Matemática B Extensivo V. 7

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1 GRITO Matemática Etensivo V. 7 Eercícios ) D ) D ) I. Falso. O diâmetro é dado por. r. cm. II. Verdadeiro. o volume é dado por π. r² π. ² π cm² III. Verdadeiro. (, ) (, ) e assim, ( )² + ( )² r² fica ² + ². Temos: ² + ² ² +² 6 6 ( 7)² 9 + ( )² 9 6 ( 7)² + ( )² 6 Logo, o raio r é igual a 8 e o centro é o ponto (7, ). Se p é o valor máimo de, então p Se q é o valor máimo de, então q + 8. Logo, p + q intersecção com o eio é dada quando, então, se fizermos na nossa equação da circunferência, temos: ) distância de um ponto P à circunferência r é dada por: a + b + c d p, r a + b Temos: r: +, e o centro da circunferência é (, ). ssim, d p, r. +.( ) Logo, o ponto pertence à reta, ou seja, a reta passa pelo centro da circunferência. )( )² + ( )² 9 omo o centro é (, b) e essa circunferência tangencia o eio, temos que este ponto de tangência é dado por (, b). ( + )² + ( )² ² ² b c Logo, os pontos de intersecção da circunferência com o eio são (, ) e (, ). intersecção com o eio é dada quando, então, se, na nossa equação temos: ( + )² + ( )² ² ou. Logo, os pontos de intersecção são (, ) e (, ). ssim, o quadrilátero formado por esses pontos é: Que terá área igual a: ssim, pela definição de circunferência, temos: d P, d P, (,b) r ( ) + ( b ) 6) + (b )² 9 (b )² b ± b + ou b Mas pelo enunciado, b< e + >. Logo, b. E, assim, nossa equação fica: ( )² + ( )² 9 Matemática

2 GRITO Da equação ² + ² temos que: ² + ² ² e assim o raio é igual a. Logo, o octógono é formado por 8 triângulos isósceles de lados côngruos iguais a. Mas note que o ponto (, ), com >, é um vértice do octógono e é pertencente a essa circunferência. Logo, ² + ² ² ² ±, e como >,. Ou seja, P (, ) pertence à circunferência. ssim, o lado do octógono é dado por: d P, (, ) ( ) + ( ) ssim, como a área de um octógono de lado a é dada por a². ( + ), temos que: ( ). 8 7) 7. ( + ). (8 ). ( + ). ( ). ( ) 8. Verdadeira. d t, b d T, + d T, ). Falso. ( ) ( ). ( ( ) ) ( ) ( ). ( ) ( 7 ) a + b + c. Falso. d, r ( ) a + b Falso. Se 7, e r, a equação é dada por: + 7 ² ² + ² + ² Verdadeiro. D 7 Note que este é o triângulo retângulo pitagórico de lados, e. Logo, P (, ). ssim, a equação da reta é dada por: ( ). ( ) 9) O centro do quadrado e, portanto, da circunferência, é dado pelo ponto em comum entre as retas dadas: +.( ) Logo (, ). O raio dessa circunferência é dado pelo lado do quadrado dividido por dois, pois ela está inscrita no quadrado. ssim, r l. Mas ainda não sabemos o valor do lado do quadrado. Porém, sabemos o valor da metade da diagonal deste, que é dado pela distância do centro ao ponto P (, ). Logo, diagonal d P, ( ( )) + ( ) 6 +. Matemática

3 GRITO Logo, a diagonal do quadrado é d. ssim, como: ² + ² d² ² ( )² ² ². Ilustrando os três pontos dados no plano, temos: ) Portanto, o raio da circunferência é r l. om isso, a equação da circunferência fica: ( ( ))²+( )² ( )² ² ² + ² + ² + 8. Da equação r: +, temos: + m r. omo r é perpendicular à reta que estamos proucurando, denote por s tal reta, temos que: m r. m s. m s m s. ssim, a equação de s é: ) D ( ). ( ) + +. Nossa equação é dada por: ² + ² + p + q + m, que, ao completar quadrados, fica: p + p + q + q + m ou seja, p q p q + m. p q Logo, o centro é,. p distância entre e K é d d, K + q p q 9 p 9 + q p q +. Note, pelo gráfico, que o centro dessa circunferência é o ponto médio entre (, ) e (, ). ssim: M + e M + ) E Logo, (, ). omo o centro da circunferência pela p q nossa equação é,, temos que: p p q q E a distância entre e K fica: p q + ( ) + ( ). d Falta encontrar m, mas como ponto (, ) está na circunferência, ele satisfaz a equação da circunferência, ou seja, ² + ² + ( ). + ( ). + m m. Portanto, d. m ( ). 9. Da equação ² + ² 6 6, temos: ² + ² 6 6 ( )² + ( )² 9 6 ( )² + ( )² 9. Logo, o raio dessa circunferência é 7, e assim o diâmetro é. área é dada por: π. r² 7²., 9.,,86. Matemática

