Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F.

Transcrição

1 Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares 9 o ano..

2 Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Polígonos Regulares. Relações Métricas em Polígonos Regulares 1 xercícios Introdutórios xercício 4. Observando o triângulo equilátero da figura abaixo, determine a medida do seu lado em função do seu circunraio M. xercício 1. Na figura 1, estabeleça uma relação entre: H M igura 4 M xercício 5. Prove que, num triângulo equilátero, o raio R da circunferência circunscrita é o dobro do raio r da circunferência inscrita. igura 1 a o lado do triângulo equilátero e sua diagonal. b o lado do quadrado e sua diagonal. xercício. Julgue a afirmação abaixo como ou verdadeira ou falsa. Todas as diagonais de um hexágono regular têm medidas iguas. xercício. Na figura, temos o equilátero. Lembrando que o incentro, centro da circunferência inscrita, é o encontro das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo, responda: I igura 5 xercício 6. alcule a medida do lado de um quadrado: a inscrito em uma circunferência de raio 0 cm. I I igura a Se raio da circunferência inscrita (inraio vale 6 cm, qual o valor da medida do lado desse triângulo? b Se raio da circunferência inscrita (inraio vale r, qual o valor da medida do lado do triângulo em função de r? igura 6 b inscrito em uma circunferência de raio R cm. c inscrito em uma circunferência de raio r cm. 1 matematica@obmep.org.br

3 xercício 7. igura 7 No hexágono inscrito da figura 9 determine: b Qual a soma dos ângulos internos do polígono formado pelas marcas? xercício 10. alcule o lado de um triângulo equilátero inscrito em um círculo, sabendo que o lado do hexágono inscrito nesse círculo mede 5 cm. xercício 11. É dado um quadrado de lado a. etermine o raio da circunferência que contém os vértices e e é tangente ao lado. xercício 1. etermine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo cujos lados medem 6 cm, 6 cm e 4 cm. xercício 1. Na figura 15, o é um triângulo equilátero e é tanto uma altura do triângulo quanto um diâmetro do círculo. Se = 10cm, determine a área sombreada. igura 9 a a medida do lado para o circunraio igual cm. b a medida do lado em função do circunraio igual a R. xercício 8. No hexágono inscrito da figura 11, determine a medida do lado para o inraio igual a cm. igura 15 xercício 14. Os vértices 1,,..., n pertencem a um polígono regular convexo de n lados que está inscrito em um circunferência. Se o vértice 15 é diametralmente oposto ao vértice 46, qual o valor de n? xercícios de profundamento e de xames H xercício 15. Na figura abaixo, temos um hexágono regular de centro 1 e é o ponto médio de um dos seus lados. Qual a medida de ˆ 1? igura 11 xercícios de ixação 1 xercício 9. partir do meio-dia, João faz, a cada 80 minutos, uma marca na posição do ponteiro das horas do seu relógio. a epois de quanto tempo não será mais necessário fazer novas marcas no relógio? matematica@obmep.org.br

4 xercício 16. Na figura abaixo, temos dois hexágonos regulares de centros 1 e. Prove que o segmento 1 está contido na mediatriz do segmento igura 18 xercício 17. Na figura 0, temos três hexágonos regulares de centros 1, e. Prove que os pontos,, e são colineares. igura xercício 19. Um dodecágono regular foi inscrito numa circunferência de raio igual a cm. Pergunta-se: a qual a área desse polígono? b qual o valor do lado desse dodecágono regular? xercício 0. Um octógono regular inscrito está numa circunferência de raio igual a 1 cm. Pergunta-se: igura 0 1 a qual a área desse polígono? b qual o valor do lado desse octógono regular? xercício 1. Seja l n a medida do lado de um polígono regular de n lados, inscrito em um círculo de raio R. Qual das afirmações abaixo está correta para todo valor de n? a sen ( = l n n R. ( 180 b sen = l n n R. ( 180 c sen = l n n R. d cos ( = l n n R. ( 60 e sen = l n n R. xercício 18. Na figura, temos oito hexágonos regulares inscritos em circunferências de centros i, i {1,,..., 8}, e raios unitários. Qual a distância de 5 a 8? matematica@obmep.org.br

