen x = ou sen x = No intervalo [0; π [, resulta: π π 5π x = ou x = ou x = 6 6 cos x b) Sendo cotg x =, temos: sen x π ) Para x = 6 π π cos 6 cotg = = = 6 π sen 6 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
33 π cos π π 0 ) Para x = cotg = = π = 0 sen 5π ) Para x = 6 5π 5π cos cotg 6 = = = 6 5π sen 6 π π 5π Respostas: a) x = ou x = ou x = 6 6 b) cotg x = ou cotg x = 0 ou cotg x = ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
34 9 Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A = (,), B = (,7) e C = (5,4) no plano xoy. O triângulo ABC é isósceles e a circunferência inscrita tem seu centro C pertencente à reta y = 4. Seja C (a, 4) que acarreta r = a > 0 A reta AC tem equação: x 5 y 4 = 0 x 4y + = 0 A distância de C à reta AC é igual a r, da qual: a = a 6 + a 5 a = a 5 = 5a 5 a = 5/ ou a = 5 (rejeitado) 5 Assim, r = = Logo, uma equação da circunferência inscrita no triângulo ABC é 9 (x 5/) + (y 4) = 4 Resposta: 9 (x 5/) + (y 4) = 4 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
35 0 As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonal - mente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem cm e cm, respectiva - mente, calcule a) a distância entre os centros das duas esferas. b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas. a) As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente quando, para qualquer ponto A da intersecção, temos os raios AB e AC perpendiculares. Assim, no triângulo ABC, retângulo em A, temos: (BC) = + BC = cm b) No triângulo retângulo ABC, temos: I) (AB) = (BC). (BM) 5 =. BM 8 BM = cm II) CM = BC BM = CM = cm 5 0 Assim, DM = BD BM = 9 DM = cm e EM = CE CM = 5 0 EM = 5 cm A área S da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas é dada pela soma das áreas das calotas esféricas com alturas DM e EM determinadas nas esferas com centros em B e em C, respectivamente. ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
36 Logo, S = π. (AB). (DM) + π. (AC). (EM) = 7π = π.. + π.. = cm π Respostas: a) cm b) cm 5 ITA (º Dia) DEZEMBRO/009
Questão 2. Questão 1. Questão 3. alternativa E. alternativa C
NOTAÇÕES N {,,, } R : conjunto dos números reais [a, b] { R; a b} [a, b[ { R; a < b} ]a, b[ { R; a < < b} A\ B { ; Ae B} k an a + a + + ak, k N n k an n a0 + a + + ak k, k N n 0 C : conjunto dos números
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