4 GRITO ) Note que o raio dessa circunferência é dado por: ² + ² + ² + ² + ( )² + ( )² + ( )² + ( )² Portanto, o raio é r. gora, note que a área da região hachurada é dada pela soma das área: ) N no qual + e setores circulares e N M + M são é um triângulo retângulo de catetos de medidas iguais a. Portanto: π. + π. +. π. π +. Obs.: π π r π, e ainda, α r Área do setor circular é dada por α. r. Se a circunferência passa por (, ) da equação dada, temos: ² + 6 ou. ssumimos pois, pelo gráfico, é o maior valor de. E, assim, (, ). O centro da circunferência é o ponto (, ), mas f() ² e, assim, (, 6). omo o raio é dado pela distância de até, temos: r d, ( ) + ( 6) ssim, a equação da circunferência fica: ( )² + ( 6)² ( )² ² + ( 6)² ) intersecção de L e L é dada por: + +.( ) ssim, P L L (, ). Por outro lado, o centro da circunferência é o ponto (, ) e a distância entre P e é: d P, ( ) + ( ( )), que é, por sinal, o 6) 9 dobro do raio da circunferência que tem raio.. Verdadeiro. Se em anos cresce,8, em, anos crescerá, ou seja: 8, regra de,,., 8.,. 99,,99 Que é aproimadamente.. Falso. O centro é (6, ) e o raio é v, então a equação da circunferência é: ( 6)² + ( )² ² ² ² ² + ² +. Falso. No ponto, t, e assim: + (, ). + 6 No ponto, t e assim: + (, 6) E, com isso, d, ( ) + ( 6) + 8. Verdadeiro. O volume do cubo de aresta é dado por: V ³ cm³. O volume do cubinho de cm de aresta é: V.. cm³ Se foram retirados 8 cubinhos, um de cada vértice, o volume restante será: V V 8V ³ 8. ³ 8 ³ ³ ( )(² + + ) Matemática

5 GRITO 7) D O centro da circunferência é (, ) e o raio é, então temos: R Q P O triângulo PQR inscrito em com base PQ com o maior perímetro possível é o triângulo isósceles com PR QR. Note que R é um ponto que pertence à reta, e assim, R (, ). Por outro lado, R também pertence a, logo se "colocarmos" as coordenadas de R na equação de, encontramos : ( )² + ( )² ² + + ² + ² ² + ² + por háskara, ± 6.. ± 8 ± ±. ou seja, + ou. Mas, pelo gráfico, +, ou seja, R ( +, + ). ssim, a área do triângulo PQR é: + + (+ ) (+ ) + 8) ² + ² 6 + ² 6 + ² ( )² 9 + ( )² ( )² + ( )² Então o centro é (, ) e o raio é. om isso, a ordenanda máima de P é + 7. E, assim, P (, 7). om isso, a soma de suas coordenadas é P Matemática