5 xercício. Um hexágono é chamado equiângulo quando possui os seis ângulos internos iguais. onsidere o hexágono equiângulo com lados, y, 5, 4, 1 e x, da figura a seguir. etermine os comprimentos x e y desconhecidos.. igura matematica@obmep.org.br

6 Respostas e Soluções. 1. Uma boa estratégia é construir triângulos, de preferência retângulos, que nos permitam utilizar o Teorema de Pitágoras, as Leis dos Senos ou a Lei dos ossenos. gora, observe a igura 1. H M igura 1 a Sejam = l e M = h. omo é um triângulo equilátero e M é uma altura, segue que M = l. Pelo Teorema de Pitágoras, temos M + M = ( l + h = l h = l l 4 h = l 4 h = l. b No caso do H, temos = = l e a diagonal = d. plicando o Teorema de Pitágoras no triângulo, retângulo em, obteremos. Observe que: + = l + l = d d = l d = l. i todo polígono regular é inscritível, isto é, existe uma circunferência que contém todos os seus vértices; e ii o centro do polígono regular coincide com o circuncentro e com o incentro; onsidere a igura a as duas diagonais traçadas. igura omo a maior corda de uma circunferência é o diâmetro, podemos concluir que > e consequentemente a proposição do problema é falsa.. Sejam I o ponto de encontro das bissetrizes e I a sua projeção em. Teremos que II = 90 e I = I = l. O II, retângulo em I, possui IÂI = 0. gora, utilizando a tg 0 =, temos: a = 6, ou seja, l = 1 cm; l b = r, ou seja, l = r. l 4. Seja M a projeção de M sobre o lado. omo M = 0, segue que M M = cos 0 =. Portanto, como M é ponto médio de, = M = M. 5. Pelo Teorema da issetriz Interna, temos que r l = R l R = r 5. Outro método: Se I é a projeção de I sobre, como I = 0, II = r e I = R/, segue que sen 0 = r R 1 = r R R = r. 5 matematica@obmep.org.br

7 6. a Na figura 8, temos = = 5 cm e Ê = 90. e concluímos assim que o triângulo é equilátero. Portanto, = = = cm. b m virtude da análise anterior, o lado será igual à R. 8. O inraio coincide com altura do triângulo equilátero. igura 8 ssim, pelo Teorema de Pitágoras, obtemos + = = l l = 0 cm. b plicando o método do item anterior + = R + R = l l = R. c Se é a projeção de no lado, temos = = /. Portanto, o lado do quadrado mede r. 7. Na figura 10, temos o ângulo central do hexágono é igual a 60 = H igura 1 Portanto, r =. Substituindo r =, obtemos = cm 9. (xtraído do anco de Questões da OMP 015. a O ponteiro das horas concluirá uma volta completa após 1 60 = 70 minutos e ao longo dela nenhuma marca será repetida. omo 70 é múltiplo de 80, durante esse período são feitas exatamente = marcas no relógio e, além disso, os dois ponteiros voltam às suas posições iniciais. aí, como as próximas marcas serão repetidas, o tempo desejado é 70 minutos. b soma dos ângulos internos de um polígono de 9 lados é 180 (9 = 160. igura Se l e l 6 denotam os lados do triângulo equilátero e do hexágono e R o circunraio, temos l = R e l 6 = R. Se l 6 = 5, temos l = 5 = 15. a O é isósceles pois = = cm. omo Ĝ = 60, os ângulos da base serão iguais a = (xtraído do material do PI. Observe na figura 1 que, a partir das condições do enunciado, foi traçado, pelo centro O da circunferência, o segmento MN perpendicular a. 6 matematica@obmep.org.br

