Proposta de teste de avaliação

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1 . Proposta de teste de avaliação Matemática 0. N E ESLRIE uração: 90 minutos ata:

2 Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.. onsidere a condição 4 + = Em qual das opções seguintes pode estar representado, em referencial ortonormado, o conjunto de pontos definido por esta condição? () () () (). Na figura está representado o heágono regular [ EF ] de centro no ponto. F E Qual das seguintes igualdades é falsa? () + E = E + F = () ( ) () ( ) E + EF = () F E = Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página

3 3. Num referencial ortonormado z, a condição ( ) z 5 define uma esfera. Sabe-se que a interseção do plano α com a esfera é um círculo de raio 3. Qual das equações seguintes pode definir o plano α? () = 0 () = () = 4 () = 7 4. onsidere duas funções f e g, de domínio [ 0, ], cujos gráficos se apresentam a seguir. f g Qual das seguintes opções pode corresponder ao gráfico da função f g? () () () () Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 3

4 5. No referencial ortonormado z está representado o cubo [ EFG ] de aresta. z F E G Sabe-se que: os vértices, e E pertencem aos semieios positivos, e z, respetivamente; o ponto P, de coordenadas (,, k ) aresta [ ] com o plano mediador da aresta [ E ]. valor de k é: k k +, pertence à interseção do plano mediador da () () () () Grupo II. Num plano munido de um referencial ortonormado (, e, e ), considere os pontos ( 0,) (, ), bem como a circunferência de centro definida, para + + = k. determinado valor real positivo de k, por ( 4) ( ).. Sabendo que a circunferência passa no ponto, mostre que k = 5... Verifique que o ponto também pertence à circunferência. e.3. etermine as coordenadas do ponto sabendo que [ ] é um diâmetro da circunferência..4. Justifique que o triângulo [ ] é retângulo e determine a sua medida de área. Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 4

5 . Fiado um referencial ortonormado do espaço considere a pirâmide quadrangular regular de vértice V e base [ ]. V Sabe-se que (,, 4) e ( 0,, 4)... Mostre que + 4z + = 0 é uma equação do plano V... Sabendo que o vértice V pertence à reta definida pelo sistema de equações paramétricas = k = k, k R z = k, mostre que V tem coordenadas (,, )..3. etermine uma equação vetorial da reta MV em que M é o ponto médio do segmento [ ]..4. etermine a medida do volume da pirâmide..5. etermine uma equação da superfície esférica que passa em e e cujo centro, E, pertence ao eio. Sugestão: omece por justificar que E é o ponto de interseção do eio com o plano V. 3. Seja [ ] um triângulo e M o ponto médio de [ ]. Mostre que + = M. Grupo I FIM otações Total Grupo II Total Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 5

6 Proposta de resolução. + = + + = Grupo I + = define uma elipse de centro em (0, 0). 4 a b = a = (semieio menor) = 4 b = (semieio maior) + = 4 = Resposta: (). () + E = + F = F = E + F = E + F + = () = E + F + = E + F = E + E = ( ) (verdadeira) (verdadeira) F E E + EF = E + + EF = = ( E + E) + EF = + EF = = + = 0 () (falsa) () F E = + = + = = (verdadeira) Resposta: () 3. ( ) z 5 define uma esfera de raio 5 e centro ( 0, 4, 0). () ( ) ( ) z z 5 = 0 = z 5 + z 9 = 0 = interseção do planoα com a esfera é um círculo de raio 3. () ( ) ( ) z z 5 = = z 5 + z 6 = = interseção do planoα com a esfera é um círculo de raio Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 6

7 + 4 + z z 5 () = 4 = z 5 + z 5 = 4 = 4 interseção do planoα com a esfera é um círculo de raio () ( ) ( ) z z 5 = 7 = z 5 + z 6 = 7 = 7 interseção do planoα com a esfera é um círculo de raio Resposta: () 4. f g ( f g )( ) f g ( ) f ( ) 0 = 0 = 0 = ( f g )( ) f g ( ) f ( ) = = = ( f g )( ) f g ( ) f ( ) = = = 0 gráfico de f g apenas pode ser o representado em (). Resposta: () 5. Plano mediador da aresta [ ] : = Plano mediador da aresta [ E ] : z = ponto (,, k ) P k k + pertence à reta definida por = z =. F z E G k = k = Logo, k = + k = k = Resposta: () k = k = k = k = Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 7

8 . ( 0, ) e (, ) Grupo II + + =, temos:.. omo ( 0, ) pertence à circunferência definida por ( 4) ( ) + + = = + = 0 4 k k 6 9 k =.. (, ) e ( ) ( ) = + = Logo, o ponto também pertence à circunferência. k.3. circunferência ( 4) + ( + ) = 5 tem centro em ( 4, ). = = ( 4, ) ( 0, ) = ( 4, 3) = + = + = + = + = ( 4, ) ( 4, 3) ( 4 4, 3) ( 8, 5).4. omo [ ] é um diâmetro da circunferência, o ângulo é reto por ser um ângulo inscrito numa semicircunferência. Logo, o triângulo [ ] é retângulo em. Sejam ( 0, ), (, ) e ( 8, 5). = 0 + = + 9 = 0 = = 8+ 9 = 90 [ ] = = = = = 5 u.a.. (,, 4) e ( 0,, 4).. plano V é o plano mediador de [ ]. Seja P(,, z ) um ponto do plano V. (, ) d (, P) d P = ( ) ( ) ( z 4) ( 0) ( ) ( z 4) = z 8z + 6 = z + 8z z 8z + 4 = z + 4 = 0 + 4z + = 0 + 4z + = 0 é uma equação do plano V... vértice V é da forma (,, ) Então, ( ) k k k e pertence ao plano V de equação + 4z + = 0. k + k 4k + = 0 k + = 0 k =. Logo, V (,, )..3. (,, 4) e ( 0,, 4) , +, M, 0, 0 MV = V M = = M, ou seja, ( ) (,,) (, 0, 0) (,,),, z =, 0, 0 + k,,, k R. Uma equação vetorial da reta MV é ( ) Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 8

9 .4. (,, 4) e ( 0,, 4) base da pirâmide é um quadrado de lado. + = ( ( ) ) = = = = Área da base da pirâmide = MV,,. Já vimos que ( ) 36 = ltura da pirâmide = MV = + + = = 3 V pirâmide 36 = base altura = 36 3 = 36 u.v centro da superfície esférica é o ponto E, do eio, tal que d (, E) d (, E) =. Portanto, o ponto E é o ponto de interseção do eio com o plano mediador de [ ], ou seja, com o plano V definido por + 4z + = 0. E (, 0, 0) = 0 = E (, 0, 0) V M Raio da superfície esférica: r = E ( ) r = = = 8 Equação pedida: ( ) z = 8 3. omo = M + M e = M + M, vem: + = M + M + M + M M ado que M é o ponto médio de [ ], temos M = M. ssim, + = M + M + M M = = M + M M = = M Portanto, + = M. Proposta de teste de avaliação Matemática, 0. o ano Página 9