6 GRITO 9) Portanto, a intersecção de r com s é o ponto G de coordenadas: , e com isso. 8 Note que o centro é (, ) e o raio é. Logo, os catetos são 6 e 8, assim, ) om as informações que temos, devemos achar o centro de para termos o raio. O centro de será o ponto de intersecção de duas retas. primeira reta r será a reta perpendicular à reta dada + (do fato de + + ) e que passa pelo ponto (, ). outra reta será a reta s, perpendicular ao segmento (em que (, ) e (,)) e que passa pelo ponto médio entre e. Logo G,. Por fim, o raio é: d G, + ) P ( 9, ), d 9 +. Da equação dada, temos: ² + ² ² ² ( + )² 9 + ( + )² 6 7 ( + )² + ( + )². Logo o centro é (, ) e o raio é. O ponto da circunferência mais distante da origem é o ponto P ( p, p ) indicado no gráfico abaio: Reta r: omo r é perpendicular à reta +, então seu coeficiente angular será m r, em que m r. m (m é o coeficiente angular da reta + ). ssim, como +, temos que: m m r. m m r. ( ) m r. Logo, como r passa por (, ), sua equação é: ( ) m r. ( ). ( ) + Reta s: O segmento tem coeficiente angular m. ssim, como s é perpendicular ao segmento, temos que: m s. m m s. ( ) m s. O ponto médio entre e é: + +, + +,,. E, assim, a equação de s fica: ( ) m s + P ( p, p) Esse ponto, além de estar na circunferência, está na reta ilustrada. Tal reta tem como equação:. ( ). (Pois passa pela origem e pelo centro da circunferência, que é (, )). Logo, o ponto P é da forma,, e pertence à circunferência, ou seja: ( + )² Matemática

7 GRITO ² ² ² ² ² + 67 ² ou. ) Pelo gráfico, adotamos p 9. E assim: p. ( 9). Logo, P ( 9, ). E então: d P, O ( 9 ) + ( ). ² + ² ² + ² ² + ( )² ² + ( )². Então o centro é (, ) e o raio é. gora, note que como é um triângulo equilátero, todo ângulo interno do triângulo é 6. E, assim, tomando como abaio: Temos que e, assim, como, temos que o triângulo retângulo tem lado igual a: tg Logo, o lado do triângulo é.. ) equação da reta r que passa por PQ é: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ou. distância de à reta r é:.( ). d, r + ( ) Logo, o raio da circunferência é. ssim, a equação da circunferência é: ( )² + ( )² ( )². Essa circunferência intercepta o eio quando. Então, ( + )² + ( )² ² + ² ( + ) ( ) ou. ssim, os pontos de intersecção são (, ) e (, ). E a distância entre eles é: ( ) m. ) a) ( )² + ( )² 8 b) c) (, ) a) O raio desta circunferência é a distância entre e. r d, ( ) + ( ) + Logo, a equação é: ( )² + ( )² 8 b) O ponto médio é: + +, + +, (, ). omo é perpendicular a, o coeficiente angular da reta proucurada é igual a, temos que: m m m. Logo, a equação da reta proucurada é: ( ). ( ). c) omo o coeficiente angular da reta é m, temos que m tg θ, ou seja, θ. Que é côngruo ao ângulo θ. Quando rotacionarmos a haste no sentido horário Matemática 7

8 GRITO em 6, o ângulo final é: θ θ 6 6 7, pois é côngruo a 7. Logo, θ 7 +. ssim, o coeficiente angular m tg θ tg 7 tg ( + ) + + tg + tg tg. tg ( ) ( ) + +. om isso, a equação da reta suporte da haste rotacionada é: ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ). 6 gora, se ilustrarmos os dados que temos, note que o ponto da haste rotacionada está eatamente na interseção das retas e ( + ) ( + ), ou seja, ( + ) ( + ) ( + ) +. + ( ) ( ) Ou seja, (, ). ) O centro dessa circunferência tem coordenadas (, ), pois a circunferência tangencia o eio no ponto (, ). Por outro lado, sabemos que: d, d,, em que (, ) e (, ), ou seja, ( ) + ( ) ( ) + ( ) 6) D Logo, o centro é (, ) e assim o raio é: r ( ) + ( ) equação da reta r tangente à circunferência é dada por: ( ) m r ( ), pois passa pelo ponto (, ). Note que m r, pois essa reta tangente é perpendicular à reta, que tem coeficiente angular igual a. Logo, a reta r fica: ( ) ( ) + e intercepta no ponto: +.( ) e assim 8 ou seja, no ponto 8,. 7) F F V V V (F) Pois θ pertence ao o quadrante, assim tg θ <, ou seja, m tg θ <. θ 8 Matemática