8 igura 1 omo M é médio de temos, no triângulo retângulo OM, O = R, M = a e OM = a R. plicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OM, encontramos R = 5a (xtraído do material do PI. Traçamos a altura M que passa pelo centro O da circunferência circunscrita ao triângulo (figura 14. igura 16 omo IH = HJ = 0 e IH = H = HJ, segue que os triângulos HI e HJ são isósceles com ângulo do vértice igual à 10. Se l é o raio do círculo, como a altura do triângulo e o diâmetro do círculo coincidem, l = 10 cm e consequentemente l = 5 cm. ada uma das regiões sombreadas corresponde a área de um setor circular de 10 = π/ subtraída de um triângulo isósceles, ou seja, (π/l l sen 10 = πl l 4 = (4π 1 = 100π 75 4 ( cm Se 15 está oposto a 46, então 1 é diametralmente oposto a. Logo, há 0 vértices entre eles eles em cada metade da circunferência na qual o polígono está inscrito e, portanto, há = 6 lados. 15. onsidere o quadrilátero 1 na figura 17. igura 14 No triângulo retângulo M, pelo Teorema de Pitágoras, temos M = 6 4 = 4. Sendo R o raio da circunferência, aplicando novamente o Teorema de Pitágorna no triângulo OM, temos R = + (4 R. aí, R = (xtraído do anco de Questões da OMP 015. omo é diâmetro, o seu ponto médio H é o centro do círculo. Sejam I e J as outras interseções da circunferência com os lados e. 1 igura 17 Temos 1 ˆ = 60, ˆ = 10 e Ĝ 1 = 90, logo 1 ˆ + ˆ + Ĝ 1 + ˆ 1 = ˆ 1 = 60 ˆ 1 = matematica@obmep.org.br

9 16. Teorema de Pitágoras, obtemos ( 5 8 = 5 8 = 1 u.c.. ( + e O dodecágono regular inscrito numa circunferência possui ângulo central igual a 0. a onsidere um triângulo isósceles formado pelo centro do círculo e dois vértices consecutivos. omo o raio mede cm e o ângulo entre eles é 0, a área de tal triângulo é S O = sen 0 = 1 cm. igura 19 Os triângulos 1 e são equiláteros de lado. onsequentemente 1 e 1 são congruentes e 1 = 1. aí, 1 é a bissetriz do ângulo 1 do triângulo isósceles 1 e, portanto, também altura. 17. Observe a figura 1 e perceba que ˆ = Â = 60. lém disso, ˆ e Â são ângulos internos em um hexágono regular e, portanto, medem 10. omo são 1 triângulos congruentes, então a área total do dodecágono é 1 cm. b Vamos utilizar a lei dos cossenos para calcularmos o lado l do dodecágono: l = + cos 0 l = l = ± 8 4. omo l > 0, ficamos com l = 8 4 cm. 0. O octógono regular inscrito numa circunferência possui ângulo central igual a 45. a onsidere um triângulo isósceles formado pelo centro do círculo e dois vértices consecutivos. omo o raio mede 1 cm e o ângulo entre eles é 45, a área de tal triângulo é 1 S O = 1 1 sen 45 = 4 cm. omo são 8 triângulos congruentes, ficaremos com S...H = 8 4 = cm. igura 1 aí, ˆ + ˆ = 180, e consequentemente, e são colineares. nalogamente,, e são colineares. 18. Usando o que foi provado nos problemas 15, 16 e 17, teremos que 5 8 é retângulo em, com catetos medindo 8 = 4 = e 5 =. plicando o b Vamos utilizar a lei dos cossenos para calcularmos o lado l do octógono: l = cos 45 l = l = ±. omo l > 0, ficamos com l = cm. 8 matematica@obmep.org.br

10 1. (xtraído do exame de acesso do PROMT 014 Na figura, o ângulo central do n-ágono é 60 n. igura 5 omo os lados do triângulo XYZ são iguais, temos + y + 5 = = 1 + x +. Logo, x = 6 e y =. igura Sendo O é o centro do polígono, o O é isósceles, pois os lados O e O são raios da circunferência. om isso, a altura M é também bissetriz, e então MÔ = 1 60 = 180. No MO, retângulo em n n M = l ( n 180. Portanto, sen = n na letra. M, o cateto M mede metade do lado do polígono, isto é l n R = l n. Que está R. (xtraído do anco de Questões da OMP 015. omo um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos por meio de suas diagonais, a soma de seus ângulos internos é 180 (6 = 70. ado que ele é equiângulo, cada um dos ângulos internos medirá 70 6 = 10. Sabendo disso, ao prolongarmos os lados formaremos, como indicado abaixo, triângulos equiláteros menores externos a três de seus lados e um triângulo equilátero maior XYZ que o conterá. laborado por Tiago Miranda e leber ssis Produzido por rquimedes urso de nsino contato@cursoarquimedes.com 9 matematica@obmep.org.br