9 GRITO 8) D (F) dc r d,r < R. (V) a + b, em que a >, ou seja, f() a + b, que é crescente. (V) d c c R R (V) Pois,, e serão devidamente escolhidos. Note que se P (, a), então substituindo as coordenadas de P em ( )² + ( )², temos: ( )² + (a )² 9 + a² a + a² a a ou a. K Logo, se a (, ), P é interior à circunferência. Se a ou a, P é ponto da circunferência. Se a < ou a >, P é eterno à circunferência. 9) Para + b ser tangente à circunferência de equação ² + ², temos que ter: ² + ( + b)² ² + ² + b + b² ² + b + b² E Δ deve ser zero, ou seja: (b)².. (b² ) b² 8b² + 8 b² + 8 b² b ±. ) a) u. a. b) D (, ) a) Note que o centro é (, ) e o raio é. omo (, ) e r, temos que:. +, logo, (, ). ssim a área é: u. a. b) omo D r e D pertence à circunferência, temos que D, e assim, ( )² + ² ² ² 9 + ² + ² + ² + 8 ou. Mas se 8, então e esse é o ponto (8, ). Então, tome e, assim,, portanto D (, ). ) a) (, ), (, ) e (, ) b) u. a. a) r: intercepta s nos seguintes pontos: ² + ()² ² ± (, ), (, ) Por outro lado, h: + intercepta S nos pontos: ² + ( + )² ² + ² + + ² + ² + ou, E assim (, ) e (, ) b) 8 + u. a. omo, pelo enunciado, queremos o valor positivo de b, tomamos b. Matemática 9

10 GRITO ) E (,) P 9² ² + ² + + ² + +. E, assim, ( ). Logo, P (, ). b) ( + )² + ( )² c) Q O e Q t, então. Q. Q. ssim, Q,. Logo: + Essa circunferência é do tipo: ( )² + ( a)² 9 e é tangente a ela. Então: ( )² + ( a)² 9 ² ² a + a² 9 ² (6 + a) + a² Precisamos ter Δ, logo: (6 + a)²..a² 6 + a + a² 8a² a² + a + 6 a² 6a 9 6± ± 6 a a ±. Mas como a circunferência está no o quadrante, a +. ) a) P (, ) b) ( + )² + ( )² 6 c) u. a. O raio da circunferência e a distância do centro: (, ) a reta t:. Logo, r d, t.( ). + ( ) Logo, a equação da circunferência é: ( + )² + ( )² a) O ponto P é dado por,. E quando o substituímos na equação da circunferência, temos: ( + )² + ² ² ) a) + b) ( +, ). Note que S: E P a) O ponto E é (, ). E o coeficiente angular (m) da reta tangente é o oposto inverso do coeficciente angular da reta. Logo, m. Sendo assim, a reta tangente é: ( ) +. b) O E P O ponto de encontro das alturas será o ponto H, no qual H O e H pertence também à reta perpendicular ao segmento OP que passa por E. H Matemática

11 GRITO ) Tal reta é dada por: ( ) ( ) ( ) omo H O, H (, ), assim: Logo H ( +, ) 6 + III. Falso. ² + ² + ² + + ² ( + )² + ( )² ( + )² + ( )² Se r tangencia essa circunferência a distância, do centro (, ) à reta r deve ser. Mas d,r.( ) +. ( ) + reta r é secante à circunferência. <. Logo, a IV. Verdadeira. + + E. m r Logo, m. m r. 7)a) + m b) ( )² + ( )² 6). Falso.. Verdadeiro. equação da reta é: ( ) ( ) + m E, por outro lado, + + m r Logo, m. m r.. Verdadeira. asta imaginar essa circunferência.. Falso. Pois I. Verdadeiro... II. Falso. O raio é, e assim o ponto P (, ) não pertence à circunferência. r λ: ² + ² 6 λ: ( )² + ( )² 6 Logo, λ (, ) e r λ. a) Se é perpendicular à reta r, seu coeficiente angular é, pois m r. E como passa pelo centro λ (, ), temos:. ( ) + b) omo é tangente à reta r, o raio é a distância do centro até r, ou seja, d λ, r Logo, a equação da circunferência concêntrica a λ é: ( )² + ( )². 8) D ² + ² ² + ( )² ² + ( )² I. Falso. O raio é. II. Verdadeiro. III. Verdadeiro. Note que + tem coeficiente angular m, enquanto que o coeficiente angular da reta que passa pelo centro (, ) e por P (, ) é: ( ) ( ). ( ) + +. m Portanto, m. m, e assim, é perpendicular. Matemática

12 GRITO 9) Temos ² + ² + + ( + )² + ( + )² ( + )² + ( + )² 6. Esta circunferência tem centro (, ) e o raio r. reta p, perpendicular a s tem equação + + k e será secante a circunferência quando d p, <, isto é:.( ) +.( ) + k < + k < k < < k < < k < 7. ) reta p intercepta o eio num ponto cuja ordenada é k. ssim, se < k < 7, temos 7 < k <, ou seja, 7 < k <. Logo, a ordenada do ponto em que p corta o eio pertence ao intervalo 7,, : ² + ² ( )² 6 + ( )² 8 ( )² + ( )². Note que tem raio: d, P ( 9) + ( ) 6 +. (V) reta é: ( ). ( ). Se,, devemos ter., logo, pertence. (F) Pois nem pertence a esta reta. (F) Pela lei dos senos temos que senα senβ ( senα ) ( senβ ). ) D De temos: ² + ² ( )² + ( )² ( )² + ( )². Logo, o centro de é (, ) e o raio de é r. De temos: ² + ² ( )² + ( )² ( )² + ( )² 8. Logo, o centro de é (, ) e o raio de e r 8. ssim, área de π. r π. ( )² π. e área de π. r π. ( 8)² 8π. Portanto, a área hachurada é igual a 8π π 6π Logo : ( )² + ( + )². Note agora que: d, O > R + R, pois: ( ( )) + ( ) , >, + R + R Raio de Raio de Logo, estas circunferências não se tocam em ponto algum e são eternas. ssim os pontos internos a e eternos a são todos os pontos de, e a área de é dado por: π. R c π. ² π. π. ) V - F - V - F - F (V) ( )² + ² ² + + ² ² + ² (F) omo o raio de λ é r λ, o seu comprimento é π. r λ π. π. Matemática

13 GRITO ) a) P (, ) b) π + u.a. a) Na figura a seguir, sejam O (, ); Q (, ); P ( P, P ) e R ( P, ). p 6 omo a circunferência que passa por P tem centro (, ) e é tangente o eio, ela contém a origem e seu raio é. lém disso, o triângulo OQP é isósceles com OQ QP e, portanto, seu ângulo eterno de vértice Q mede. 6. No triângulo QPR, cos 6 QR QP P P e sen 6 PR QP P. P Dessa forma, P (, ). b) Observe a figura a seguir: 6 6 Q P R circulares de ângulo e raio. área do segmento circular é a diferença entre a área do setor circular O e a área do triângulo O, ou seja,. π. ²... sen π. ssim, a área pedida é: π. ². π π +. ). Falso. alcança no instante t h ao passarem pelo marco de km. t O 6 t O 6 6, t O 6. Verdadeiro. O ponto médio de é: M + +, + +,,. Logo, o coeficiente ângular da reta que passa por M e pela origem é m.. Falso.s retas t e s não são perpendiculares, pois m s. m t Verdadeiro. Note que: : ² + ² + ( )² + ( )² + ( )² + ( )² Logo, o centro de é (, ) e o raio é r. Por outro lado, ' ² + ² 8 + ( )² 6 + ( )² + ( )² + ( )². Logo, o centro de ' é ' (, ) e o raio é r '. om isso, temos: d, ( ) + ( ) e r + r ' +. Portanto: d,, <,6 + r + r '. área da região sombreada é a diferença entre a área do círculo de raio e a área de dois segmentos Matemática

14 GRITO ) Representando as circunferência e de raios e, respectivamente, e a reta r pela figura: s O (, ) e O (, ) Temos O O ( ) + ( ). Traçando a reta s paralela à r pelo centro O, obtemos o retângulo O, sendo O e O. Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo O O, temos: ² ( + )² + (O )². 6) ² + ² + + ( + )² + ( + )² ( + )² + ( + )² 9. Logo, o centro de é (, ). gora, note que o raio de é igual a d, raio de, pois elas são tangentes. Logo, r ( ) + ( ) +. 7) D Pelas informações do gráfico temos que: a e b 8. Logo, por Pitágoras temos: a² b² + c² ² ² + c² c² 9 6 c ssim, como F F c, temos que a distância é de. c. 8 metros. r 8) distância entre os dois postes deverá ser a. c Temos por II e III que b e que e,9. om a isso, c (,9)²,889, ou seja c²,889a². a Dessa forma, da fórmula a² b² + c², temos: a² b² +,889a² a². (,889) b²,a² b² a²., a..... Logo, a,, distância deverá ser aproimadamente: a. m 9) reta procurada terá pontos da forma (, + b). Quando "colocarmos" a reta na equação da elipse, temos: + ( + b)² + ² + b + b² + b + b² b² + b + (*) Para a reta ser tangente, devemos ter Δ, ou seja, ². ² ² + ± ssim, em (*) se, temos que: b² + b + b ou, em (*) se, temos que: b² b + b. ) Logo, a soma de b com b fica + ( ). (V) Se, então. Se, então. Logo, a circunferência tangencia em (, ) e (, ). (V) ( ) ² ± E, assim, elas se interceptam em (, ) e (, ), que são, de fato, os vértices da hipérbole. (F) O semieio maior da elipse 9² + ² 6 + é paralelo ao eio. 9 O eio real da hipérbole ² ² ² é paralelo ao eio. Matemática

15 GRITO ) Note que P pertence à reta, logo P (k, k). omo (k, k) está na elipse, temos: k k + k² + k² k² k² k, positivo pelo fato de P quadrante. ) ssim, P (, ) e, com isso, ( ) + ( ) d O, P. + Pela definição de elipse, a corda deverá medir a, como a, a corda deverá medir. m. ) F F V V V (F) ( ) ( ) +. D (F).. 6. (V) O raio desta circunferência deverá ser: d O, ( ) +. Logo, a equação ficará: ² + ² (V) + 9² + ² 9 (V) É interior, pois se substituirmos (, ) na fórmula temos 9. ² +. ² 8 + <. asta desenhar a reta para verificar que P é eterior ao quadrilátero. ) a) V (, ), V (, ), F (, ) e F (, ) a, b e por Pitágoras c² a² b² 9 c. Logo, V (, ), V (, ), F (, ) e F (, ). b) 6 e eio maior. a. 6 eio menor. b. c) c e a ( ) a) ) ( ) + 9 entro (, ) a e b 6. Logo, a equação fica: ( ) ( ) + b) ( + ) + ( ) 6 entro (, ) a 7 e b ( ) Logo, a equação fica: ( + ) + ( ) 6) ( ) ( + ) + ; F (, ), F ( +, ) ² + ² ( )² + ( + )² 6 + ( )² + ( + )² ( ) ( + ) + a b c² a² b² c. Logo, os focos são F (, ), F ( +, ) 7) m Pelos dados fornecidos, temos a e b 8. Logo, por Pitágoras, a² b² + c² 6 + c² c 6. ssim, a distância focal é igual a. c. 6 m. 8) ( + ) ( ) + ; focos F (, ), F (, 8) 6 9² + ² + 9 ( + 9)² 8 + (² 8) 9 ( ( + )) ² + ( )² 8 9 ( + ) ² + ( )² 8 ( + ) ( ) + 6 b a 6 Por Pitágoras, c² a² b² 6 6 c. ssim, F (, ), F (, 8). Matemática

16 GRITO 9) entro: (, ); a, b ; focos F (, ), F (7, ) entro (, ) omo a e b, por pitágoras c. ssim, os focos são: F (, ) (, ) F ( +, ) (7, ) e as medidas dos eios são: maior. a. menor. b. 8 6) Vértices: (, ) e (, ); focos F (, ), F (, ) ² + ² + c² c a b Vértices: V (, ) e V (, ) Focos: F (, ), F (, ) 6) + omo F (, ) e F (, ), temos que c e o centro é (, ). Por ser o comprimento do eio menor, temos que b. E, assim, a² b² + c² ² + ² a. Portanto a equação fica: + 6) D 6) E Do enunciado temos a figura: (,9) a 9 9 b? 6 F c 6 6 F (,) 6 Temos que b² + c² a² b² + 6² 9² b² b ssim, a equação da elipse fica: 8 + omo (, ) pertence à elipse, temos: + 8. Logo, a área do triângulo F F é:.. omo está centrada na origem e passa pelos pontos (, ) e (, ), temos que a e b. ssim: c² a² b² ² ² c. Logo, a distância focal é. c e a ecentricidade c é e a. 6 Matemática

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